Свойства математического ожидания. Свойства дисперсии.

 

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

       М [ с ] = с.

2.  Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

       M [ cX ] = cM [ x ].

3. Математическое ожидание суммы двух (и более) случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

       М [X+Y] = M[X] + M[Y].

4.  Математическое ожидание произведения двух (и более) независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

       М[ X + Y ] = M [ X ] × M [ Y ].

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

       M [ X - M (Х)] = 0.

Только математическое ожидание не может в достаточной мере характеризовать случайную величину. Случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания, могут очень сильно различаться между собой. Так, при среднесуточной температуре t = 0°С ночные и дневные температуры для различных районов могут существенно различаться между собой, например, -2°С ночью и +2°С днем, и -15°С ночью и +15°С днем.

       Поэтому следует охарактеризовать степень разброса (рассеяния) значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Но в качестве характеристики рассеяния нельзя брать математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.к. по свойству 5      M [ X - M (х)] = 0.

       В качестве же характеристики рассеяния рассматривается дисперсия случайной величины.

Определение. Дисперсией D [ X ] случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

       D [ X ] = M ( X - M [ X ])².

На практике удобнее пользоваться формулой:

       D [ X ] = M [ X ² ]-( M [ X ])².

Дисперсия D [ X ] имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину .

Определение. Средним квадратическим отклонением s [х] случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из дисперсии

       s [х] = .

 

Свойства дисперсии.

 

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

       D [ C ] = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

       D [ cX ] = c ² D [ x ].

3. Дисперсия алгебраической сумму двух (и более) случайных величин равна сумме их дисперсий:

       D [ X ± Y ] = D [ X ] + D [ Y ].

Для непрерывной случайной величины Х, распределенной на всей числовой оси, дисперсия вычисляется по формуле

Если случайная величина Х распределена на интервале (а,в), то

      

Пример 3. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины Х, заданной рядом распределения

Х	1	2	5
р	0,3	0,5	0,2

Решение:

Найдем математическое ожидание

M[X]=x₁ × p₁+ x₂ × p₂ + x ₃ × p ₃ = 1 × 0 , 3 +2 × 0,5+5 × 0,2 = 2,3.

Для вычисления дисперсии применим формулу

       D[ Х ] = M[ Х ² ]-(M[ Х ])²

Сначала вычислим математическое ожидание квадрата случайной величины Х:

M [ X ² ]= x ₁ ² × p ₁ + x ₂ ² × p ₂ + x ₃ ² × p ₃ = 1² × 0,3+2² × 0,5+5² × 0,2 = 7,3.

Найдем дисперсию

D [ X ] = 7,3-2,3²=2,01.

Пример 4. Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины Х, заданной функцией распределения

      

Решение:

Найдем плотность распределения f ( x )

      

Найдем математическое ожидание

      

Найдем дисперсию

Задания к §5.

1.  Случайная величина Х задана рядом распределения

Х	1	3	5
р	0,2	0,5	0,3

Найти математическое ожидание M [ X ], дисперсию D [ X ], среднее квадратическое отклонение s [ X ].

2.  Монета подброшена два раза. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х - числа выпавших гербов.

3.  Даны ряды распределения случайных величин Х и Y.

Х	1	2	3	4
р	0,7	0,1	0,1	0,1

 

Y	1	2	3	4
р	0,2	0,1	0,1	0,6

 

Найти М[Х] и М[ Y ].

4.  Случайная величина Х - число выигранных партий в шахматы у равносильного противника (без ничьих) в туре из четырех партий. Найти M[X] , D[X] , s [X] .

5.  Случайная величина Х задана плотностью распределения  в интервале (0;3), в остальных точках f ( x )=0. Найти М[Х].

6.  Случайная величина Х задана функцией распределения

      

Найти математическое ожидание M [ X ] и дисперсию D[X] .

7.  Случайная величина Х задана плотностью распределения  в интервале (0, p ); вне этого интервала f ( x )=0. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: