Контрольные работы№7, № 8

Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Функции комплексной переменной. Элементы теории поля. Векторный анализ.

 

Мурманск

2007 г.

УДК 517.2/.3 (076.5)

ББК 22.1 я 73

М 54

Составители: Кацуба Валентина Сергеевна, канд. физ.-мат. наук, доцент

кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;

Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;

Демешко Людмила Александровна, ассистент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

 

 

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой ВМ и ПО ЭВМ  30 мая 2007 г., протокол № 7

 

 

Рецензент – Котов А.А., к. т. н., доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

 

 

Редактор

Корректор

 

Ó Мурманский государственный технический университет, 2007

Оглавление

Стр.

Введение. 5

Задания для выполнения контрольных работ. 7

1. Задания на контрольную работу №1 по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Элементы теории скалярного поля. Функции комплексной переменной». 7

2. Задания на контрольную работу №2 по теме «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля» 12

СоДЕРЖАНИЕ теоретического материала и ссылки на литературу.. 15

Справочный материал к выполнению контрольной работы №1 18

1. Функция нескольких переменных и ее частные производные. 18

1.1. Определение функции нескольких переменных. 18

1.2. Частные производные ФНП.. 18

1.3. Полное приращение и полный дифференциал ФНП.. 19

1.4. Производные ФНП высших порядков. 20

2. Частные производные ФНП, заданной неявно. 21

3. Производная сложной ФНП. Полная производная. 22

4. Экстремумы ФНП.. 23

4.1. Локальные максимумы и минимумы ФНП.. 23

4.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой области 23

5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 24

6. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению.. 25

7. Функции комплексной переменной. 26

7.1. Определение и свойства функции комплексной переменной. 26

7.2. Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП.. 28

Справочный материал к выполнению контрольной работы №2 30

1. Двойной интеграл. 30

1.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. 30

1.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. 31

1.3. Некоторые приложения двойных интегралов. 32

2. Тройной интеграл. 33

2.1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. 33

2.2. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах. 34

2.3. Некоторые приложения тройных интегралов. 34

3. Криволинейный интеграл II рода (по координатам) 35

4. Векторная функция скалярного аргумента. 36

5. Векторное поле. 37

5.1. Поток векторного поля через поверхность. 37

5.2. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция. 38

6. Потенциальные и соленоидальные векторные поля. 39

6.1. Ротор векторного поля. 39

6.2. Потенциальное векторное поле и его потенциал. 40

6.3. Соленоидальное векторное поле. 42

Решение примерного варианта контрольной работы №1. 43

Решение примерного варианта контрольной работы №2. 54

Рекомендуемая литература.. 63

 

 

 

Введение

 

Настоящее пособие предназначено для студентов 2 курса вечерне-заочного факультета, обучающихся по техническим специальностям. В пособии содержатся задания к выполнению контрольных работ по темам «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Элементы теории скалярного поля. Функции комплексной переменной» и «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля», а также ссылки на теоретический материал, необходимый для выполнения этих контрольных работ и список рекомендуемой литературы. В результате изучения этих тем студенты должны:

• знать определения основных понятий теории дифференциального исчисления функций нескольких переменных (ФНП): частные производные, полный дифференциал и др.;

• уметь находить частные производные для явно и неявно заданной ФНП, частные производные высших порядков и полную производную для сложной ФНП;

• иметь представление об экстремумах ФНП и уметь находить глобальные экстремумы функции двух переменных в замкнутой области;

• иметь представление об основных поверхностях 2-го порядка, уметь составлять уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности;

• знать основные понятия теории скалярного поля и уметь определять его основные характеристики: линии уровня, градиент, производную по направлению;

• иметь представление о функции комплексной переменной, об ее аналитичности и уметь  дифференцировать аналитические функции комплексной переменной;

• знать основные понятия теории интегрального исчисления функций нескольких переменных (двойной, тройной интегралы и криволинейный интеграл II-го рода, их свойства) и уметь решать задачи с применением этих интегралов;

• иметь представление о вектор-функции скалярного аргумента, ее производных и уметь решать задачи с их использованием;

• знать основы теории векторного поля и уметь определять его основные характеристики: поток, дивергенция, ротор;

• знать основные виды векторных полей (потенциальные и соленоидальные), уметь определять вид поля и использовать его свойства.

Данные методические рекомендации включают также справочный материал, необходимый для выполнения контрольных работ по перечисленным темам, и решения примерных вариантов этих двух работ, в которых имеются ссылки на используемый справочный материал.

 

Задания для выполнения контрольных работ

 

Перед выполнением каждой контрольной работы необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии со ссылками на литературу, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.

 

Задания на контрольную работу №1 по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Элементы теории скалярного поля.  Функции комплексной переменной»

Контрольная работа состоит из семи задач. Задание для каждой задачи включает в себя ее формулировку и десять вариантов исходных данных.

 

Задача 1. Дана функция  z = f (x, y). Требуется:

1) найти частные производные  и ;

2) найти полный дифференциал dz;

3) показать, что для данной функции справедливо равенство: .

Номер варианта	Функция	Номер варианта	Функция
1	z = ln(  + 2y3)	2	z = (y2 – x) arcsin(2x)
3	z = tg(x – 5y2)	4	z = (y + 4x)2
5	z = + cos(xy)	6	z = ln3 (2y – x)
7	z = xcos(3x + 2y)	8	z =
9	z = x y + sin(x – y)	10	z = 4xy5 –

Задача 2. Найти частные производные ,   и , если переменные x, y и z связаны равенством вида F(x, y, z) = 0.

 

Номер варианта	Равенство F(x, y, z) = 0	Номер варианта	Равенство F(x, y, z) = 0
1	+ 3x2siny – 2xz3 = 0	2	sin(xy2) + z3xy2 + z4 – x = 0
3	x + zy + y2lnx – 2z = 0	4	(x – 2y)4 – 5 + 3cosx – z5 = 0
5	ln(xz3) + y3 – 5x2yz4 + 5x = 0	6	cos(y + ez) + xz5y + 3x3 + 4 = 0
7	+ ytgx – zx5 + 3y = 0	8	(z – 2x)3 + 3y4 x – y2e2z –2x = 0
9	z + + y2zx – y5 = 0	10	sin2z + ln(x – y)+ 2x4 – 3yz2 = 0

Задача 3. Дана сложная функция z= f (x, y, t), где . Найти полную производную .

 

Номер варианта	Функция z= f (x, y, t)	Функции
1	u = (3t + 2x2 – y)3	x = tgt, y =
2	u = (4t – x)	x = , y =
3	u = tsin(x3 + y)	x =  + 1, y = t4
4	u = tg(x + t )	x = ln(t3+ 1), y = t2
5	u =	x = sin3t,  y = 1 – 5t
6	u= sin(x2 + y) – y	x = , y =
7	u =	x = cos4t, y = sin2t
8	u = xctg(t – 3y)	x = 2 – 3t2, y =
9	u = ln(2t + x – y2)	x = sin2t, y =3t –
10	u = xy2 + cos(y + 2t)	x =  – t, y =2t – 4

 

Задача 4. Дана функция двух переменных: z = f (x, y) и уравнения границ замкнутой области D на плоскости x О y. Требуется:

1) найти наибольшее и наименьшее значения функции z в области D;

2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.

 

Номер варианта	Функция	Уравнения границ области D
1	z = x2 – xy + 2y2 + 3x + 2y +1	x = 0, y = 0, x +  y = –5
2	z = x2 + y2 – 6x + 4y + 2	x = 1, y = –3,  x + y = 2
3	z = 5x2 – 3xy + y2 + 5x + 4	x = –1, y = –2, x + y = 1
4	z = x2 – 2y2+ 4xy – 6x – 1	x = –1, y = 0, x + y = 3
5	z = x2 – 3xy + 4x + 8y	x = 0, y =4, x + y = –2
6	z = x2 – 4xy + 3y2 + x – y	x = –1, y = –1, y + x = 5
7	z = 10 – x – 2xy – x2	x = – 3, y = – 1, x + y = 0
8	z = 2x2 + y2 – xy + x – y + 3	x = –1,  y = 2, x – y = 0
9	z = x2 – y2 + xy – 3x + 1	x = 0, y = 0, x + y = 4
10	z = x2 + y2 – xy + x – 4y	x = 1, y = 3, x + y = –3

Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z = f (x, y). Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М₀(x₀, y₀, z₀), принадлежащей ей, если x₀, y₀ – заданные числа.

Номер варианта	Уравнение поверхности	Значения x0, y0
1	z = 3y – x2y + x	x0 = 1,  y0 = 5
2	z =  + 3x – y2	x0 = 1,  y0 = –1
3	z =  + x3 – 5	x0 = 1,  y0 = 4
4	z = y3x – y + x2	x0 = –1,  y0 = 2
5	z = cosy + 2x2 – xy	x0 = 2,  y0 = 0
6	z = xy + y3 + 2x	x0 = 2,  y0 = 1
7	z = ln(2x) – xy3 + y	x0 = ,  y0 = 2
8	z = + x2y – x4 + 1	x0 = –1,  y0 = 0
9	z = ysinx + 3y2	x0 = ,  y0 = –1
10	z = 2y –  + x5	x0 = 1,  y0 = 3

 

Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = U(x, y), точка M₀(x₀, y₀) и вектор . Требуется:

1) найти уравнения линий уровня поля U;

2) найти градиент поля в точке M₀ и производную  функции U(x, y) в точке M₀  по направлению вектора ;

3) построить в системе координат x О y 4-5 линий уровня, в том числе линию, проходящую через точку M₀; изобразить вектор  на этом чертеже.

Номер варианта	Скалярное поле	Точка M0 (x0, y0)	Вектор
1	U = x2 + 3y2	M0(1, 1)	= 3  – 4
2	U = x2 – 2 y2	M0(2, 1)	= 6  + 8
3	U = –3y – x2	M0(–1, –1)	=  + 2
4	U = y2 – 4x	M0(–2, 1)	= –2  + 2
5	U = 2x2 – y2	M0(1, 1)	= – – 3
6	U = 2 x2 + y2	M0(1, 2)	= 2  + 2
7	U = x3 – y	M0(1, –2)	= –2  +
8	U =2x +  y2	M0(–2, 1)	=  +
9	U = (x + 1)2 + y2	M0(0, 2)	=  – 2
10	U = 3x2 – y2	M0(1, –1)	= –2  + 3

 

Задача 7. Дана функция комплексной переменной (ФКП) w = f (z), где

 z = x + iy, и точка z₀. Требуется:

1) представить ФКП в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;

2) проверить, является ли функция w аналитической;

3) в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z₀.

 

№ варианта	Функция w = f (z), точка z0	№ варианта	Функция w = f (z), точка z0
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Задания на контрольную работу №2 по теме «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»

 

Контрольная работа состоит из шести задач. Задание в каждой задаче включает в себя его формулировку и десять вариантов исходных данных.

Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями. Построить чертеж области интегрирования.

Номер варианта	Границы области D	Номер варианта	Границы области D
1	x + y = 3, x = 2y2, y = 0	2	x + y = 1, x2 = y – 1, x = 1
3	y = x + 1, 1 – x = y2, y = 0	4	y = x2, 2y = x2, x = 2
5	xy = 2, y = 2x, x = 2	6	x + y = 0, x2 = y, y = 1
7	x + y = 2, y = x3, x = 0	8	xy = 1, x = y, y = 2
9	y = x + 2, y = x2	10	x = y, 2x + y2 = 0, y = 2

Указание. Считать плотность вещества .

Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R, высота цилиндра H и функция плотности , где r – полярный радиус точки.

№ варианта	Размеры цилиндра, плотность вещества	№ варианта	Размеры цилиндра, плотность вещества
1	R = 1, H = 0, 5,	2	R = 2, H = 0, 5,
3	R = 1, H = 3,	4	R = 2, H = 1,
5	R = 2, H = 0, 5,	6	R = 3, H = 1,
7	R = 1, H = 2,	8	R = 4, H = 0, 25,
9	R = 1, H = 0, 1,	10	R = 1, H = 5,

Задача 3. Вычислить работу силы  при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы.

Номер варианта	Сила	Параметрические уравнения кривой L	Значения параметра t в точках B и C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки: . Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.

№ варианта	Радиус-вектор	№ варианта	Радиус-вектор
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10

 

Задача 5. Дано векторное поле  и уравнение плоскости d.

 

Номер варианта	Векторное поле	Уравнение плоскости d
1		2x + 2y + z – 2 = 0
2		2x + 3y + z – 1 = 0
3		3x + 2y + z – 6 = 0
4		x + 2y + 2z – 2 = 0
5		3x + y + 2z – 3 = 0
6		4x + y + 2z – 2 = 0
7		x + y + 2z – 2 = 0
8		2x + 3y + 4z – 6 = 0
9		x + 2y + 4z – 4 = 0
10		x + 5y + z – 5 = 0

Требуется:

1) найти поток поля  через плоскость треугольника АВС где А, В, и С – точки пересечения плоскости d с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат;

2) используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля  через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали.

 

Задача 6. Проверить, является ли векторное поле заданной силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M в точку N, где точки M и N заданы.

 

Номер варианта	Сила	Точки M и N
1		M(–1, 0, 0),  N(1, 2, 1)
2		M(0, –2, 1),  N(1, 0, 0)
3		M(1, –2, 0),  N(3, 0, –1)
4		M(0, –1, –2),  N(1, –3, 0)
5		M(–2, 0, 1),  N(–1, 1, 0)
6		M(2, 1, 0),  N(0, –1, 3)
7		M(–1, 2, 1),  N(0, 1, –1)
8		M(0, 1, –2),  N(1, –2, –1)
9		M(0, –1, 4), N(1, 0, 3)
10		M(2, –2, 1),  N(3, 0, –1)

СоДЕРЖАНИЕ теоретического материала и ссылки на литературу

№ темы	Содержание	Литература
1	Функции нескольких переменных (ФНП), их частные производные, полное приращение и полный дифференциал. Производные ФНП высших порядков. Свойство смешанных производных высших порядков	[1], гл.IX, § 43.1, 44.1-44.3; [3], гл. VIII, § 1, 3, 5, 7, 12; [5], гл. VIII, № 1192-1195, 1210-1211, 1214-1217, 1228, 1232-1236, 1245; [7], гл. 12, № 1-8, 34-40, 67-72
2	Дифференцирование ФНП, заданных неявно	[1], гл.IX, § 44.8;   [3], гл. VIII, § 11; [5], гл. VIII, № 1276, 1288, 1289, 1291, 1293, 1294
3	Сложные ФНП. Частные производные сложных ФНП. Полная производная ФНП	[1], гл.IX, § 44.6; [3], гл. VIII, § 10; [5], гл. VIII, № 1255, 1257, 1258; [7], гл. 12, № 23-29
4	Экстремумы ФНП. Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой области	[1], гл.IX, § 43.4, 46.1-46.3; [5], гл. VIII, № 1316, 1317, 1319
5	Касательная плоскость и нормаль к поверхности	[1], гл.IX, § 45; [3], гл. IX, § 6; [5], гл. VIII, № 1295, 1297-3000; [7], гл. 12, № 94-98
6	Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Градиент скалярного поля, его свойства. Производная по направлению	[2], гл. VII, § 24; [3], гл. VIII, § 13-15; [5], гл. VIII, № 1265-1270, 1273; [7], гл. 12, № 46-54; [8], гл. II, № 2.19, 2.22, 2.26, 2.31, 2.32, 2.36, 2.42, 2.44
7	Функции комплексной переменной (ФКП). Производная ФКП. Условия Коши-Римана (Эйлера-Даламбера). Аналитические функции комплексной переменной и их дифференцирование	[2], гл. VIII, § 28.1-28.5; [6], гл. VII, № 1012, 1013, 1028, 1029, 1033-1035; [8], гл. III, № 3.29, 3.32, 3.36, 3.37-3.39
8	Двойной интеграл и его основные свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах. Приложения двойных интегралов	[2], гл.II, § 7.1-7.6; [4], гл. 13, § 1, 2, 4; [6], гл. I, № 1-8, 77, 78, 81, 85, 90, 94; [7], гл. 13, № 1-4, 15-22, 86-89,  96-99
9	Тройной интеграл и его основные свойства. Вычисление тройного интеграла в декартовых и в цилиндрических координатах. Приложения тройного интеграла	[2], гл.II, § 8.1-8.4; [4], гл. 13, § 10; [6], гл. I, № 95, 96, 99, 101, 105, 109, 112, 113, 117; [7], гл. 13, № 151, 154, 161, 167, 184
10	Криволинейный интеграл II рода (по координатам), его основные свойства, вычисление и приложения	[2], гл.III, § 10.1, 10.2, 10.5; [4], гл. 13, § 5.3, 5.4, 9.2; [6], гл.II, № 181, 182, 189, 200; [7], гл. 13, № 103, 121-126, 147-149; [8], гл. II, № 2.112, 2.113, 2.115
11	Вектор-функция скалярного аргумента, ее дифференцирование и физический смысл производных	[3], гл. IX, § 1-4; [5], гл. VII, № 1134, 1136, 1148,  1149
12	Векторное поле. Поток векторного поля через поверхность и его вычисление с использованием поверхностного интеграла II рода. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция векторного поля. Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность	[2], гл. VII, § 25, 25.2, 25.3; [4], гл.13, § 12, 14.2, 14.4, 14.5; [6], гл.II, № 238, 241, 243, 257; [7], гл.13, № 220, 222, 223, 226; [8], гл. II, № 2.62(а), 2.96, 2.99,  2.111
13	Ротор векторного поля. Потенциальное векторное поле и его потенциал. Признак потенциальности векторного поля. Свойства потенциальных полей. Нахождение потенциала векторного поля с помощью криволинейного интеграла II рода. Соленоидальное векторное поле, его свойства. Признак соленоидальности векторного поля	[2], гл. VII, § 25.5, 27.1, 27.2; [4], гл. 13, § 14.3, 14.6; [6], гл. II, № 247, 249, 250, 263; [8], гл. II, № 2.60, 2.73, 2.75, 2.131,  2.135-2.137, 2.143

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: