Методы численного интегрирования

Простейшие методы переоборудования основаны на приближенной замене интегрирующего звена с передаточной функцией  его дискретной моделью. Это позволяет получить дискретную передаточную функцию цифрового регулятора, сделав соответствующую замену в передаточной функции непрерывного регулятора .

Непрерывный и дискретный интеграторы

Пусть  и — входной и выходной сигнал непрерывного интегратора. Если известно значение , то

.

Такое звено приближенно заменяется дискретным интегратором, для которого

,

где — некоторое правило построения следующего значения выхода по предыдущим значениям входа и выхода. Для решения этой задачи можно использовать любой метод численного интегрирования. Мы рассмотрим методы прямоугольников и трапеций.

Метод Эйлера (а) и метод обратных разностей (б)

При использовании метода Эйлера имеем

.

Используя оператор  (сдвиг вперед), получаем

.

Таким образом, переоборудование по методу Эйлера сводится к замене

.

Аналогично можно построить правило замены для метода обратных разностей:

.

Из курса численных методов известно, что методы прямоугольников дают низкую точность. Более совершенен метод трапеций:

.

Метод трапеций

Формула интегрирования по методу трапеций приводит к замене

       ,            

которая называется преобразованием Тастина (или Тустена).

Для повышения точности аппроксимации можно использовать более сложные методы, например, замены

,

,

соответствующие методам интегрирования Симпсона и Уэддля. Их главный недостаток состоит в том, что порядок переоборудованного регулятора будет выше, чем порядок непрерывного.

Переоборудование ПИД-регулятора

Рассмотрим непрерывный ПД-регулятор с передаточной функцией

.

Дискретизация с помощью методов Эйлера, обратных разностей и Тастина дает дискретные регуляторы вида

,

где коэффициенты равны

Метод Эйлера

, , , .

Метод обратных разностей

, , , .

преобразование Тастина

, , , .

Все регуляторы имеют тот же самый порядок (равный 1), что и непрерывный регулятор. Полученные дискретные регуляторы только приближенно заменяют непрерывный, фактически они всегда будут работать несколько хуже, чем .

ПД-регулятор будем переоборудовать с помощью преобразования Тастина (интегрирования методом трапеций), которое является наиболее точным из этих методов. В системе Matlab для этого можно использовать функцию c 2 d из пакета Control Toolbox:

> > Dpd = c2d ( Cpd, T, ' tustin ' )

Здесь Cpd – модель (например, передаточная функция) непрерывного ПД-регулятора, T –интервал квантования.

Теперь рассмотрим интегральный канал:

.

Используя рассмотренные выше методы переоборудования, получаем

метод Эйлера                             ,   

метод обратных разностей      ,   

преобразование Тастина .  

Как будет показано дальше, для переоборудования интегрального канала лучше использовать преобразование Эйлера.

Ниже показана схема цифрового регулятора с компенсацией насыщения:

 

Здесь сплошные линии обозначают непрерывные сигналы, а штриховые – дискретные (числовые последовательности). ИЭ обозначает импульсный элемент (АЦП), а блок Э – экстраполятор (ЦАП).

Алгебраические циклы

Пусть интегральный канал переоборудован по методу обратных разностей

,   

что соответствует разностному уравнению

       .  (*)      

Теперь построим выражение для сигнала . Учтем, что

и ,

где функция  задает нелинейность типа «насыщение»:

Объединяя эти формулы, получим разностное уравнение для вычисления :

.

В этой формуле значение , которое требуется рассчитать, входит и в правую часть! Это значит, что для вычисления  требуется не просто подставить в формулу известные значения, а решить нелинейное уравнение относительно . Такое явление называется алгебраическим циклом, его желательно избегать. Более того, в сложных случаях это уравнение может не иметь решения вообще. Система Matlab-Simulink выдает предупреждение в случае обнаружения алгебраического цикла (algebraic loop) при моделировании.

Для того, чтобы не было алгебраического цикла, правая часть разностного уравнения (аналогичного уравнению (*)) не должна зависеть от . Это будет в том случае, если передаточная функция  – строго правильная, т.е., степень ее числителя меньше степени знаменателя. Из всех рассмотренных вариантов переоборудования интегратора этому условию удовлетворяет метод Эйлера, который мы и будем использовать в работе. При попытке применить метод обратных разностей или преобразование Тастина возникает алгебраический цикл, потому что степени числителя и знаменателя передаточной функции  равны.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: