Линейные цепи переменного тока

Линейные цепи переменного тока

 

Основные понятия переменного тока

Переменный ток – это ток, изменяющийся во вре-мени. Практически чаще всего в технике используются периодические напряжения и токи.

Рассмотрим основные параметры периодических токов и напряжений, которые присущи всем периодиче-ским процессам.

 

- Мгновенное значение – значение напряжения u( t) и тока i( t) в данный момент времени;

- Период – наименьший промежуток времени T, по истечении которого функция тока или напряжения повторяет своё мгновенное значение;

- Частота – величина обратная периоду. В физике обычно обозначается буквой ν, в технике – буквой f;

f = 1/ T

Частота измеряется в Герцах – 1 Гц = 1/с = с^-1

 

- Угловая частота (или циклическая частота) ω – показывает какой угол (в радианах) проходится в секунду;

По аналогии с движением по окружности период составляет 360⁰ или 2π радиан. Таким образом, ω показывает, какая часть периода проходится в секунду.

ω = 2πf = 2π/Т

Угловая частота ω измеряется в рад/с или с^-1 (но не в Герцах! – это неверно).

Перечисленные основополагающие величины хорошо известны из физики средней школы. Рассмотрим некоторые новые параметры, часто используемые в электротехнике.

- Среднее значение за период (постоянная состав-ляющая) – определяется следующим образом:

Пример показан на рисунке 2.1.

Для периодической функции, симметричной относи-тельно оси времени, U₀ = 0.

u(t)     U0 0

t

Рисунок 2.1 - График u(t). U0 – среднее значение

 

 

- Действующее значение тока (напряжения) – численно равно значению постоянного тока (напряжения), которое в сопротивлении за период Т выделяет столько же тепла, сколько при тех же условиях выделяет переменный ток (напряжение). Называется также среднеквадратичным значением и обозначается, как и постоянный ток – без индекса: U или I.

В ряде случаев не важны форма напряжения, период, частота и др. параметры, а важна лишь энергия или мощность, которая выделяется в нагрузке.

 

Действующее значение является одним из основных параметров переменного тока и определяется по следующим формулам:

 

 

Наиболее распространённым видом переменного тока по многим причинам является синусоидальный ток.

Рассмотрим его параметры.

 

- Мгновенное значение:

u(t) = U_msin (ω t+ψ_u)

i(t) = I_msin (ω t+ψ_i)

- Амплитуда U_m ( I_m)– максимальное значение;

 

- Угловая частота – ω;

 

- Фаза (или полная фаза): ψ( t) = ω t + ψ – угол в радианах, соответствующий моменту времени t;

 

- Начальная фаза - ψ_u (ψ_i) (читается «пси») – угол в радианах в начальный момент времени при t = 0;

Синус и косинус – напоминаем – отличаются только начальной фазой. Синусоидальный ток с тем же успехом можно называть косинусоидальным.

 

- Действующее значение U (I);

 

Выведем формулу.

Найдём интеграл:

Второй интеграл равен нулю, так как косинус – чётная функция на периоде Т.

Таким образом:

Аналогично для тока:

 

Часто студенты ошибаются, говоря, что действующее значение всегда в √2 раз меньше амплитудного. Запомните – это справедливо только для синусоидального тока!

 

- Средневыпрямленное значение U_ср.

 

Среднее значение функции, симметричной относи-тельно оси t, равно нулю. Поэтому для синусоидального тока используют параметр средневыпрямленное значение (среднее за полпериода). Эта величина используется не так часто.

Для синусоидального тока U_ср = 2U _m/π ≈ 0,637 U _m

 

Векторов

 

Действия с синусоидальными величинами, очевидно, намного сложнее, чем с постоянными. Для переменного тока используют свои специальные методы расчёта. Рассмотренные ниже методы расчёта предпола-гают, что все токи и напряжения имеют одну и ту же частоту ω. При различных частотах разных источников энергии эти методы работать не будут.

Одним из методов является представление токов и напряжений в виде векторов.

 

Пусть имеется ток - i( t) = I_msin (ω t+ ψ_i)

 

Представим его в виде радиус-вектора (рисунок 2.2)

i(t)

ω

I

ψi

t

Рисунок 2.2 - Представление синусоидального тока в виде вектора

 

Длина вектора равна амплитудному I _m или действу-ющему значению I. Угол, образуемый вектором с осью t, равен начальной фазе ψ_i. Угол отсчитывается как обычно в тригонометрии: от оси абсцисс против часовой стрелки. В данном примере ψ_i > 0.

Вектор вращается против часовой стрелки с угловой частотой ω.

 

Как известно, синус – проекция вращения вектора единичной длины на ось ординат при вращении его против часовой стрелки с частотой ω.

Аналогично и здесь: мгновенное значение i(t) – это проекция вращения вектора длиной I на ось ординат при вращении его против часовой стрелки с частотой ω.

Таким же образом можно представить несколько токов или напряжений. Суммой их будет вектор, равный сумме векторов (рисунок 2.3).

Пусть имеются два тока:

i₁(t) = I_m1sin (ω t+ψ₁)

i₂(t) = I_m2sin (ω t+ψ₂)

Представляем их в виде векторов I₁ и I₁. Суммой их является вектор I (рисунок 2.3)

i(t) = I_msin (ω t+ψ)

 

i(t)

I1

I

ψ

t

Рисунок 2.3 - Сложение двух синусоидальных токов

I2

Ψ1

Ψ2

Действуют все математические правила действий с векторами. Все вектора вращаются против часовой стрелки с частотой ω, взаимное их расположение при этом не меняется.

 

Если нет необходимости определять мгновенные значения, то один из векторов можно направить произвольно, главным является взаимное расположение векторов, сдвиг фаз между ними.

То же самое действует и в отношении напряжений. Аналогично можно использовать амплитудные или действующие значения.

 

Комплексные числа.

Символический метод расчёта

 

Другим методом расчёта является символический метод – представление векторов в виде комплексных чисел.

Комплексное число (назовём здесь его Z) имеет действительную и мнимую части. Назовём их R и X. Запись числа в алгебраической форме:  

Z = R+jX,

Где j = √-1– «мнимая единица». j² = -1. В математике также обозначается не j, а буквой i.

X

φ

R

Z

+j

Рисунок 2.4 - Представление комплексного числа

Комплексное число может быть представлено векто-ром (или точкой) на комплексной плоскости, где по оси ординат откладывается действительная часть, а по оси абсцисс – мнимая часть (рисунок 2.4).

 

Именно так в дальнейшем будут обозначаться сопротивления:

R – активное сопротивление;

X – реактивное сопротивление;

Z – полное сопротивление.

Далее эти понятия (R, X, Z) будут изучаться детально.

 

Существует также показательная форма записи комплексных чисел:

Z = ‌‌ Ze^jφ ‌

Перевод из одной формы в другую производится, используя формулы Эйлера:

e^jφ = cos φ + j sin φ

e^-jφ = cos φ - j sin φ

 

Ещё одна форма записи – тригонометрическая:

Z = Z cos φ + j Z sin φ

 

Формулы перевода из одной формы в другую имеют следующий вид:

φ = arctg X/R R = Z cos φ X = Z sin φ

‌‌

Z = R + jX

 

Аналогично в символической (комплексной) форме записывается ток и напряжение:

İ = I e^{jψ i} , Ú = U e^{jψ u}

 

Выражение для комплексов тока и напряжения обычно записываются через действующие значения, но могут быть также записаны и через амплитудные:

İ_m = I_me^{jψ i} , Ú _m = U_me^{jψ u}

 

Пояснения к обозначениям. Может возникать путаница при одинаковых обозначениях, например: I – «комплекс тока» и I – «действующее значение тока». То же касается Z и U. Поэтому для символического обозначения этих величин нужно использовать другое обозначение. Для функции времени – напряжения и тока – используется обозначение с точкой вверху.

Сопротивление Z не является функцией времени, поэтому обозначать его Ż ошибочно. Для сопротивления принято для комплекса обозначение с подчёркиванием снизу: Z.

Для операций сложения (вычитания) нужна запись комплекса в алгебраической форме, для умножения (деления) – в показательной. При выполнении расчётов вручную, часто приходится преобразовывать одну форму в другую, что является довольно громоздким и трудоёмким.

 

Цепи с соединением R, L, C

 

Итак, как было показано, в цепях переменного тока существует следующие типы сопротивлений:

- активное сопротивление R;

- реактивное сопротивление Х.

- полное сопротивление Z

 

Напомним основные соотношения между ними в комплексной форме:

‌‌ Z = R + jX

φ = arctg X/R R = Z cos φ X = Z sin φ

Для наглядности можно это представить в виде треугольника сопротивлений (рисунок 2.10).

X

φ

R

Z

Рисунок 2.10 – Треугольник сопротивлений

 

 

 

Реактивное сопротивление Х делится на индуктивное Х_L и ёмкостное X_C:

Х = Х_L-X_C = ωL - 1/ ωC

Эта формула разности сопротивлений справедлива только при последовательном соединении сопротивлений, о чём студенты часто забывают. Ведь только при последовательном соединении сопротивлений они складываются.

 

Для катушки: Х = Х_L= ωL

Для конденсатора: Х = - Х_С = - 1/ ωC

 

Важно иметь в виду, что реактивное сопротивление Х может быть и отрицательным. Но само ёмкостное сопротивление Х_С положительно, просто берётся со знаком «минус».

В комплексной форме реактивное сопротивление является мнимой частью полного сопротивления:

Z = jX = j(Х_L-X_C)

На рисунке для примера реактивное сопротивление и угол φ показаны положительными (индуктивное сопротивление). При ёмкостном сопротивлении вектор Х будет направлен вниз.

Закон Ома:   Ú = İ Z.

φ = ψ_u-ψ_i – сдвиг фаз между током и напряжением.

Замечание во избежание путаницы в определениях. Все величины – и токи, и напряжения и сопротивления являются комплексными и имеют действительную и мнимую части. Но термины «активный» и «реактивный» обычно относятся только к сопротивлениям.

В ряде случаев, как и для постоянного тока, используют понятия проводимости. В цепях переменного тока она также может содержать активную (действитель-ную) и реактивную (мнимую) составляющие.

 

G = 1/R – активная проводимость;

B = 1/ X – реактивная проводимость;

Y = 1/ Z – полная проводимость;

Y = 1/ Z – комплексная проводимость.

Все соотношения такие же, как для сопротивлений, за исключением знака «минус». Треугольник проводимо-стей показан на рисунке 2.11.

-jB

φ

G

Рисунок 2.11 - Треугольник проводимостей

Y = G - jB

φ = arctg (B/G)

G = Y cos φ

B = Y sin φ

 

 

Используя полученные соотношения, рассмотрим несколько более сложные цепи, содержащие и активные и реактивные элементы.

 

Резонанс

 

Резонанс напряжений

 

Рассмотрим цепь с последовательным соединением резистора, катушки и конденсатора (рисунок 2.28).

L

→ i(t)

u(t)

Рисунок 2.28 - Последовательное соединение R, L, C

R

С

 

Полное сопротивление цепи:

Z = R+ jX = R+ j( X_L- X_C)

 

Соотношения для определения токов и напряжений уже рассмотрены неоднократно, поэтому детально приводить их не имеет смысла. Векторные диаграммы показаны на рисунках 2.29 и 2.30.

 

XС

φ

R

Z

Рисунок 2.29 - Сопротивления при последовательном соединении R, L, С: a – XL<XC, φ < 0, b - XL>XC, φ > 0

XL

XС

φ

R

Z

XL

a

b

 

 

UС

φ

UR

U

Рисунок 2.30 - Векторные диаграммы при последовательном соединении R, L, С: a – XL<XC, b - XL>XC

UL

UС

φ

UR

U

UL

a

b

I

I

 

На рисунках показаны варианты при X_L< X_C и X_L> X_C. Возможен вариант, когда X_L= X_C и φ = 0. Такое явление в электрической цепи, содержащей L и C, при котором сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю, называется резонансом. При резонансе цепь, несмотря на наличие реактивных элементов, ведёт себя как активное сопротивление (рисунок 2.31).

Электрическая цепь, в которой возможен резонанс, называется колебательным контуром. В данном случае, при последовательном соединении, схема называется последовательным колебательным контуром. Резонанс в такой цепи называется резонансом напряжений.

 

Условие резонанса: X_L= X_C => ω L=1/ω C

UС=UL

U=UR

Рисунок 2.31 - Векторная диаграмма при последовательном резонансе

I

 

 

При заданных L и C резонанс возможен на одной частоте, называемой резонансной частотой ω₀:

 

 

Свойства схемы на частоте резонанса:

 

- φ = 0, напряжение и ток совпадают по фазе;

 

- Полное сопротивление Z = R;

 

- Ток в цепи максимальный I = I_max= U/ I;

 

- реактивные сопротивления равны. Подставив из формулы частоту резонанса, получим:

 

 

 

ρ называется волновым или характеристическим сопротивлением;

 

- Напряжения на L и C равны: U_L= U_C= X_LI = ρ I

 

- Общее напряжение цепи: U = U_R= RI

 

Важный момент: напряжения на реактивных элементах могут быть больше общего напряжения цепи, если ρ> R.

 

- Величина Q = ρ/ R = U_L/ U = U_C/ U называется добротностью колебательного контура Q (не путать с реактивной мощностью) показывает во сколько раз напряжение на реактивных элементах больше напряжения на резисторе;

 

- Полная мощность равна активной мощности:

S = P, Q = 0

Частотная характеристика колебательного контура показана на рисунке 2.32. С ростом частоты X_L линейно возрастает, X_С обратно пропорционально убывает, а Z имеет минимум на частоте резонанса ω₀.

Z

XL

XC

ω

Рисунок 2.32 - Частотные характеристики последовательного колебательного контура

R

ω0

.

 

 

I

ω

Рисунок 2.33 - Частотная характеристика тока I = f (ω)

ω0

Зависимость тока от частоты I = f (ω)  - показана на рисунке 2.33. При постоянном напряжении ток максима-лен на частоте ω₀.

 

На рисунке 2.34 показана фазо-частотная характе-ристика – зависимость сдвига фаз между током и напря-жением от частоты φ( ω). На частоте резонанса ω₀ сдвиг фаз равен нулю. При ω < ω₀ цепь носит индуктивный характер и φ < 0, при φ > ω₀ – ёмкостной и φ > 0.

 

 

+π/2

ω

Рисунок 2.34 – Фазо-частотная характеристика последовательного колебательного контура

ω0

-π/2

0

φ(ω)

Резонанс токов

 

Аналогично рассмотрим цепь с параллельным соединением резистора, катушки и конденсатора (рисунок 2.35).

L

u(t)

Рисунок 2.35 - Параллельное соединение R, L, C

R

С

→ i(t)

↓iR(t)   ↓iC(t)   ↓iL(t)

 

 

Как обычно, при параллельном соединении, удобно использовать проводимости, а не сопротивления.

 

Полная проводимость цепи:

Y = G - jB = G - j( B_L- B_C)

 

Векторные диаграммы при B_C< B_L и B_C>B_L показаны на рисунках 2.36 и 2.37.

BL

φ

G

Y

Рисунок 2.36 - Проводимости при параллельном соединении R, L, С: a – BC <BL, φ > 0, b - BC > BL, φ < 0

BC

BL

φ

G

G

BC

a

b

 

IL

φ

IR

I

Рисунок 2.37 - Векторные диаграммы при последовательном соединении R, L, С: a – BC < BL, φ > 0, b - BC > BL, φ < 0

IC

IL

φ

IR

I

IC

a

b

U

U

 

Такая схема называется параллельным колебатель-ным контуром. Резонанс в такой цепи называется резонансом токов (рисунок 2.38).

IС=IL

I=IR

Рисунок 2.38 - Векторная диаграмма при параллельном резонансе

U

 

 

Условие резонанса: B_L= B_C => 1/ω L=ω C

Формула для частоты резонанса аналогична:

 

 

Свойства схемы параллельного колебательного контура на частоте резонанса:

 

- φ = 0, напряжение и ток совпадают по фазе;

 

- Полное сопротивление Z = R,

проводимость: Y = G;

 

- Ток в цепи минимальный I = I_min= UG;

 

- реактивные сопротивления и проводимости равны:

 

 

 

- Токи через L и C равны: I_L= I_C;

 

- Добротность контура: Q = ρ/ R = Y/ G;

 

- Полная мощность равна активной мощности:

S = P, Q = 0

 

Как видите, наблюдается полная аналогия с последовательным резонансом.

Частотные характеристики параллельного колеба-тельного контура показаны на рисунках 2.39 и 2.40. Они полностью аналогичны характеристикам последователь-ного колебательного контура, если заменить сопротивле-ния на проводимости, а ток на напряжение.

Фазо-частотная характеристика параллельного коле-бательного контура показана на рисунке 2.41.

 

Y

ВL

BC

ω

Рисунок 2.39 - Частотные характеристики параллельного колебательного контура

G

ω0

 

 

+π/2

ω

Рисунок 2.41 – Фазочастотная характеристика параллельного колебательного контура

ω0

-π/2

0

φ(ω)

 

 

Примеры расчёта цепей переменного тока

 

Расчёт схем синусоидального тока не столько сложен для понимания, сколько трудоёмок. Рассмотрим сначала простой пример.

 

Задание 1.

U. В   12   6   0   -6

3  6  9   12                             t. мс

Рисунок 2.43 – Синусоидальный сигнал

Пусть задан синусоидальный сигнал напряжения, изображённый на рисунке 2.43.

Для изображённого сигнала определить:

1) амплитуду;

Амплитуда сигнала – максимальное отклонение от нуля – в данном случае U_m=12 В.

Несмотря на то, что это очевидно, студенты иногда отвечают, что амплитуда равна 24 В. На самом деле – 24В – это называется размах – разница между максимальным и минимальным значением сигнала.

2) действующее значение;

Для синусоидального сигнала действующее значе-ние меньше амплитуды в √2 раз, то есть:

3) период;

По графику видно – период составляет T=20 мс.

4) частоту;

5) угловую частоту;

ω=2πf = 2∙3,14∙50= 314 с^-1.

6) начальную фазу;

Считаем, что закон изменения напряжения – синус (а не косинус). При начальной фазе сигнала, равной нулю, в точке t=0, синус равен нулю и возрастает, то есть соответствует на данном графике точке t = 9 мс. Относительно этой точки сигнал задержан на половину периода, то есть 180⁰. Таким образом,

ψ_u= -180⁰

(или +180⁰, что то же самое).

7) Записать мгновенное значение напряжения;

U(t)=U_msin(ω t+ψ _u ) = 12sin(314t-180⁰)В

8) Записать комплекс для действующего значения напряжения;

Как было сказано выше, обычно для расчётов используют не амплитудные, а действующие значения.

 (или )

Чтобы не усложнять запись значок градусов можно не писать – просто 180.

 

Задание 2.

Задана схема (рисунок 2.44) и её параметры.

R

C

R= 200 Ом С= 8 мкФ f = 200 Гц Ė = 20 ej30 В

E

Рисунок 2.44 – пример схемы RC для расчёта

 

Рассчитаем различные возможные параметры цепи.

 

1.Ёмкостное сопротивление:

Х_с=100 Ом.

 

2.Модуль полного сопротивления цепи:

 

 

 

3.Угол сдвига фаз

В электронике обычно угол не обозначают в ради-анах – чаще в градусах. Обратите внимание – реактивное сопротивления для конденсатора отрицательно, угол, естественно – тоже.

 

4. То же можно записать символическим методом – через комплексы, используя те же формулы:

 

Для дальнейшего сложения/вычитания нужно значе-ние в алгебраической форме, для умножения/деления – в показательной.

Перевод из одной формы в другую, требующий вычисления корня из суммы квадратов и арктангенса – процесс, занимающий определённое время. Очень удобно в этом случае пользоваться инженерным калькулятором, позволяющим преобразовывать декартовы координаты в полярные и наоборот. Это значительно экономит время.

5. Треугольник сопротивлений для данной схемы в примерном масштабе показан на рисунке 2.45.

Х= -XС= -100

φ= -26,60

R=200

Z=223,6

Рисунок 2.45 – Треугольник сопротивлений при последовательном соединении R и С

6.Определим ток в цепи.

Используем символический метод – это проще.

Закон Ома в комплексной форме: Ú = İ Z

В данном случае – вместо комплекса напряжения запишем комплекс ЭДС, указанный в условии задачи.

Ė= İ∙ Z

Действующее значение тока: I = 89,4 мА.

Начальная фаза тока: ψ_i = 56,6⁰

Амплитудное значение тока:

I_m=I∙√2 = 89,4∙√2 = 126,5 мА.

 

7. Запишем формулу мгновенного значения тока:

i(t) = I_m sin (ωt + ψ_i)= 89,4 sin (314t + 56,6⁰) мА

8. Определим напряжение на резисторе.

Это несложно. Так как на активном сопротивлении ток всегда совпадает по фазе с напряжением, то нужно просто ток умножить на R.

Действующее значение: U_R=I∙ R= 0,0894∙200=17,88 В

U_R =17,88 В.

Амплитудное значение: U _mR=I _m∙ R= 0,1265∙200 В

U _mR =25,3 В.

Формула мгновенного значения:

u_R(t) = i(t)∙R = I_m R∙sin(ωt + ψ_i)= U_mR sin(ωt + ψ_i) В.

u_R( t) =25,3∙ sin(314 t +56,6⁰) В.

 

9. Определим напряжение на конденсаторе.

Действующее значение: U_С=I∙Х_с=0,0894∙100=8,94 В

U_С =8,94 В.

Амплитудное значение: U _mС=I _m∙ Х_с = 0,1265∙100 В

U _mС =12,65 В.

Комплекс:

 – Этот момент часто неясен студентам, хотя это следует непосредственно из правил действий с комплексными числами – перевод из одной формы записи в другую.

Начальная фаза напряжения на конденсаторе:

ψ_uc = - 33,4⁰

Мгновенное значение:

u_С( t)= U_mС sin( ωt+ ψ_uc) В.

u_С( t)=12,65∙ sin(314 t -33,4⁰) В.

 

10. Построим векторную диаграмму напряжений и тока в цепи (рисунок 2.46).

На активном сопротивлении (резисторе) ток всегда совпадает с напряжением. На конденсаторе угол между током и напряжением всегда составляет 90⁰ (ток опережает напряжение).

Оцените точность рисунка – сравните углы тока и каждого напряжения с рассчитанными значениями в градусах.

UC

φ

UR

Е

Рисунок 2.46 - Векторные диаграммы напряжений и тока

I

11. Рассчитаем мощности элементов цепи.

Активная мощность:

P = I²R = 0,0894²∙200 = 1,6 Вт.

Реактивная мощность (в данном случае– ёмкостная):

Q = I²Х_С = 0,0894²∙100 = 0,8 ВАР.

Полная мощность:

 

Другой вариант расчёта – через мощность ЭДС – произведение комплекса ЭДС на комплексно-сопряжённый ток:

Откуда:

P = S cosφ = 1,79 cos(-26,6⁰) = 1,79∙0,894 = 1,6 Вт

Q = S sinφ = 1,79 sin(-26,6⁰) = -1,79∙0,448 = - 0,8 ВАР

Это, естественно, совпадает с предыдущим результатом.

 

Методические указания

К контрольной работе

 

Список использованной литературы

1. Л. А. Бессонов. Теоретические основы электро-техники: Электрические цепи. - М.: Высшая школа, 1996.

 

2. Ф. Е. Евдокимов. Теоретические основы электро-техники. - М.: Высшая школа, 1965.

 

3. Касаткин А. С. Курс электротехники: Учеб. Для вузов. – М.: Высшая школа, 2007.

 

4. Варзяев А. В., Помян С. В., Столяренко Ю. А. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Электроника» – Тирасполь, Издательство ПГУ, 2012.- 1 п.л.: ил.

 

Линейные цепи переменного тока

 

Основные понятия переменного тока

Переменный ток – это ток, изменяющийся во вре-мени. Практически чаще всего в технике используются периодические напряжения и токи.

Рассмотрим основные параметры периодических токов и напряжений, которые присущи всем периодиче-ским процессам.

 

- Мгновенное значение – значение напряжения u( t) и тока i( t) в данный момент времени;

- Период – наименьший промежуток времени T, по истечении которого функция тока или напряжения повторяет своё мгновенное значение;

- Частота – величина обратная периоду. В физике обычно обозначается буквой ν, в технике – буквой f;

f = 1/ T

Частота измеряется в Герцах – 1 Гц = 1/с = с^-1

 

- Угловая частота (или циклическая частота) ω – показывает какой угол (в радианах) проходится в секунду;

По аналогии с движением по окружности период составляет 360⁰ или 2π радиан. Таким образом, ω показывает, какая часть периода проходится в секунду.

ω = 2πf = 2π/Т

Угловая частота ω измеряется в рад/с или с^-1 (но не в Герцах! – это неверно).

Перечисленные основополагающие величины хорошо известны из физики средней школы. Рассмотрим некоторые новые параметры, часто используемые в электротехнике.

- Среднее значение за период (постоянная состав-ляющая) – определяется следующим образом:

Пример показан на рисунке 2.1.

Для периодической функции, симметричной относи-тельно оси времени, U₀ = 0.

u(t)     U0 0

t

Рисунок 2.1 - График u(t). U0 – среднее значение

 

 

- Действующее значение тока (напряжения) – численно равно значению постоянного тока (напряжения), которое в сопротивлении за период Т выделяет столько же тепла, сколько при тех же условиях выделяет переменный ток (напряжение). Называется также среднеквадратичным значением и обозначается, как и постоянный ток – без индекса: U или I.

В ряде случаев не важны форма напряжения, период, частота и др. параметры, а важна лишь энергия или мощность, которая выделяется в нагрузке.

 

Действующее значение является одним из основных параметров переменного тока и определяется по следующим формулам:

 

 

Наиболее распространённым видом переменного тока по многим причинам является синусоидальный ток.

Рассмотрим его параметры.

 

- Мгновенное значение:

u(t) = U_msin (ω t+ψ_u)

i(t) = I_msin (ω t+ψ_i)

- Амплитуда U_m ( I_m)– максимальное значение;

 

- Угловая частота – ω;

 

- Фаза (или полная фаза): ψ( t) = ω t + ψ – угол в радианах, соответствующий моменту времени t;

 

- Начальная фаза - ψ_u (ψ_i) (читается «пси») – угол в радианах в начальный момент времени при t = 0;

Синус и косинус – напоминаем – отличаются только начальной фазой. Синусоидальный ток с тем же успехом можно называть косинусоидальным.

 

- Действующее значение U (I);

 

Выведем формулу.

Найдём интеграл:

Второй интеграл равен нулю, так как косинус – чётная функция на периоде Т.

Таким образом:

Аналогично для тока:

 

Часто студенты ошибаются, говоря, что действующее значение всегда в √2 раз меньше амплитудного. Запомните – это справедливо только для синусоидального тока!

 

- Средневыпрямленное значение U_ср.

 

Среднее значение функции, симметричной относи-тельно оси t, равно нулю. Поэтому для синусоидального тока используют параметр средневыпрямленное значение (среднее за полпериода). Эта величина используется не так часто.

Для синусоидального тока U_ср = 2U _m/π ≈ 0,637 U _m

 

123456Следующая ⇒

Поделиться: