Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление

Вопросы к экзамену

 

1) Функция – это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.

Если функция задана соответствием y = f ( x ), то переменная х называется независимой переменной или аргументом, а у зависимой переменной или функцией.

 

Область определения функции (ООФ) – это множество значений D, которые может принимать х.

 

Область значений функции – это множество значений Е, которое может принимать у.

 

График функции – это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (х) и ординаты (у) которых связаны указанной функцией у= f ( x ).

 

2) Четность и нечетность функции, периодичность, ограниченность

 

Функция называется четной, если область определения функции симметрична относительно нуля, а для любого х из области определения справедливо f (- x )= f ( x ).График четной функции симметричен относительно оси Оу.

 

Функция называется нечетной, если область определения функции симметрична относительна нуля, а для любого х из области определения справедливо f (- x )=- f ( x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

 

Функция f ( x ) называется периодической, если для любого х из области определения справедливо f ( x )= f ( x + T )= f ( x - T ), где Т–период. График периодической функции состоит из неограниченного числа повторяющихся фрагментов.

 

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число М, что | f ( x )| ≤ М для всех значений х. Если такого числа не существует,то функция – неограниченная.

Сложная функция – это функция от функции т.е. если g – это функция от х, то есть g = g ( x ), а f – функция от g, то f = f ( g ( x )) – сложная функция.

3) Последовательность – это такой набор элементов некоторого множества, что: для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества; это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности.

Предел последовательности – это такой математический объект , к которому члены последовательности стремятся или приближаются с ростом порядкового номера элемента последовательности.

 

Теорема о единственности предела гласит, что сходящая последовательность может иметь только один предел.

 

4) Теоремы о пределе суммы, произведения и частного:

ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть

и равен плюс (минус) бесконечности, если предел знаменателя 0, а предел числителя конечен и отличен от нуля.

 

5) Свойства бесконечно малых (больших) последовательностей:

Последовательность называется бесконечно малой, если

    Бесконечно малая последовательность ограничена.

Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.

Если элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу , то .

Последовательность называется бесконечно большой, если .

Свойства бесконечно больших последовательностей

Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака.

Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть бесконечно большая последовательность.

Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.

Произведение бесконечно большой последовательности на константу есть бесконечно большая последовательность.

6) Монотонные последовательности.

 

Определение .

1) Если x_n+1 > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если x_n+1 ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если x_n+1 < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если x_n+1 £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая

 

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Теорема.Если монотонная последовательность ограничена, то она сходится.

Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой необходимое и достаточное условие ее сходимости. Действительно, по теореме 8 сходящаяся монотонная последовательность ограничена.

Замечание 2. Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например, последовательность сходится к числу ноль, но не является монотонной.

Замечание 3. Если последовательность неубывающая сходящаяся и - ее предел, то для всех номеров n выполняется неравенство . Аналогично, если невозрастающая сходящаяся последовательность и – ее предел, то для всех номеров n справедливо .

 

7) Понятие предела функции при х→х₀ и при х→∞

Определение (нахождение предела функции на бесконечности).

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции сходится к А. Обозначается .

Замечание.

Предел функции f(x) при бесконечен, если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции является бесконечно большой положительной или бесконечно большой отрицательной. Обозначается .

Определение (существование предела функции в точке).

Предел функции f(x) в точке а существует, если существуют пределы слева и справа а и они равны между собой.

Замечание.

Предел функции f(x) в точке а бесконечен, если пределы слева и справа абесконечны.

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

 

e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число {\displaystyle e} e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

Односторонние пределы

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Производная функции. Таблица производных основных функций.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

 

 

 

Производная сложной функции

Если y=f(u), где u=u(x), то есть y — сложная функция, то производная сложной функции находится по следующему правилу: y’=f'(u)·u'(x), то есть производную внешней функции f надо умножить на производную внутренней функции u.

 

Точки экстремума

Определение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +Dx) > f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Производные высших порядков

Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"

Итак, у"=(у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))¢ .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Асимптоты графика функции

Определение.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис.5.10).

Асимптоты бывают вертикальные (параллельные оси Оу), горизонтальные (параллельные оси Ох) и наклонные.

 

Рис. 5.10

Вертикальные асимптоты

Определение.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если выполнено одно из условий:

или (рис.5.11)

Рис. 5.11

Вертикальные асимптоты, уравнение которых х=x₀ , следует искать в точках, где функция терпит разрыв второго рода, или на концах ее области определения, если концы не равны . Если таких точек нет, то нет и вертикальных асимптот.

Например, для кривой , вертикальной асимптотой будет прямая , так как , . Вертикальной асимптотой графика функции является прямая (осьОу), поскольку

.

Горизонтальные асимптоты

Определение.

Если при ( ) функция имеет конечный предел, равный числу b:

,

то прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

Наклонные асимптоты

Определение.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при ( ), если выполняется равенство

.

Наличие наклонной асимптоты устанавливают с помощью следующей теоремы.

Теорема.

Для того, чтобы график функции имел при ( ) наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

и

Дифференциальное исчисление

Вопросы к экзамену

 

1) Функция – это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.

Если функция задана соответствием y = f ( x ), то переменная х называется независимой переменной или аргументом, а у зависимой переменной или функцией.

 

Область определения функции (ООФ) – это множество значений D, которые может принимать х.

 

Область значений функции – это множество значений Е, которое может принимать у.

 

График функции – это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (х) и ординаты (у) которых связаны указанной функцией у= f ( x ).

 

2) Четность и нечетность функции, периодичность, ограниченность

 

Функция называется четной, если область определения функции симметрична относительно нуля, а для любого х из области определения справедливо f (- x )= f ( x ).График четной функции симметричен относительно оси Оу.

 

Функция называется нечетной, если область определения функции симметрична относительна нуля, а для любого х из области определения справедливо f (- x )=- f ( x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

 

Функция f ( x ) называется периодической, если для любого х из области определения справедливо f ( x )= f ( x + T )= f ( x - T ), где Т–период. График периодической функции состоит из неограниченного числа повторяющихся фрагментов.

 

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число М, что | f ( x )| ≤ М для всех значений х. Если такого числа не существует,то функция – неограниченная.

Сложная функция – это функция от функции т.е. если g – это функция от х, то есть g = g ( x ), а f – функция от g, то f = f ( g ( x )) – сложная функция.

3) Последовательность – это такой набор элементов некоторого множества, что: для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества; это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности.

Предел последовательности – это такой математический объект , к которому члены последовательности стремятся или приближаются с ростом порядкового номера элемента последовательности.

 

Теорема о единственности предела гласит, что сходящая последовательность может иметь только один предел.

 

4) Теоремы о пределе суммы, произведения и частного:

ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть

и равен плюс (минус) бесконечности, если предел знаменателя 0, а предел числителя конечен и отличен от нуля.

 

5) Свойства бесконечно малых (больших) последовательностей:

Последовательность называется бесконечно малой, если

    Бесконечно малая последовательность ограничена.

Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.

Если элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу , то .

Последовательность называется бесконечно большой, если .

Свойства бесконечно больших последовательностей

Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака.

Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть бесконечно большая последовательность.

Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.

Произведение бесконечно большой последовательности на константу есть бесконечно большая последовательность.

6) Монотонные последовательности.

 

Определение .

1) Если x_n+1 > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если x_n+1 ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если x_n+1 < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если x_n+1 £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая

 

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Теорема.Если монотонная последовательность ограничена, то она сходится.

Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой необходимое и достаточное условие ее сходимости. Действительно, по теореме 8 сходящаяся монотонная последовательность ограничена.

Замечание 2. Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например, последовательность сходится к числу ноль, но не является монотонной.

Замечание 3. Если последовательность неубывающая сходящаяся и - ее предел, то для всех номеров n выполняется неравенство . Аналогично, если невозрастающая сходящаяся последовательность и – ее предел, то для всех номеров n справедливо .

 

7) Понятие предела функции при х→х₀ и при х→∞

Определение (нахождение предела функции на бесконечности).

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции сходится к А. Обозначается .

Замечание.

Предел функции f(x) при бесконечен, если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции является бесконечно большой положительной или бесконечно большой отрицательной. Обозначается .

Определение (существование предела функции в точке).

Предел функции f(x) в точке а существует, если существуют пределы слева и справа а и они равны между собой.

Замечание.

Предел функции f(x) в точке а бесконечен, если пределы слева и справа абесконечны.

1234Следующая ⇒

Поделиться: