Импульс тела. Второй закон Ньютона

 

Импульсом называют векторную величину, равную произведению массы m_i на скорость  точки:

 

Импульсом тела называют вектор, равный геометрической сумме импульсов точек системы (тела). Импульсы можно использовать для описания состояния частиц.

Второй закон Ньютона, выраженный уравнением

 

 

справедлив только в том случае, если масса тела остается неизменной в процессе движения.

Закон гласит: Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей приложенных к нему сил и обратно пропорционально его массе. Тело ускоряется в направлении, совпадающем с направлением равнодействующей приложенных сил.

 

                  (1.5)

 

Производная импульса частицы по времени называется силой, действующей на частицу со стороны ее окружения.

Соотношение (1.5) выражает один из фундаментальных законов классической физики, названный вторым законом Ньютона.

Из (1.5) следует очень важный вывод: сила является функцией состояния системы.

В неинерциальной системе отсчета второй закон Ньютона оказывается справедливым только в том случае, если к сумме всех сил, действующих на тело, добавить силу инерции:

 

 

где  – ускорение неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной.

 

Закон сохранения импульса.

Третий закон Ньютона

 

Система частиц называется изолированной, если каждая из частиц системы не взаимодействует ни с какими внешними телами.

Когда результирующая внешняя сила, действующая на систему частиц, равна нулю, то

 

что составляет суть закона сохранения импульса.

Полный импульс изолированной системы тел сохраняется постоянным.

Постоянство полного импульса изолированной системы является фундаментальным свойством природы.

Рассмотрим изолированную систему двух частиц. Полный импульс системы

 

Дифференцируя по времени полный импульс и учитывая закон сохранения импульса, получим:

 

                                    (1.6)

 

По второму закону Ньютона

 

 

где  – сила, с которой вторая частица действует на первую, а  – сила действия первой частицы на вторую. Силы F₁₂ и F₂₁ называют силами действия и противодействия. Таким образом, из равенства (1.6) следует третий закон Ньютона:

 

 

Отметим еще одно важное свойство сил.

Сила, с которой одна частица действует на другую, зависит только от радиус-векторов и скоростей только этих двух частиц. Присутствие других частиц на эту силу не влияет. Это свойство называется законом независимости действия сил или законом парности взаимодействия. Область применимости этого закона охватывает всю классическую механику.

Во многих случаях взаимодействие частиц носит характер столкновений.

Столкновением частиц называется процесс, в котором в начальный момент частицы настолько удалены друг от друга, что каждая из них является свободной. При этом импульсы частиц ориентированы так, что со временем частицы начинают взаимодействовать друг с другом. Например, столкновением двух заряженных шаров мы называем не только процесс их удара друг о друга, но и процесс при котором шары, не касаясь, отклоняются от прямолинейных путей кулоновским взаимодействием. Столкновения подразделяются на упругие и неупругие.

Упругим называется столкновение, в результате которого внутреннее состояние частиц не меняется. Если внутреннее состояние изменяется, то столкновение называется неупругим.

 

Виды взаимодействия и силы

 

По современным представлениям все многообразие явлений, наблюдаемых во Вселенной, обусловлено четырьмя видами фундаментальных взаимодействий: гравитационными, слабыми, электромагнитными и сильными или ядерными взаимодействиями.

В классической механике все силы имеют гравитационную и электромагнитную природу.

 

1. Гравитационные взаимодействия подчиняются закону всемирного тяготения:

 

 

где  обозначает длину вектора

 – единичный вектор, характеризующий направление действия силы

Коэффициент пропорциональности G называют гравитационной постоянной (G = 6,67 ·10^–11 H · м²/кг²). В скалярной форме закон всемирного тяготения можно записать:

 

где r – расстояние между телами.

 

Силы притяжения между обычными телами (кроме самой Земли) пренебрежимо малы. В механических явлениях важную роль играет гравитационное поле Земли, которое определяется массой Земли М и расстоянием до ее центра R. Тело массой m на высоте h над уровнем моря имеет энергию

 

 

Если h << R, то , и в этом случае

Тогда

 

Первый член является постоянной величиной и, следовательно, несуществен. Второй член хорошо знаком из курса средней школы. Обозначив  мы получим знакомую формулу для потенциальной энергии в поле тяжести Земли: П_h = mg₀h, где g₀ – ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли.

Ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли

 

 

2. Основным фундаментальным законом сил, создаваемых электромагнитными взаимодействиями, является закон Кулона. Он определяет силу взаимодействия двух неподвижных заряженных частиц:

 

 

где 9·10⁹ H · м²/Кл² – коэффициент пропорциональности;

 Ф/м– электрическая постоянная.

 

Заряд частиц является физической величиной, зависящей только от вида частицы и не меняющейся в присутствии внешних сил.

Как видно из закона Кулона, притяжение осуществляется только для разноименных зарядов, т. е. при условии q₁ · q₂ < 0. Одноименные заряженные частицы, для которых q₁ · q₂ > 0, отталкиваются.

Во многих случаях приходится сталкиваться с системами электрически заряженных частиц, движущихся в электромагнитных полях.

Фундаментальный закон действия силы со стороны электромагнитного поля на заряженную частицу:

 

 

где q – заряд частицы;  – ее скорость;

 обозначают электрическое и магнитное поле;

 – электрическая сила;  – магнитная сила Лоренца.

 

3. Cилы межатомных и межмолекулярных взаимодействий действуют между микрочастицами. Наиболее часто используются три типа сил такого рода: 1) упругие силы; 2) контактные силы, подразделяющиеся на реакции опор и силы трения.

 

1) Рассмотрим силу упругости, определяемую законом Гука: сила упругости деформированного твердого тела пропорциональна величине деформаций при условии их малости:

 

 

где k – коэффициент пропорциональности.

 

2) Контактными называются силы, возникающие при соприкосновении двух тел и действующие со стороны одного тела на другое.

Сила реакции опоры , которую испытывает тело, приведенное в контакт с другим, направлена по нормали к поверхности контакта в сторону от тела, являющегося источником реакции опоры.

Механизм трения заключается в следующем. Если одно тело приведено в движение относительно другого и при этом находится с ним в контакте вдоль некоторой поверхности, то частицы тел, расположенные вблизи этой поверхности, начинают друг за друга цепляться. В этом заключается природа тормозящего действия.

Сила сухого трения между двумя контактирующими твердыми телами направлена в сторону, противоположную движению тела, на которое она действует. Ее абсолютное значение не зависит от скорости относительного движения тел и пропорционально силе реакции опоры. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом трения k. Он определяется экспериментально.

 

или в скалярной форме

 

Значение коэффициента k зависит не только от соприкасающихся материалов, но и от многих свойств поверхностей соприкосновения: их
обработки, загрязненности и т. д.

При стремлении скорости к нулю значение силы трения по абсолютной величине несколько возрастает. При v = 0 сила трения называется силой трения покоя.

На тело, движущееся в жидкости или газе, действует сила сопротивления окружающей тело среды. Так же как и сила трения, сила сопротивления ориентирована противоположно скорости тела. Абсолютное значение силы зависит от того, каким образом вещество среды обтекает тело, что в свою очередь определяется величиной его скорости. Если скорость тела невелика, то возникающие в среде течения носят ламинарный характер.

При ламинарном течении сопротивление определяется законом Стокса: сила сопротивления пропорциональна скорости движения тела:

 

 

Коэффициент пропорциональности a является постоянной, значение которой зависит от размеров тела и от вязких свойств cреды.

При больших скоростях (турбулентное течение) движения, не превосходящих скорости звука в среде, сопротивление определяется законом Ньютона: сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости движения тела,

 

 

Коэффициент  является постоянной, значение которой зависит от размеров и формы тела, а также от плотности среды.

 

Центр масс

 

Центром масс (или центром инерции системы материальных точек) называется точка С, положение которой характеризует распределение масс этой системы. Ее радиус-вектор равен

 

где m_i и  – масса и радиус-вектор i-й материальной точки;

 n – число материальных точек в системе;

 – масса системы.

Импульс системы

Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы, на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему:

 

                                (1.7)

 

Выражение (1.7) представляет собой закон движения центра масс. Из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

 

Уравнение движения тела переменной массы

 

Масса тела может изменяться в результате отделения тела или присоединения к нему частиц вещества (например, масса ракеты во время движения уменьшается).

Пусть в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость , то по истечении времени dt ее масса становится равной (m – dm), а скорость –  Изменение импульса

 

или

 

где  – скорость истечения газов из ракеты. Если на систему действуют внешние силы, то

 

поэтому

или

 

Величина  есть реактивная сила . Таким образом, уравнение движения переменной массы:

 

 (уравнение Мещерского).            (1.8)

 

Энергия, работа, мощность

Энергия – количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия характеризует способность тел совершать работу. Различают механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и другие виды энергии.

Кинетической энергией Т называют энергию механического движения.

Потенциальная энергия П – энергия, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике рассматривают работу силы, приложенной к данному телу.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила  составляющая угол a с направлением перемещения, то

 

где  – проекция силы  на направление перемещения.

В случае переменной силы:

 

 

Работа – скалярная величина.

 

Если , работа силы положительная. Если  то работа силы отрицательная.

Мощность N характеризует быстроту выполнения работы.

Средняя мощность

Мгновенная мощность

 

Вт.

 

Если сила F действует на покоящееся тело и вызывает его движение со скоростью v, то она совершает работу. Эта работа идет на увеличение кинетической энергии тела, т. е.

 

 

где

Получим

 и

 

Таким образом, для тела массой m, движущегося со скоростью v кинетическая энергия

                                              (1.9)

 

Из формулы (1.9) видно, что кинетическая энергия зависит только от m и v, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: