ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ

   Пересечение поверхностей прямой линией -основная задача начертательной геометрии

    В результате решения такой позиционной задачи определяются точки, одновременно принадлежащие двум множествам: множеству точек прямой и множеству точек кривой поверхности

Алгоритм решения задачи:

1) через заданную прямую провести вспомогательную секущую плоскость частного положения (в некоторых случаях выгоднее в качестве вспомогательной плоскости выбирать плоскость общего положения, если она будет пересекать заданную поверхность по графически простым линиям);

2) построить линию пересечения заданной поверхности и вспомогательной плоскости;

3) искомые точки пересечения прямой и плоскости найти как точки пересечения построенного сечения и заданной прямой

4) определить видимость прямой относительно заданной поверхности

Задача.

Определить точки пересечения прямой общего положения АВ с заданной поверхностью (рис.6).

 

Решение:

1. Анализ графического условия задачи:

Заданы прямая АВ общего положения и самопересекающийся тор.

Любая плоскость, проходящая через прямую АВ, пересечет тор по кривой 4-го порядка.

2. Проводим через прямую АВ фронтально-проецирующую Р (след Р _V). Фронтальная проекция линии пересечения этой плоскости с поверхностью тора отобразится отрезком 1–7 на следе Р _V.

3. Строим линию пересечения проведенной плоскости и заданной поверхности. Горизонтальную проекцию линии пересечения строим по множеству точек, исходя из условия принадлежности поверхности тора, проводя через точки параллели определенного радиуса

      4. Искомые точки определяем в пересечении данной прямой с построенной фигурой сечения – точки С и D.

      5. Определяем видимость прямой АВ относительно поверхности тора

 

 

Рис. 6. Определение точек пересечения прямой с поверхностью тора

 

Определение искомых точек значительно упрощается, если поверхность или прямая занимают проецирующее положение.

  Задача.

Определить точки пересечения прямой АВ с поверхностью кругового цилиндра (рис.7, а).

 

                          

                                   

а                                                                 б

 

 

Рис.7. Определение точек пересечения прямой линии

и кривой поверхности при проецирующем положении:

а) поверхности; б) прямой линии

 

Решение:

Так как цилиндр занимает горизонтально-проецирующее положение, то горизонтальные проекции искомых точек m и n расположены на горизонтальном следе поверхности (окружности). Фронтальные проекции точек определяем, исходя из условия принадлежности их данной прямой.

 

 

Задача.

Определить точки пересечения сферы с фронтально-проецирующей прямой АВ (рис.7, б).

 

Решение:

Так как прямая занимает положение, перпендикулярное плоскости V, то фронтальные проекции искомых точек m' и n' совпадут с фронтальной проекцией самой прямой. Горизонтальные проекции точек m и n находим из условия принадлежности их сфере при помощи соответствующих параллелей.

 

Задача.

Определить точки пересечения прямой общего положения АВ с поверхностью пирамиды (рис. 8).

Рис. 8. Определение точек пересечения прямой с поверхностью пирамиды

 

Решение:

 

1. Через прямую MN фронтально проецирующую плоскость Р (след Р V)

2. Строим сечение пирамиды и проведенной плоскости Р

3. Находим искомые точки D и Е как точки пересечения построенного сечения и заданной прямой

4. Определяем видимость прямой MN относительно пирамиды

 

 

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

 

В результате решения таких позиционных задач определяется линия пересечения поверхностей, все точки которой одновременно принадлежат обеим поверхностям. Порядок линии пересечения алгебраических поверхностей равен произведению порядков этих поверхностей.

Построение линии пересечения поверхностей является наиболее распространенной задачей в инженерной практике. Рассмотрим способы их построения, которые встречаются наиболее часто.

Решение задачи всегда начинают с анализа условия, выясняя: какие поверхности пересекаются; какое положение они занимают относительно плоскостей проекций и друг друга; какие линии должны получиться в пересечении поверхностей (плоские, пространственные, характер проекций линии). После этого выбирают рациональный способ решения.

При построении точек линии пересечения поверхностей при любом способе вначале находят те точки, которые называют характерными или опорными:

– принадлежащие очеркам данных поверхностей;

– наиболее удаленные на экстремальное расстояние (min и max) от плоскостей проекций – ближняя и дальняя; высшая и низшая; крайняя левая и правая;

– определяющие границы видимости проекций кривой.

Затем находят промежуточные точки искомой линии.

Построенные точки соединяют между собой, учитывая характер линии пересечения и ее проекций. Следует иметь в виду, что проекции линии пересечения поверхностей должны всегда быть в пределах контура наложения проекций этих поверхностей.

Определяют видимость проекций линии пересечения и взаимную видимость поверхностей.

 

Построение линии пересечения поверхностей,

когда одна из них (или обе) является проецирующей

К проецирующим поверхностям относят плоскости частного положения или цилиндрические поверхности, образующие которых перпендикулярны какой-либо плоскости проекций. Они обладают свойством: все точки, принадлежащие им, проецируются на их следы. Значит одна из проекций (или две) линии пересечения известна – она совпадает со следом проецирующей поверхности.

Задача.

 Построить линию пересечения цилиндров вращения

Решение:

1. Анализ графического условия задачи: у пересекающихся цилиндров (рис. 9) поверхности являются проецирующими: горизонтально проецирующей и профильно проецирующей. Линия пересечения будет представлять пространственную кривую 4-го порядка. Горизонтальная проекция отобразится на след горизонтально-проецирующего цилиндра (окружность), а профильная – на след профильно-проецирующего цилиндра.

2. Т. к. поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии, их фронтальная проекция будет представлять гиперболу (две конкурирующие ветви), которую строим по общему правилу построения кривой линии по точкам, когда две проекции точек известны.

 

 

Рис. 9. Пересечение двух проецирующих цилиндров

 

Задача.

Построить линию пересечения заданных поверхностей (рис.10)

Решение:

1. Анализ графического решения задачи. Заданы цилиндр и конус вращения. Цилиндр занимает фронтально проецирующее положение. Линия пересечения – кривая 4-го порядка. Фронтальная проекция – окружность – совпадает с фронтальным следом цилиндрической поверхности. Горизонтальную и профильную проекции линии пересечения строим по множеству точек, исходя из условия их принадлежности непроецирующей поверхности (в данном случае конической), используя ее параллели.

2. Начинаем построение с характерных точек: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Точки 1 и 6 принадлежат фронтальной образующей конуса; 3 – горизонтальной образующей цилиндра; 2 и 4 – профильным образующим конуса; 5 – профильной образующей цилиндра.

Точка К – одна из промежуточных точек.

3. Построенные горизонтальные и профильные проекции точек соединяем плавными кривыми, устанавливая при этом их видимость и видимость образующих поверхностей.

 

Рис. 10. Построение линии пересечения конуса

 с проецирующим цилиндром

 

Задача. Построить линию пересечения сфера и цилиндра вращения (рис.11)

Решение:

1. Анализ графического решения задачи:

Цилиндрическая поверхность – фронтально проецирующая, следовательно, фронтальная проекция линии пересечения отображается на ее след (окружность).

2.  Все обозначенные точки, кроме К, являются характерными. Данные поверхности имеют общую фронтально-проецирующую плоскость симметрии Р (след Р _V), в которой находятся точки 1 и 6. Точка 1 принадлежит главному фронтальному меридиану сферы, две точки 6 – самая ближняя и дальняя точки линии пересечения. Точки 7 и 3 принадлежат экватору сферы. Точки 2 и 8, принадлежащие горизонтальным образующим цилиндра, являются граничными для горизонтальной проекции линии пересечения. Точки 5 и 9, принадлежащие профильному меридиану сферы, являются граничными для профильной проекции линии пересечения. Точки 4 и 10 принадлежат профильным образующим цилиндра.

3. Построенные горизонтальные и профильные проекции точек соединяем плавными кривыми, устанавливая при этом их видимость и видимость образующих поверхностей.

                                а

 

Рис. 11. Построение линии пересечения сферы и цилиндра

а-на эпюре Монжа, б-пространственная модель (начало- окончание на стр.23)

 

 

б

 

 

 

Рис. 11. Построение линии пересечения сферы и цилиндра

а-на эпюре Монжа, б-пространственная модель (окончание-начало на стр.22)

 

Построение линии пересечения поверхностей, когда

ни одна из поверхностей не является проецирующей

 

В этом случае применяют общий способ построения линии пересечения, который заключается в использовании вспомогательных секущих поверхностей-посредников.

Сформулируем общее правило построения линии пересечения поверхностей:

1) выбрать вид вспомогательных поверхностей;

2) построить линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями;

3) найти точки пересечения построенных линий и соединить их между собой плавной кривой.

В качестве вспомогательных поверхностей выбирают такие, линии пересечения которых с заданными поверхностями проецируются на чертеж в графически простые линии – прямые, окружности. В качестве вспомогательных поверхностей можно, например, использовать плоскости или сферы. Рассмотрим их применение.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: