Непрерывные функции. Теорема о непрерывности

Определение 14.1. Функция называется непрерывной в точке a, если она удовлетворяет следующим трём условиям:

1) определена в точке а (то есть существует );

2) имеет конечный предел функции при ;

3) этот предел равен частному значению функции в точке а, то есть .

Определение 14.2. Функция называется непрерывной справа (слева) в точке a, если правое (левое) предельное значение этой функции в точке a существует и равно частному значению

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке a, то она непрерывна в этой точке.

Теорема о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке.

Теорема (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке ( ) и на концах его принимает значения разных знаков ( ). Тогда найдется такая точка , в которой функция обращается в нуль:

(1)

Производные высших порядков

Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"

Итак, у"=(у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))¢ .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Точки разрыва функции и их классификация

1. Устранимый разрыв.

Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если предел функции в этой точке существует, но в точке а функция либо не определена, либо ее значение не равно пределу в этой точке

2. Разрыв первого рода.

Точка а называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

3. Разрыв второго рода.

Точка а называется точкой разрыва второго рода функции Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Асимптоты графика функции

Определение.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис.5.10).

Асимптоты бывают вертикальные (параллельные оси Оу), горизонтальные (параллельные оси Ох) и наклонные.

Рис. 5.10

Вертикальные асимптоты

Определение.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если выполнено одно из условий:

или (рис.5.11)

Рис. 5.11

Вертикальные асимптоты, уравнение которых х=x₀, следует искать в точках, где функция терпит разрыв второго рода, или на концах ее области определения, если концы не равны . Если таких точек нет, то нет и вертикальных асимптот.