Частные производные ФНП, заданной неявно

Если каждой паре чисел (x, y) из некоторой области D xOy соответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению , то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных, например, функцию .

Если существуют частные производные функции F(x, y, z):  и , то существуют частные производные от функции z (x, y), которые можно вычислить по формулам:

.                                      (2)

Пример. Дано: . Найти  и .

Здесь . По формулам (2) находим:

 

Уравнение F(x, y, z) = 0 неявно определяет еще две функции 2-х переменных: x = x(y, z) и y = y(x, z). Частные производные этих функций можно найти по формулам, аналогичным формулам (2), например:

.                                (3)

 

Производная сложной ФНП. Полная производная

 

Пусть функция z= f (x, y, t) – функция трех переменных x, y и t, причем x и y, в свою очередь, являются функциями независимой переменной t, тогда  – это сложная функция одной переменной t, а x и y – промежуточные переменные.

Полной производной по переменной t сложной ФНП  называется её производная , вычисленная как производная функции одной переменной  t  в предположении, что переменные x и y также являются функциями от t, то есть при x = x(t) и y = y(t).

Полная производная вычисляется по формуле:

.                                (4)

Здесь  – это полная производная функции z по переменной t при условии, что все другие переменные зависят от t;  – это частная производная функции z по переменной t при условии, что у функции есть другие независимые переменные, кроме  t. При нахождении зависимость переменных x, y от t не учитывается.

В полученный ответ следует подставить функции x = x(t) и y = y(t), чтобы выразить полную производную через независимую переменную t.

 

Экстремумы ФНП

4.1. Локальные максимумы и минимумы ФНП

Говорят, что функция z = f (x, y) имеет локальный максимум в точке (x₀, y₀), если существует окрестность точки (x₀, y₀), в которой выполнено неравенство f (x₀, y₀) > f (x, y) для всех точек (x, y) из этой окрестности, отличных от (x₀, y₀): .

Если же f (x₀, y₀) < f (x, y) для всех точек (x, y) из некоторой окрестности точки (x₀, y₀), отличных от (x₀, y₀), то функция z имеет локальный минимум ФНП в точке (x₀, y₀): .

Максимум  и минимум  называют локальными экстремумами ФНП.

Необходимое условие экстремума ФНП: если функция z = f (x, y) имеет экстремум в точке (x₀, y₀), то каждая частная производная первого порядка функции z в точке (x₀, y₀)  либо равна нулю, либо не существует.

Необходимое условие не является достаточным. Точки из ООФ, в которых необходимое условие выполнено, называются критическими точками функции, или точками, подозрительными на экстремум.

Если (x₀, y₀) – это такая критическая точка, в которой  и , то она называется ещё стационарной точкой функции f (x, y).

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: