распределенной по нормальному закону.

 

1. Вероятность попадания случайной величины Х в интервал [ a , b ] равна

      

       Ф(-х) = -Ф(х).

2. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от математического ожидания а не превысит по абсолютному значению величину d равна

       .

Если d = 3 s, то

      

Этот факт имеет название "правило трех сигм":

Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и s, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (а-3 s ; а+3 s ).

Пример 1. Случайная величина Х подчинена нормальному закону с параметрами: математическое ожидание а=1, среднее квадратическое отклонение s =2. Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (2;3).

Решение.

По свойству 1

      

     а=1, a =2, b =3, s =2, тогда

      

       P (2< X <3) = Ф(1) - Ф(0,5).

По таблице значений для функции Лапласа Ф(х) находим

Ф(1)=0,3413, Ф(0,5)=0,1915.

Тогда получим

       Р(2<Х<3) = 0,3413 - 0,1915 = 0,1498.

Пример 2. Затаривание мешков с сахаром производится без систематических ошибок. Случайные ошибки подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s =200 г. Найти вероятность того, что затаривание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 100 г.

Решение: Так как нет систематических ошибок при затаривании, то математическое ожидание а=0 и свойство 2 примет вид

      

       s =200, d =100,     тогда

      

Пример 2. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением s=0,4 мм, найти, сколько будет годных шариков среди ста изготовленных.

Решение. Так как случайная величина Х - отклонение диаметра шарика от проектного размера, то математическое ожидание а=0. Воспользуемся формулой

      

Подставим d =0,7; s=0,4, получим

      

Таким образом, вероятность отклонения от проектного размера на величину меньше, чем 0,7 мм, равна 0,92. Это означает, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными.

 

Задания к §6.

1.  Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10;50).

2.  Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

3.  Производится измерение длины стержня без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=50 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 75 мм.

4.  Завод изготавливает шарики для подшипников, номинальный диаметр которых равен 10 мм, а фактический диаметр случаен и распределен по нормальному закону с математическим ожиданием а=10 мм и средним квадратическим отклонением s=0,4 мм. При контроле бракуются все шарики, не проходящие через круглое отверстие диаметром d ₁=10,7 мм и все, проходящие через круглое отверстие с диаметром d ₂=9,3 мм. Найти процент шариков, которые будут браковаться.

5.  Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно а=3 и среднее квадратическое отклонение s=2. Написать плотность вероятности Х.

6.  Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали:

       а) больше 55 мм;

       б) меньше 40 мм.

7.  Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=20 г. С какой ошибкой по абсолютной величине производилось взвешивание, если вероятность взвешивания с такой ошибкой равна 0,383.

 

Литература.

 

1.  Гмурман В.Е. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. - Высшая школа, 1966.

2.  Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1991.

3.  Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ЮНИТИ, 2000.

4.  Магазинников Л.И. Теория вероятностей. Учебное пособие. - Томск, 1998.

5.  Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1979.

6.  Лепина С.В., Лепин С.В., Лебедева Г.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. - Иркутск, 1998.

 

 

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: