Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.

Тогда

· если при и при , то - точка максимума;

· если при и при , то - точка минимума.

Другими словами:

· если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;

· если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.

 

 

Вычисление приделов по правилу Лопиталя

   - Правило Лопиталя для вычисления пределов с неопределенными выражениями вида или можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема. Пусть однозначные функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причем . Тогда, если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных этих функций, то существует равный ему предел отношения самих функций.

 

Приложения производной. Уравнение касательной и нормали

Методы дифференциального исчисления позволяют исследовать функции и строить их графики. Так, по знаку первой производной в интервале можно определить возрастание (убывание) функции, делать выводы о наличии или отсутствии экстремума функции. По знаку второй производной выделяем интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции и точки перегиба ее графика.

 

Уравнение касательной к графику функции в некоторой точке имеет вид:

Если существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением:

 

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6].

Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на [1;6]. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.

На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: