|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
По дисциплине «Математика»Стр 1 из 7Следующая ⇒
По дисциплине «Математика» Часть 4. Контрольные работы№7, № 8 Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Функции комплексной переменной. Элементы теории поля. Векторный анализ.
Мурманск 2007 г. УДК 517.2/.3 (076.5) ББК 22.1 я 73 М 54 Составители: Кацуба Валентина Сергеевна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ; Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ; Демешко Людмила Александровна, ассистент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ
Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой ВМ и ПО ЭВМ 30 мая 2007 г., протокол № 7
Рецензент – Котов А.А., к. т. н., доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ
Редактор Корректор
Ó Мурманский государственный технический университет, 2007 Оглавление Стр. Введение. 5 Задания для выполнения контрольных работ. 7 1. Задания на контрольную работу №1 по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Элементы теории скалярного поля. Функции комплексной переменной». 7 2. Задания на контрольную работу №2 по теме «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля» 12 СоДЕРЖАНИЕ теоретического материала и ссылки на литературу.. 15 Справочный материал к выполнению контрольной работы №1 18 1. Функция нескольких переменных и ее частные производные. 18 1.1. Определение функции нескольких переменных. 18 1.2. Частные производные ФНП.. 18 1.3. Полное приращение и полный дифференциал ФНП.. 19 1.4. Производные ФНП высших порядков. 20 2. Частные производные ФНП, заданной неявно. 21 3. Производная сложной ФНП. Полная производная. 22 4. Экстремумы ФНП.. 23 4.1. Локальные максимумы и минимумы ФНП.. 23 4.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой области 23 5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 24 6. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению.. 25 7. Функции комплексной переменной. 26 7.1. Определение и свойства функции комплексной переменной. 26 7.2. Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП.. 28 Справочный материал к выполнению контрольной работы №2 30 1. Двойной интеграл. 30 1.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. 30 1.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. 31 1.3. Некоторые приложения двойных интегралов. 32 2. Тройной интеграл. 33 2.1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. 33 2.2. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах. 34 2.3. Некоторые приложения тройных интегралов. 34 3. Криволинейный интеграл II рода (по координатам) 35 4. Векторная функция скалярного аргумента. 36 5. Векторное поле. 37 5.1. Поток векторного поля через поверхность. 37 5.2. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция. 38 6. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. 39 6.1. Ротор векторного поля. 39 6.2. Потенциальное векторное поле и его потенциал. 40 6.3. Соленоидальное векторное поле. 42 Решение примерного варианта контрольной работы №1. 43 Решение примерного варианта контрольной работы №2. 54 Рекомендуемая литература.. 63
Введение
Настоящее пособие предназначено для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета, обучающихся по техническим специальностям. В пособии содержатся задания к выполнению контрольных работ по темам «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Элементы теории скалярного поля. Функции комплексной переменной» и «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля», а также ссылки на теоретический материал, необходимый для выполнения этих контрольных работ и список рекомендуемой литературы. В результате изучения этих тем студенты должны: • знать определения основных понятий теории дифференциального исчисления функций нескольких переменных (ФНП): частные производные, полный дифференциал и др.; • уметь находить частные производные для явно и неявно заданной ФНП, частные производные высших порядков и полную производную для сложной ФНП; • иметь представление об экстремумах ФНП и уметь находить глобальные экстремумы функции двух переменных в замкнутой области; • иметь представление об основных поверхностях 2-го порядка, уметь составлять уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности; • знать основные понятия теории скалярного поля и уметь определять его основные характеристики: линии уровня, градиент, производную по направлению; • иметь представление о функции комплексной переменной, об ее аналитичности и уметь дифференцировать аналитические функции комплексной переменной; • знать основные понятия теории интегрального исчисления функций нескольких переменных (двойной, тройной интегралы и криволинейный интеграл II-го рода, их свойства) и уметь решать задачи с применением этих интегралов; • иметь представление о вектор-функции скалярного аргумента, ее производных и уметь решать задачи с их использованием; • знать основы теории векторного поля и уметь определять его основные характеристики: поток, дивергенция, ротор; • знать основные виды векторных полей (потенциальные и соленоидальные), уметь определять вид поля и использовать его свойства. Данные методические рекомендации включают также справочный материал, необходимый для выполнения контрольных работ по перечисленным темам, и решения примерных вариантов этих двух работ, в которых имеются ссылки на используемый справочный материал.
Задания для выполнения контрольных работ
Перед выполнением каждой контрольной работы необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии со ссылками на литературу, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.
Задания на контрольную работу №1 по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Элементы теории скалярного поля. Функции комплексной переменной» Контрольная работа состоит из семи задач. Задание для каждой задачи включает в себя ее формулировку и десять вариантов исходных данных.
Задача 1. Дана функция z = f (x, y). Требуется: 1) найти частные производные 2) найти полный дифференциал dz; 3) показать, что для данной функции справедливо равенство:
Задача 2. Найти частные производные
Задача 3. Дана сложная функция z= f (x, y, t), где
Задача 4. Дана функция двух переменных: z = f (x, y) и уравнения границ замкнутой области D на плоскости x О y. Требуется: 1) найти наибольшее и наименьшее значения функции z в области D; 2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.
Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z = f (x, y). Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0, y0 – заданные числа.
Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = U(x, y), точка M0(x0, y0) и вектор 1) найти уравнения линий уровня поля U; 2) найти градиент поля в точке M0 и производную 3) построить в системе координат x О y 4-5 линий уровня, в том числе линию, проходящую через точку M0; изобразить вектор
Задача 7. Дана функция комплексной переменной (ФКП) w = f (z), где z = x + iy, и точка z0. Требуется: 1) представить ФКП в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части; 2) проверить, является ли функция w аналитической; 3) в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.
Задания на контрольную работу №2 по теме «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»
Контрольная работа состоит из шести задач. Задание в каждой задаче включает в себя его формулировку и десять вариантов исходных данных. Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями. Построить чертеж области интегрирования.
Указание. Считать плотность вещества Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R, высота цилиндра H и функция плотности
Задача 3. Вычислить работу силы
Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки:
Задача 5. Дано векторное поле
Требуется: 1) найти поток поля 2) используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля
Задача 6. Проверить, является ли векторное поле заданной силы
СоДЕРЖАНИЕ теоретического материала и ссылки на литературу
Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы. Экстремумы ФНП 4.1. Локальные максимумы и минимумы ФНП Говорят, что функция z = f (x, y) имеет локальный максимум в точке (x0, y0), если существует окрестность точки (x0, y0), в которой выполнено неравенство f (x0, y0) > f (x, y) для всех точек (x, y) из этой окрестности, отличных от (x0, y0): Если же f (x0, y0) < f (x, y) для всех точек (x, y) из некоторой окрестности точки (x0, y0), отличных от (x0, y0), то функция z имеет локальный минимум ФНП в точке (x0, y0): Максимум Необходимое условие экстремума ФНП: если функция z = f (x, y) имеет экстремум в точке (x0, y0), то каждая частная производная первого порядка функции z в точке (x0, y0) либо равна нулю, либо не существует. Необходимое условие не является достаточным. Точки из ООФ, в которых необходимое условие выполнено, называются критическими точками функции, или точками, подозрительными на экстремум. Если (x0, y0) – это такая критическая точка, в которой Двойной интеграл 1.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах Пусть функция 2-х переменных z = f (x, y) задана и непрерывна в замкнутой области Область
В этом случае двойной интеграл от функции z = f (x, y) по области D можно вычислить при помощи двукратного (повторного) интеграла:
Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной y в предположении, что x – постоянная (x = const); результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция Ф (x). Затем вычисляется внешний интеграл от Ф (x) по переменной x в постоянных пределах, в результате получается число. Пример. Вычислить
Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y = const; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция от y, которая затем интегрируется в постоянных пределах. Если область D – правильная в обоих направлениях, то повторный интеграл не зависит от порядка интегрирования, и для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из двух порядков интегрирования:
Если область D – неправильная в обоих направлениях, то ее можно разбить на правильные части и воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла: 1.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Преобразование двойного интеграла по области D к полярным координатам осуществляется при помощи формул
Полученный двойной интеграл в полярных координатах может быть сведен к повторному интегралу при помощи неравенств, задающих область D. В результате получаем формулу перехода от двойного интеграла к повторному интегралу в полярных координатах:
1.3. Некоторые приложения двойных интегралов Если подынтегральная функция f (x, y) º 1, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D равен площади области интегрирования:
Если область D занята тонкой пластинкой и Масса пластинки: m = Статический момент относительно оси Ox:
Статический момент относительно оси Oy: My = Все перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в полярных координатах, переходя к соответствующему повторному интегралу.
Тройной интеграл 2.1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Пусть функция 3-х переменных u = f (x, y, z) задана и непрерывна в замкнутой области V
Если область D можно задать системой неравенств
В этом случае тройной интеграл от функции u = f (x, y, z) по области V можно вычислить при помощи трехкратного повторного интеграла:
Здесь каждый внутренний интеграл вычисляется по «своей» переменной интегрирования в предположении, что переменные интегрирования внешних интегралов остаются постоянными. Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования). 2.2. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты точки М в пространстве – это ее полярные координаты на плоскости xOy и координата z, т.е. Преобразование тройного интеграла по области V к цилиндрическим координатам осуществляется при помощи формул Если область V задана системой неравенств:
Вычисление тройного интеграла по области V в цилиндрических координатах сводится к вычислению трехкратного интеграла в соответствии с записанной системой неравенств для области V:
2.3. Некоторые приложения тройных интегралов Если подынтегральная функция f (x, y, z) º 1, то тройной интеграл от нее по области V равен мере области интегрирования – объему пространственного тела, занимающего область V: Если
Векторное поле 5.1. Поток векторного поля через поверхность Если в любой точке M(x, y, z) области V Примеры: силовое поле Векторное поле является заданным, если задана векторная функция Аналогично определяют плоское векторное поле
Поток векторного поля
Поток – это интегральная характеристика векторного поля, она является скалярной величиной. Например, для поля скоростей Если поверхность σ задана уравнением F(x, y, z) = 0, то вектор ее нормали коллинеарен градиенту функции, задающей поверхность:
Для вычисления поверхностного интеграла
где знак «+» следует брать в случае, когда вектор При вычислении двойного интеграла Поток вектора 5.2. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью:
Пусть
которая характеризует наличие источников (если
т.е. поток вектора
по дисциплине «Математика» Часть 4. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-03-29; Просмотров: 283; Нарушение авторского права страницы
и 
; 
.
+ 2y3)
(y + 4x)2
+ cos(xy)
, 
и 
, если переменные x, y и z связаны равенством вида F(x, y, z) = 0.
+ 3x2siny – 2xz3 = 0
+ zy + y2lnx – 2z = 0
+ 3cosx – z5 = 0
+ ytgx – zx5 + 3y = 0
+ 
+ y2zx – y5 = 0
. Найти полную производную 
.
, y = 
+ 1, y = t4
, y = 
+ 3x – y2
+ x3 – 5
, y0 = 2
+ x2y – x4 + 1
, y0 = –1
+ x5
. Требуется: 
функции U(x, y) в точке M0 по направлению вектора 
на этом чертеже.
= 3 
– 4 
= 6 
.
, где r – полярный радиус точки.
при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы.
. Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.
и уравнение плоскости d.
через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали.
потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы 
при перемещении единичной массы из точки M в точку N, где точки M и N заданы.
.
.
и минимум 
называют локальными экстремумами ФНП.
и 
, то она называется ещё стационарной точкой функции f (x, y). 
xOy. Двойной интеграл от этой функции по области D имеет вид: 
, где 
.
xOy называется правильной в направлении оси Oy, если всякая прямая, параллельная оси Oy пересекает границу области не более, чем в двух точках (за исключением участков границы, параллельных Oy).
Если область D – правильная в направлении оси Oy (рис. 2), то ее можно задать системой неравенств: 
.
, если 
, D: 
Если область D – правильная в направлении оси O х (рис. 3), то она задается системой неравенств: 
и тогда двойной интеграл сводится к повторному интегралу по формуле: 
.
.
.
Пусть область D задается в полярных координатах системой неравенств 
Такая область (рис. 4) является правильной в полярной системе координат (каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в 2-x точках, за исключением участков границы, совпадающих с некоторым полярным лучом).
: 
.
.
.
– поверхностная плотность распределения неоднородного материала (т.е. масса единицы площади), то при помощи двойного интеграла можно вычислить массу пластинки, ее статические моменты относительно осей координат и другие величины.
. 
. (11)
.
x O yz. Тройной интеграл от этой функции по области V имеет вид: 
, где 
.
Если область V – правильная в направлении оси Oz (рис. 5), то ее можно задать системой неравенств: 
где z = z1 (x, y) и z = z2 (x, y) – это уравнения поверхностей, ограничивающих область (тело) V соответственно снизу и сверху (рис. 5).
то 
.
.
, 
, 
: 
.
причем 
то V: 
.
.
– это плотность неоднородного материала (т.е. масса единицы объема), из которого изготовлено тело, то при помощи тройного интеграла можно вычислить массу тела, его статические моменты относительно координатных плоскостей и другие величины. Например, формула для вычисления массы тела имеет вид: 
. (12)
xOyz задан вектор 
, то говорят, что в области V задано векторное поле 
.
, поле скоростей 
текущей жидкости, поле электростатических напряженностей 
.
задают в виде 
, где P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагают, что они непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x, y, z в области V (область V может совпадать со всем пространством).
в двумерной области D: 
.
Пусть в области V 
xOyz задана двусторонняя поверхность σ , в каждой точке которой определен орт внешней нормали 
– единичной вектор, коллинеарный нормали к поверхности в этой точке и направленный в сторону, которую условились считать «внешней» стороной поверхности.
через поверхность σ – это интеграл по поверхности σ от скалярного произведения вектора 
на орт нормали 
к поверхности (рис. 6): 
.
текущей жидкости поток характеризует количество жидкости, проходящей через поверхность σ в направлении «внешней» нормали в единицу времени.
, следовательно, орт нормали
.
поверхность σ проектируют на одну из координатных плоскостей, например, в область D 
, и вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла: 
, (16)
и орт «внешней» нормали 
, указанный в задаче, совпадают по направлению; если эти векторы противоположны по направлению, следует брать знак «–».
нужно подынтегральную функцию выразить через переменные x, y, используя заданное уравнение поверхности F(x, y, z) = 0.
через замкнутую поверхность σ в направлении ее «внешней» нормали обозначают 
.
.
– векторное поле, заданное в области V 
называется скалярная функция
, (17)
> 0) и стоков (если 
< 0), или их отсутствие (если 
= 0) векторного поля в точке М.
Используя выражения для дивергенции и для потока вектора 
через замкнутую поверхность σ , можно записать формулу Остроградского-Гаусса в векторном виде: 
, (18)
через замкнутую поверхность σ в направлении ее «внешней» нормали (рис. 7) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по области V, ограниченной поверхностью σ .