Закон распределения случайной величины.

 

Значение случайной величины неравноправны, они различаются вероятностями их наступления. Во многих задачах нет необходимости рассматривать случайные величины как функции от элементарного события, а достаточно лишь знать вероятности возможных значений случайной величины.

Определение. Законом распределения вероятностей случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями этих значений.

При этом слово "вероятностей" обычно опускают.

       Про случайную величину обычно говорят, что она "распределена" по данному закону распределения или "подчинена" этому закону распределения.

       Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Определение. Рядом распределения дискретной случайной величины называется таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.

х i	х i	х i	....	х n
р i	р i	р i		р n

       События х= х _i , х=х₂,...,х=х _n , состоящие в том, что в результате испытания случайная величина х примет соответственно значения х₁,х₂,...,х _n являются несовместными и единственно возможными (т.к. в табл.1 перечислены все возможные значения случайной величины), т.е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1:

(эта единица как-то распределена между значениями случайной величины, отсюда и понятие "распределение").

Пример 1. Монета подброшена 4 раза. Найти ряд распределения дискретной случайной величины Х - числа выпавших гербов.

Решение. Вероятность появления герба в каждом испытании (подбрасывании монеты) равна р=½, тогда вероятность появления противоположного события - выпадения "решки" - равна q = 1-p = 1-½ = ½.

При четырех подбрасываниях монеты герб может появиться либо 0 раз, либо 1 раз, либо 2 раза, либо 3 раза, либо 4 раза, т.е. возможные значения случайной величины Х таковы:

x ₁ = 0, x ₂ = 1, x ₃ = 2, x ₄ = 3, x ₅ = 4.

Найдем вероятности этих возможных заданий по формуле Бернулли для последовательных независимых испытаний:

       P _n ( m ) = C _n ^m p^m × q^{n - m},        где

       р₁ = P ( X = x ₁ ) = P ( X =0) = C ₄ ⁰ p ⁰ × q ⁴ = ( ½ )⁴ = ¹/₁₆;

р₂ = P ( X = x ₂ ) = P ( X =1) = C ₄ ¹ p × q ³ = 4 × ½ ( ½ )³ = ¹/₄;

р₃ = P ( X = x ₃ ) = P ( X =2) = C ₄ ² p ² × q ² = 6 × ( ½ )²( ½ )² = ³/₈;

р₄ = P ( X = x ₄ ) = P ( X =3) = C ₄ ³ p ³ × q = 4 × ( ½ )³ × ½ = ¹/₄;

р₅ = P ( X = x ₅ ) = P ( X =4) = C ₄ ⁴ p ⁴ × q ⁰ = ( ½ )⁴ = ¹/₁₆;

       Напишем искомый ряд распределения в виде таблицы

Х	0	1	2	3	4
Р	1/16	1/4	3/8	1/4	1/16

       В качестве контроля проверим равенство .

      

       Задания к §2.

1.  Дан закон распределения в виде таблицы:

Х	1	2	3	4
Р	0,1	0,3	0,2	0,3

       Является ли данная таблица рядом распределения? Ответ обосновать.

2.  Дан закон распределения в виде таблицы:

Х	0	2	4	6
Р	0,2	0,2	0,3	0,3

Является ли данная таблица рядом распределения?

3.  Какое значение нужно поставить в таблице вместо знака вопроса?, чтобы она стала рядом распределения?

Х	1	2	3
Р	0,4	?	0,5

4.  Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по теории вероятностей и по физике равны соответственно 0,7 и 0,9. Составить закон распределения числа экзаменов, которые студент сдаст в сессию.

5.  Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов.

6.  В денежной лотерее 5000 билетов, причем разыгрываются 2 билета по 1000 рублей, 3 - по 500, 6 - по 250, 8 - по 200 и 20 - по 100 рублей. Найти закон распределения стоимости выигрыша для владельца одного билета.

7.  Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея пять патронов в запасе. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

8.  Бросают 3 монеты. Составить ряд распределения случайной величины Х - числа выпавших гербов.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: