Понятие случайной величины.

Понятие случайной величины.

Понятие случайной величины является одним из основных понятий теории вероятностей.

Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания принимает то или иное значение. При этом заранее неизвестно, какое именно значение случайная величина примет в результате опыта.

Примеры случайных величин:

1. Количество очков, выпавшее при бросании игральной кости.

2. Число детей, родившихся в течение суток в г.Ангарске.

3. Дальность полета артиллерийского снаряда.

4. Время безотказной работы некоторого прибора.

В зависимости от множества принимаемых значений случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно.

В дальнейшем будем рассматривать дискретные случайные величины лишь с конечным множеством значений.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если бесконечное множество ее значений есть некоторый интервал числовой оси.

Определение непрерывной случайной величины не является строгим.

Случайные величины в примерах 1,2 являются дискретными, а в примерах 3,4 - непрерывными.

Случайные величины обозначают прописными латинскими буквами: X , Y , Z и т.д., а их возможные значения - соответственно х _i , y_i , z_i и т.д.

В теории вероятностей понятие случайного события является качественной характеристикой эксперимента, а понятие случайной величины - количественной характеристикой. Это позволяет изучение случайных событий сводить к изучению числовых множеств и их отображений, что дает возможность использовать в теории вероятностей аппарат математического анализа.

На основании сказанного можно дать другое определение случайной величины:

Определение. Случайной величиной X является функция, заданная на множестве элементарных событий, т.е. X = f ( w ), где w - элементарное событие.

Это определение можно рассмотреть на примере 1 - количество очков, выпавшее при бросании игральной кости. Множество возможных значений случайной величины Х имеет вид:

X = { x ₁ = 1, x ₂ = 2, x ₃ = 3, x ₄ = 4, x ₅ = 5, x ₆ = 6},

а множество элементарных событий в этом опыте - выпадение одной из шести граней игральной кости:

W = { W ₁ , W ₂ , W ₃ , W ₄ , W ₅ , W ₆ },

т.е. мы видим соответствие между элементарными событиями и значениями случайной величины Х:

т.е. каждому элементарному событию W_i ( i = ) ставится в соответствие число i , иными словами задана функция X = f ( W ).

Числовые характеристики случайных величин.

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D [ C ] = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

D [ cX ] = c ² D [ x ].

3. Дисперсия алгебраической сумму двух (и более) случайных величин равна сумме их дисперсий:

D [ X ± Y ] = D [ X ] + D [ Y ].

Для непрерывной случайной величины Х, распределенной на всей числовой оси, дисперсия вычисляется по формуле

Если случайная величина Х распределена на интервале (а,в), то

Пример 3. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х, заданной рядом распределения

Х	1	2	5
р	0,3	0,5	0,2

Решение:

Найдем математическое ожидание

M[X]=x₁ × p₁+ x₂ × p₂ + x ₃ × p ₃ = 1 × 0 , 3 +2 × 0,5+5 × 0,2 = 2,3.

Для вычисления дисперсии применим формулу

D[ Х ] = M[ Х ² ]-(M[ Х ])²

Сначала вычислим математическое ожидание квадрата случайной величины Х:

M [ X ² ]= x ₁ ² × p ₁ + x ₂ ² × p ₂ + x ₃ ² × p ₃ = 1² × 0,3+2² × 0,5+5² × 0,2 = 7,3.

Найдем дисперсию

D [ X ] = 7,3-2,3²=2,01.

Пример 4. Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины Х, заданной функцией распределения

Решение:

Найдем плотность распределения f ( x )

Найдем математическое ожидание

Найдем дисперсию

Задания к §5.

1. Случайная величина Х задана рядом распределения

Х	1	3	5
р	0,2	0,5	0,3

Найти математическое ожидание M [ X ], дисперсию D [ X ], среднее квадратическое отклонение s [ X ].

2. Монета подброшена два раза. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х - числа выпавших гербов.

3. Даны ряды распределения случайных величин Х и Y.

Х	1	2	3	4
р	0,7	0,1	0,1	0,1

Y	1	2	3	4
р	0,2	0,1	0,1	0,6

Найти М[Х] и М[ Y ].

4. Случайная величина Х - число выигранных партий в шахматы у равносильного противника (без ничьих) в туре из четырех партий. Найти M[X] , D[X] , s [X] .

5. Случайная величина Х задана плотностью распределения в интервале (0;3), в остальных точках f ( x )=0. Найти М[Х].

6. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти математическое ожидание M [ X ] и дисперсию D[X] .

7. Случайная величина Х задана плотностью распределения в интервале (0, p ); вне этого интервала f ( x )=0. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.