Потенциальные и соленоидальные векторные поля

6.1. Ротор векторного поля

Ротором (вихрем) векторного поля  называется вектор

.

Ротор – это векторная величина, которая является дифференциальной характеристикой векторного поля. Всякое векторное поле  сопровождается другим векторным полем  его роторов.

Для вычисления ротора удобно использовать его запись в форме определителя:

,                     (19)

где вектор  – это векторно-дифференциальный оператор, называемый оператором Гамильтона или оператором «набла». При вычислении определителя умножению его элементов  на функции P, Q, R соответствует операция дифференцирования: ,  и т.д.

6.2. Потенциальное векторное поле и его потенциал

Векторное поле  называется потенциальным, если существует такая скалярная функция U(x, y, z), что . Функция U называется потенциалом векторного поля .

Из определения следует, что потенциальное векторное поле – это поле градиентов некоторого скалярного поля U(M) = U(x, y, z).

Пусть векторное поле  задано в некоторой области V.

Область V  называется односвязной, если любой замкнутый контур (кривую), лежащий в ней, можно путем непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя за пределы данной области. Для плоской области D односвязность означает, что для любого замкнутого контура, лежащего в ней, ограниченная этим контуром часть области целиком принадлежит D.

Потенциальность векторного поля, заданного в односвязной области V, определяется при помощи его ротора: если во всех точках области V ротор векторного поля  – нулевой вектор, то это векторное поле является потенциальным.

Важное свойство потенциальных полей заключается в том, что если  – потенциальное векторное поле, заданное в некоторой односвязной области V, то выражение

 является полным дифференциалом функции U(x, y, z). В этом случае криволинейный интеграл вида

вдоль любой кривой ВС, принадлежащей V, не зависит от формы кривой  и равен разности потенциалов в конечной и начальной точках:

.

Это свойство можно использовать для нахождения потенциала векторного поля  при помощи криволинейного интеграла II рода. Для этого нужно взять фиксированную точку В(x₀, y₀, z₀) и произвольную (текущую) точку С(x, y, z) и вычислить криволинейный интеграл по пути ВС:

.

При этом получаем потенциал U(x, y, z) векторного поля  с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

     В качестве пути интегрирования ВС обычно выбирают ломаную В EKC (рис. 8), звенья которой параллельны осям координат и E(x, y₀, z₀), K(x, y, z₀).

В этом случае потенциал U(x, y, z) находят по формуле:

 

. (20)

Если в односвязной области задано потенциальное векторное поле силы

,

то с помощью потенциала можно найти работу силы  при перемещении единичной массы из одной заданной точки M этой области в другую точку N как разность значений потенциалов в этих точках:

.                 (21)

6.3. Соленоидальное векторное поле

Векторное поле  называется соленоидальным, если существует такое векторное поле , для которого поле является полем его роторов: .

Поле  называется векторным потенциалом векторного поля .

Практически соленоидальность векторного поля определяется при помощи его дивергенции: если во всех точках односвязной области V дивергенция векторного поля равна нулю, то это векторное поле является соленоидальным.

Решение примерного варианта контрольной работы №1

 

Задача 1. Дана функция z = cos²(2x – y). Требуется:

1) найти частные производные  и ;

2) найти полный дифференциал dz;

3) показать, что для данной функции справедливо равенство: .

Решение.

1) При нахождении  считаем аргумент y постоянным:

= (cos²(2x – y))  = 2cos(2x – y)(cos(2x – y))  =

= 2cos(2x – y)(–sin(2x – y))(2x – y)  = –2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x)  – (y) ) =

= – 2cos(2x – y)sin(2x – y)(2 – 0) =  –sin(2(2x – y))2 = –2sin(4x – 2y).

При нахождении  считаем аргумент x  постоянным:

 = (cos²(2x – y))  = 2cos(2x – y)(cos(2x – y))  =

= 2cos(2x – y)(–sin(2x – y))(2x – y)   = –2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x)   – (y) ) =

= – sin(2(2x – y))(0 – 1) = sin(4x – 2y).

2) По формуле (1) находим полный дифференциал функции:

dz =  = –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy.

3) Найдем смешанные частные производные второго порядка.

Для того, чтобы найти , дифференцируем  по у:

 =  = (–2sin(4x – 2y))  = [считаем x постоянным] =

= – 2cos(4x – 2y)(4x – 2y)  = – 2cos(4x – 2y)(0 – 2) = 4cos(4x – 2y).

Для того, чтобы найти , дифференцируем  по x:

 =  = (sin(4x – 2y))  = [считаем y постоянным] =

= cos(4x – 2y)(4x – 2y)  = cos(4x – 2y)(4 – 0) = 4cos(4x – 2y).

Получили:  = 4cos(4x – 2y),  = 4cos(4x – 2y) .

Ответы:  1) = –2sin(4x – 2y);  = sin(4x – 2y);

2) dz = –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy;

3) равенство  выполнено.

 

Задача 2. Найти частные производные ,   и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x² y e ^z – cos(x³ – z) + 2y² + 3x = 0.

Решение.

Имеем равенство вида F(x, y, z) = 0, задающее неявно функцию 2-х переменных. Для вычисления частных производных  можно использовать формулы (2) и (3).

Для F(x, y, z) = 4x²ye ^z – cos(x³ – z) + 2y² + 3x получаем:

F = (4x²ye ^z – cos(x³ – z) + 2y² + 3x)  = [считаем y и z постоянными] =

= 8xye ^z + sin(x³ – z)3x² + 3 = 8xye ^z + 3x²sin( x³ – z) + 3;

F = (4x²ye ^z – cos(x³ – z) + 2y² + 3x)  = [считаем x и z постоянными] =

= 4x²e ^z + 4y;

F  = (4x²ye ^z – cos(x³ – z) + 2y² + 3x)  = [считаем x и y постоянными] =

= 4x²ye ^z – sin (x³ – z).

По формулам (2) находим частные производные функции z = z(x, y):

;  

По формуле (3) получаем частную производную функции y = y(x, z):

.

Ответы: ; ;

.

 

Задача 3. Дана сложная функция z = ln(2t – x²y), где x = cos3t, .  Найти полную производную .

Решение. Используя формулу (4), получаем:

.

Подставив в полученный результат x = cos3t, , получим выражение полной производной  через независимую переменную t:

Ответ: .

 

Задача 4. Дана функция двух переменных: z = x² – xy + y² – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости x О y: x = 0, y = –1,

x + y = 3. Требуется:

1) найти наибольшее и наименьшее значения функции z в области D;

2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.

Решение.

1) Для наглядности процесса решения построим область D в системе координат. Область D представляет собой треугольник, ограниченный прямыми  x = 0, y = –1 и x + y = 3. Обозначим вершины треугольника: A, B, C (рис 9).

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции  z, сначала найдем все стационарные точки функции z = x² – xy + y² – 4x + 2y + 5, лежащие внутри области D (если они есть), и вычислим в них значения функции.

Стационарные точки – это точки, в которых все частные производные

1-го порядка равны нулю:

Решаем систему:

     Стационарная точка М(2, 0)  (рис. 9) и является внутренней точкой области. Вычислим значение функции в этой точке:

.

     Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D. Граница является кусочно-заданной, поэтому будем проводить исследование функции z (x, y) отдельно на каждом участке границы.

а) Уравнение участка АВ имеет вид:  и функция z является функцией одной переменной у:

.

Исследуем поведение z₁ (y) по правилам нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на замкнутом промежутке. Как известно, непрерывная функция на замкнутом промежутке достигает своих наибольшего и наименьшего значений либо на концах промежутка, либо в стационарных точках внутри промежутка (если они есть).

Исследуем поведение функции z₁(y) на участке АВ:  – стационарная точка на границе АВ, совпадающая с левым концом промежутка. Сравнивая значения функции z₁(A) = z₁(–1) = 4, z₁(B) = z₁(3) = 20, получаем: .

б) Уравнение участка АС имеет вид:  и функция z является

функцией одной переменной x:

.

Исследуем поведение функции z₂(х) на участке АС:  – стационарная точка на границе АС, лежащая внутри промежутка. Сравнивая значения функции z₂(A) = z₁(А) = 4,  z₂(С) = z₂(4) = 8  и  z₂(х₀) = z₂(1, 5) =1, 75, получаем: .

в) Уравнение участка ВС имеет вид:  и функция z является функцией одной переменной х:

Исследуем поведение функции z₃(х) на участке ВС:  – стационарная точка на границе ВС, лежащая внутри промежутка. Сравнивая значения функции

z₃(В) = z₁(В) = 20,  z₃(С) = z₂(С) = 8  и  z₃(х₁) = z₃(2, 5) =1, 25,

получаем: .

    Сравнивая все найденные значения функции, выбираем среди них наибольшее и наименьшее значения функции z (x, y) в области D:

z_наиб = z(В) = 20,  z_наим = z(М) = 1.

2) Отметим на построенном ранее чертеже области D (рис. 9) точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения: В(0, 3) и М(2, 0), а также все найденные в процессе решения точки, указав значения функции z(x, y) в этих точках.

Ответы: 1) z_наиб = z(В) = z(0, 3) = 20,  z_наим = z(М) = z(2, 0) = 1;  2) рисунок 9.

 

Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z =  + xy – 5x³. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М₀(x₀, y₀, z₀), принадлежащей ей, если x₀ = –1,  y₀ = 2.

Решение.

Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ получим, используя формулы (5) и (6).  Найдем частные производные функции

z = f (x, y) =  + xy – 5x³:

(x, y) = (  + xy – 5x³)  = –  + y – 15x²;

(x, y) = (  + xy – 5x³)  =  + x.

Точка М₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности σ , поэтому можно вычислить z₀, подставив заданные x₀ = –1 и  y₀ = 2 в уравнение поверхности:

z =  + xy – 5x³  z₀ =  + (–1) 2 – 5 (–1)³ = 1.

Вычисляем значения частных производных в точке М₀(–1, 2, 1):

(М₀) = –  + 2 – 15(–1)² = –15; (М₀) =  – 1 = –2.

Пользуясь формулой (5), получаем уравнение касательной плоскости к поверхности σ в точке М₀:

z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2)   15x + 2y + z + 10 = 0.

Пользуясь формулой (6), получаем канонические уравнения нормали к поверхности σ в точке М₀:  =  = .

Ответы: уравнение касательной плоскости: 15x + 2y + z + 10 = 0; уравнения нормали:  =  = .

Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = x² –2y, точка М₀(1, –1) и вектор . Требуется:

1) найти уравнения линий уровня поля;

2) найти градиент поля в точке M₀ и производную  в точке M₀  по направлению вектора ;

3) построить в системе координат x О y 4-5 линий уровня, в том числе линию уровня, проходящую через точку M₀, изобразить вектор  на этом чертеже.

Решение.

1) Для U = x² – 2y  уравнение семейства линий уровня имеет вид

x² – 2y = С или y =  – , где С – произвольная постоянная. Это семейство парабол, симметричных относительно оси Oy (ветви направлены вверх) с вершинами в точках (0, – ).

2) Найдем частные производные функции U = x² – 2y:

 = (x² – 2y)  = 2x,  = (x² – 2y)  = – 2.

В точке М₀(1, –1) значения частных производных: , .

По формуле (7) находим градиент поля в точке M₀:

.

Прежде, чем найти производную по направлению вектора = = {2; – 1}, вычислим его модуль и направляющие косинусы:

, .

Производную поля по направлению вектора  в точке М₀ вычисляем

по формуле (8): .

3) Для построения линий уровня  в системе координат x О y подставим в уравнение семейства линий уровня y =  –  различные значения С:

при С = 0 получим y = – уравнение линии уровня, соответствующей значению U = 0;

при С = –2 получим y =  + 1 (для U = –2);

при С = 2 получим y =  – 1 (для U = 2);

при С = – 4 получим y =  + 2, и т.д.

Получим уравнение линии уровня, проходящей через точку М₀(1, –1). Для этого вычислим значение функции U в этой точке: .

Построим эти линии в системе координат x О y  (рис. 10).

Для построения градиента поля в точке M₀ нужно отложить от точки М₀ проекции градиента в направлениях координатных осей и построить вектор  по правилу параллелограмма.

В данном случае , поэтому откладываем от точки М₀(1, – 1) две единицы вдоль оси Ox, две единицы в направлении, противоположном оси Oy и получаем вектор  как диагональ параллелограмма, построенного на векторах  и  (рис. 10).

Ответы: 1) x² – 2y = С; 2) , ;

3) линии уровня и  на рисунке 10.

Задача 7. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z₀ = – 1 + 3i. Требуется:

1) представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;

2) проверить, является ли функция w аналитической;

3) в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z₀.

Решение.

1) Выделим действительную и мнимую части функции:

.

2) Чтобы установить аналитичность функции w, проверим выполнение условий Коши-Римана (10):

Получили: . Условия Коши-Римана выполняются во всех точках, кроме особой точки z = 2i, в которой функции  x = 0, y = 2 и функции u(x, y) и v(x, y)  не определены. Следовательно, функция  – аналитическая при .

3) Найдем производную функции:

.

Вычислим значение производной функции в точке z₀ = – 1 + 3i.

Ответы:

1) ;

2) функция  аналитическая при ;

3) .

 

Решение примерного варианта контрольной работы №2

Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.

Указание. Считать плотность вещества .

Решение.

     Область D (рис. 11) представляет собой криволинейный треугольник MNK, где . Для определения координат точки М решаем систему уравнений:

Область D – правильная в направлении оси O х, она задается системой неравенств:  где  – это уравнения линий, ограничивающих область слева и справа.

Найдем статический момент пластинки MNK относительно оси Ox по формуле (11):

.

Для вычисления двойного интеграла сводим его к повторному интегралу в соответствии с системой неравенств, задающих область D:

Ответы: M_x = 4, 125 ед. стат. момента; область интегрирования на рисунке 11.

Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0, 5, высота цилиндра H = 2 и функция плотности , где r – полярный радиус точки.

Решение.

           Массу кругового цилиндра можно вычислить, используя тройной интеграл по области V, по формуле (12):

,

где – функция плотности, а V – область, соответствующая цилиндру.

Переходя к трехкратному интегралу в цилиндрических координатах, получаем:

,

где область интегрирования V (круговой цилиндр) можно задать системой неравенств:  при R = 0, 5 и H = 2.

Для определения массы цилиндра нужно вычислить трехкратный интеграл:

.

Вычислим внутренний интеграл по переменной z: .

Затем находим интеграл по переменной r:

           Третий этап – вычисление внешнего интеграла по переменной φ :

.

Ответ:  ед. массы.

 

Задача 3. Вычислить работу силы  при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L:  от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: .

Решение.

Для вычисления работы используем криволинейный интеграл II рода (формула (13)): .

Составленный криволинейный интеграл сводим к определенному интегралу, используя параметрические уравнения кривой ВС:

.

Для заданной кривой получаем:

Таким образом, для нахождения работы нужно вычислить определенный интеграл:

     Сделаем замену переменной в определенном интеграле:

, ,

тогда получим: .

     Используем прием «подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции»:

Ответ:  ед. работы.

 

Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки:

. Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.

Решение.

Вектор-функция задана в виде: .

Найдем первые и вторые производные ее проекций x(t), y(t) z(t) по аргументу t:

Найдем векторы скорости и ускорения движения точки по формулам (14) и (15):

.

Через 2 минуты после начала движения векторы скорости и ускорения будут:

, .

Ответы: , .

 

 Задача 5. Дано векторное поле  и уравнение плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0. Требуется:

1) найти поток поля  через плоскость треугольника АВС где А, В, и С – точки пересечения плоскости d с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат;

2) используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля  через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали.

Решение.

1) Чтобы вычислить поток поля  через плоскость треугольника АВС используем формулу (16): П_АВС = , где D – проекция треугольника АВС на плоскость xOy, F – функция, задающая плоскость d, которой принадлежит треугольник АВС.

Для построения чертежа найдем точки А, В, и С пересечения плоскости d с координатными осями:

.

Построим чертеж пирамиды, отложив на координатных осях точки А, В, С и соединив их с началом координат O (рис. 12).

Из уравнения плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0, которое имеет вид F(x, y, z) = 0, находим

.

Поскольку все три проекции градиента положительные, то этот вектор образует с координатными осями острые углы, т.е. направлен «от начала координат» по отношению к плоскости d.

Это означает, что вектор  и орт «внешней» нормали , указанный в задаче, совпадают по направлению, поэтому вычисление потока через плоскость треугольника АВС сводится к вычислению двойного интеграла:

П_АВС = +  (перед интегралом ставим знак «+»), где AO В – проекция треугольника ABC на плоскость xOy.

     Для расстановки пределов интегрирования по треугольнику AO В (рис. 13) найдем уравнение прямой АВ на плоскости xOy:

     Вычислим  и получим подинтегральную функцию, подставив = 2 и  (из уравнения плоскости):

.

Таким образом, поток поля  через плоскость треугольника АВС:

.

Вычислим внутренний интеграл по переменной y:

Вычислим внешний интеграл по переменной х:

.

 

     2) Чтобы вычислить поток поля  через полную поверхность пирамиды ОАВС, воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:

.

     Найдем дивергенцию этого поля по формуле (17): . Для поля  получаем:

.

     Вычислим поток поля  через полную поверхность пирамиды ОАВС:

, где  – объем пирамиды ОАВС. Этот объем можно вычислить, следующим образом:

.

В результате получаем: .

Ответы: 1) П _ABC = 8, 5, рисунок 12; 2) П_ОАВС = –2, 25.

 

Задача 6. Проверить, является ли векторное поле силы   потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0, 1, 0) в точку N(–1, 2, 3).

Решение.

Для проверки потенциальности векторного поля   найдем его ротор по формуле (19):

Следовательно, поле потенциально.

     Для проверки соленоидальности поля найдем его дивергенцию по формуле (17):

.

Следовательно, поле не соленоидально.

Для нахождения потенциала U(x, y, z) векторного поля возьмем фиксированную точку В(0, 0, 0), текущую точку С(x, y, z) и вычислим криволинейный интеграл  по ломаной В EKC, звенья которой параллельны осям координат и E(x, 0, 0), K(x, y, 0) (см. рис. 8). По формуле (20) получим:

Получили потенциал поля , где С – произвольная постоянная. Для проверки решения найдем градиент потенциала : . Следовательно, потенциал поля силы найден верно.

     Найдем работу векторного поля  при перемещении единичной массы из точки M(0, 1, 0) в точку N(–1, 2, 3) по формуле (21):

.

Ответы: поле  потенциально, не соленоидально; , где С – произвольная постоянная; работа А = –10.

 

 

Рекомендуемая литература

 

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 /  Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 /  Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс: Рольф, 2002. – 256 с.

3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебник для втузов. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов.– М.: Интеграл-Пресс, 2001.– 456 с.

4. Шипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Шипачев.– М.: Высш. шк., 2007.– 479 с.

5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.1 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 304 с.

6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 416 с.

7. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Шипачев.– М.: Высш. шк., 2001.– 304 с.

8. Кручкович Г.И. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики: учебное пособие для втузов. / Г.И. Кручкович [и др.], под ред. Г.И. Кручковича. – М.: Высш. шк., 1970.– 512 с.

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться: