КОНТУРЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ОЧЕРТАНИЯ

В гл. 2, обсуждая физические основы построения первоначального эскиза, мы отмечали, что существуют четыре основные причины возникновения контуров на изображении: 1) нарушения непрерывности расстояния, с которого ведется наблюдение; 2) нарушения непрерывности ориентации поверхности; 3) изменения отражательной способности поверхности; 4) эффекты, связанные с освещением, такие как тени, собственно источники света, блики. Выше в этой главе мы уже установили, как отдельные аспекты первоначального эскиза могут использоваться в качестве исходного представления для процессов, основанных на стерео пейсе или движении и обеспечивающих определение границ по различиям, зафиксированных на двух или нескольких изображениях одной и той же сцены. Сейчас мы займемся более сложным случаем, когда имеется только одно монокулярное изображение, и попытаемся выяснить, каким образом его контуры могут нести однозначную информацию о форме. Загадка состоит в том, что контуры изображения двухмерны, хотя часто мы видим их в трех измерениях. Проблема, следовательно, сводится к тому, каким способом и зачем мы получаем подобную трехмерную интерпретацию.

Контуры, которые мы будем рассматривать, я называю контурами, определяющими форму (контурами формы), поскольку они являются двухмерными, сообщающими информацию о трехмерной форме. Я вовсе не буду касаться вопроса отыскания таких контуров на изображении — этой задаче достаточно много внимания было уделено в гл. 2. Следует тем не менее отметить, что физические источники возникновения контуров можно разделить на четыре указанные категории; эти источники порождают широкий спектр изменений, поддающихся обнаружению на изображении и, следовательно, значительное разнообразие способов, с помощью которых некоторый контур конкретного типа может быть найден на изображении.

Рассмотрим в качестве примера эффекты, которые могут возникнуть в результате нарушения непрерывности по глубине. Оно может привести просто к изменению яркости — фактически, поскольку зрительной системе человека свойственна склонность видеть более яркие объекты расположенными ближе, следует полагать, что такое соотношение яркости и глубины, вообще говоря, справедливо для видимого мира в целом. Если по обе стороны от места изменения глубины характеристики поверхности одинаковы, то возникает граница, разделяющая текстуры с различными плотностями размещения или размерами элементов, образующих текстуру. Если две такие разделенные поверхности не принадлежат одному и тому же объекту, их текстуры обычно оказываются весьма различными и в результате граница определяется многими критериями.

Если нарушение непрерывности связано с изменением ориентации поверхности, то, вероятно, изменится и яркость. То же самое можно сказать о любой характеристике освещенности, основанной на использовании функции, которая характеризует отражательную способность поверхности. Возможно, изменится и любая ясно выраженная организация на поверхности, и, возможно, то же самое произойдет и с некоторыми мерами длины.

226

Если отражательная способность поверхности проявляет какую-либо из множества видов регулярности, скажем появляется ряд параллельных прямых, то она может давать наблюдателю ценную информацию о форме и т. д.

Отсюда главным является то обстоятельство, что для определения на некоторой поверхности контуров можно использовать много способов, причем контуры должны выделяться на этапе предварительного анализа и представления изображения. Некоторые из контуров такого типа с большей вероятностью порождаются определенными разновидностями изменений: нарушение непрерывности по ориентации, например, с большей вероятностью возникает в результате изменения ориентации поверхности, а не изменения глубины; эти правила, однако, не столь уж непреложны. Важно понять, что очень многие из таких контуров могут давать нам информацию о трехмерной форме, и они действительно ее дают; если вдуматься, то это на самом деле оказывается поразительным. В данном разделе подобные контуры, определяющие форму, составляют основной предмет рассмотрения.

Несколько примеров

Не вызывает сомнения, что контуры могут очень явно и четко задавать форму. На рис. 3.56 приведено несколько соответствующих примеров, причем, как я полагаю, читатель согласится с тем, что впечатление подлинной трехмерности на рис. 3.56, б и в достигается с помощью эффектов, которые обеспечивают стереопсис или движение. Контуры на изображении могут порождаться несколькими различными физическими причинами независимо. Одни контуры, как на рис. 3.56, а, являются ограничивающими и порождаются нарушениями непрерывности по глубине, в данном случае они соответствуют яркостным переходам на границах наблюдаемых объектов. Другие порождаются изменениями ориентации поверхностей, границами разделения текстур, изменениями отражательной способности и окраски или тенями, отбрасываемыми на поверхность. Наиболее живо и загадочно выглядят контуры, приведенные на рис. 3.56, бив. Чему они соответствуют в природе? В конечном счете не часто приходится нам сталкиваться с объектами, порожденными деформациями проволочной сетки с прямоугольными ячейками, как это имеет место на рис. 3.56, б. Почему же в таком случае мы так легко воспринимаем форму проволочной камеры, изображенной на рисунке? По той ли самой причине мы так хорошо воспринимаем рис. 3.56, в? Используется ли в этих случаях один и тот же основной прием, либо удачное взаимодействие нескольких обеспечивает четкость восприятия?

Таковы проблемы, которые мы будем рассматривать в этом разделе. К сожалению, поскольку до сих пор нам неизвестно, проявляется ли в случаях, подобных приведенным на рис. 3.56, б и в, одно или несколько явлений, мы чувствуем себя при этом не столь уверенно, как это было при рассмотрении стереопсиса и движения. Психофизика еще не дает нам сведений о том, каковы здесь модули, и в результате мы пребываем почти в том же затруднении, которое испытывает лингвист, не располагающий четким разбиением языка на сравнительно независимые структуры.

227

Рис. 3.56. Примеры контуров на двухмерном изображении, которые позволяют наблюдателю получать трехмерную информацию:

" Весенние обряды" Пикассо — пример получения информации о форме по силуэтам (а);

" Проволочная камера" (б); изображение кривой sin* (в). Изображения на рис. 3.56,

бив оставляют наиболее живое впечатление

Тем не менее некоторый прогресс все-таки имеет место. В нашем обсуждении удобно выделить три темы: 1) контуры, соответствующие нарушениям непрерывности по расстоянию от поверхности до наблюдателя (ограничивающие контуры); 2) контуры, соответствующие нарушениям непрерывности по ориентации поверхности; 3) контуры, присутствующие на поверхности реально. Последний тип контуров может порождаться, например, разметкой поверхности или теневыми линиями. Важно то, что они лежат на поверхности, и поэтому я буду называть их контурами поверхности. Напомним, что контуры каждого из перечисленных типов могут отыскиваться на изображении различными способами. Во всяком случае наша основная проб-

228

лема в данном контексте формулируется следующим образом: почему и каким образом подобные контуры, определяемые на одном двухмерном изображении, могут служить для нас источником однозначной и достаточно часто весьма подробной информации о трехмерной форме?

Ограничивающие контуры

Ограничивающий контур — это просто контур, ^оторый представляет некоторое нарушение непрерывности по глубине и обычно соответствует силуэту объекта, возникающему при проекции последнего на плоскость. Ограничивающие контуры заинтересовали меня после того, как я обратил внимание на то (и это выглядит чуть ли не как парадокс), что, рассматривая силуэты на рисунке Пикассо " Весенние обряды" (он воспроизведен на рис. 3.56, а), мы воспринимаем их как вполне определенные трехмерные формы, отчасти хорошо, отчасти менее знакомые. Это весьма примечательный факт, так как эти силуэты (теоретически) могут быть порождены самыми различными формами, причем степень их разнообразия безгранична и при выборе иных точек наблюдения не обнаруживалось бы заметного сходства с теми формами, которые мы воспринимаем. Требуется совсем немного воображения и умеренных искажений, для того чтобы получить довольно экзотическую трехмерную форму, подтверждающую справедливость последнего замечания. Мы могли бы, например, столь причудливо расположить пики и выпуклости, что при наблюдении с какого-либо определенного направления они обеспечивали бы восприятие силуэта человека или козла.

Тем не менее, сталкиваясь с силуэтами, мы никогда о подобных вещах не задумываемся. Возможно, кто-то попробует частично объяснить это явление привычностью изображаемых форм, но это справедливо не для всех форм, так как можно использовать силуэт и для представления незнакомой формы, и, затратив даже значительные усилия, трудно вообразить более эксцентричные трехмерные поверхности, которые могли бы порождать силуэты, присутствующие в живописи Пикассо. Парадокс же состоит в том, что граничные контуры в " Весенних обрядах", очевидно, сообщают нам о формах фигур больше, чем они должны это делать. Так, например, в данном случае соседние точки граничных контуров могут соответствовать тхыкам исходных поверхностей, далеко друг от друга отстоящим, однако в процессе восприятия такая возможность нами обычно игнорируется.

Эта ситуация в такой степени напоминает те, в которых не принимается во внимание множество допустимых интерпретаций стереограмм, образованных случайными конфигурациями точек, таких как метели, или регистро-грамм движения пар цилиндров, что чуть ли не вынужденно приходишь к следующему выводу: где-то в глубинах механизма восприятия, обеспечивающего интерпретацию силуэтов как трехмерных форм, должен скрываться некий источник дополнительной информации, задающий ограничения, которые заставляют нас воспринимать силуэты так, как мы их на самом деле и воспринимаем. Возможно, но чуть менее определенно, чем в случаях анализа движения и стереопсиса, соответствующие ограничения имеют, скорее, универсаль-

229

ный, нежели конкретный характер, и не предполагают наличия априорных знаний о наблюдаемых формах.

Если эти ограничения имеют общий характер, то в способ, который мы используем для интерпретации силуэтов и который позволяет нам извлекать форму из очертаний, ' должен быть заложен ряд априорных допущений.. Последние должны отражать природу наблюдаемых форм. Более того, если некоторая поверхность не удовлетворяет подобным неявным допущениям, то мы будем воспринимать ее неверно. Наше восприятие будет обманывать нас в том смысле, что форма, которую мы ставим в соответствие контурам, отличается от той, которая действительно их породила. Общеизвестным примером служит театр теней: располагая нужным образом руки, Вы можете, к удивлению и восторгу ребенка, создавать изображения теней, в сущности, совершенно различных трехмерных форм, таких, скажем, как утка, кролик или страус.

Огранишвающие допущения

Нам предстоит ответить на следующий вопрос: какие допущения целесообразно вводить (и мы используем их подсознательно) при интерпретации силуэтов, аналогичных приведенным на рис. 3.56, а или 3.57, б, как трехмерных форм?

Очевидно, существенными являются три допущения [146]. Первое из них состоит в том, что всякая линия прямой видимости, направленная от наблюдателя к объекту, должна касаться поверхности последнего строго в одной точке. Другими словами, всякая точка, принадлежащая силуэту (рис. 3.57, б), должна соответствовать лишь одной точке, принадлежащей наблюдаемой поверхности (рис. 3.57, а). Причина введения такого допущения заключается в том, что даже при отсутствии указанного соответствия мы, вероятно, не смогли бы это установить; обычно это происходит в результате того, что две части объекта располагаются на линии прямой видимости.

Такое допущение позволяет нам выделять на поверхности объекта конкретную кривую, называемую источником контура (см. рис. 3.57, б). Она представляет собой множество точек, проекции которых на изображение располагаются на границе силуэта; мы будем обозначать эту кривую символом Г.

Второе допущение гласит, что, за исключением, быть может, очень небольшого числа случаев, точки, оказавшиеся на изображении расположенными поблизости друг от друга₇в действительности расположены поблизости друг от друга на поверхности объекта. Иллюстрация, приведенная на рис. 3.58, а, помогает объяснить смысл этого допущения. Представим себе, что анЬ — это два холма, а источники контуров, порождающие а и Ъ, совпадают с очертаниями вершин каждого из холмов на фоне неба. Если часть холма Ь, изображенная штриховой линией, оказывается невидимой, то источник видимого контура в точке Р перескакивает с одного холма на другой — эта кривая разрывна. Острая вогнутость, имеющаяся в точке Р, в сущности, и свидетельствует об этой разрывности, и, следовательно, мы в значительной мере готовы 230

Рис. 3.57. Четыре структуры, важные с точки зрения изучения априорных условий и используемые нами в процессе анализа ограничивающих контуров: а — трехмерная поверхность ∑; б — ее силуэт Sy, соответствующий наблюдению из точки V; в — контур Су силуэта Sy; г — множество точек источника контура Г ^.которое проектируется на контур; д — иллюстрация одного из условий теоремы, обсуждаемой в тексте. В частности, продемонстрирован смысл условия " все точки наблюдения с некоторого расстояния, расположенные в одной и той же произвольной плоскости"

к ней. Однако не считаем, что она может встретиться в телах собственно а и Ь, и фактически предполагаем, что такая разрывность не возникает. Это и составляет наше второе допущение. Оно гласит: точки контура, являющиеся соседними на изображении, порождаются точками источника контура, являющимися соседними на наблюдаемом объекте.

Последнее допущение имеет более сложный характер, поскольку относится к роду данных о форме контура, принадлежащего изображению. Допустим, например, что нам предъявляется какая-то часть контура, подобно тому как это показано на рис. 3.58, б. Два предыдущих допущения позволяют нам считать, что этот контур порождается источником, принадлежащим поверхности, и мы можем допускать, что смежные точки контура порождаются смежными точками его источника. Поскольку процесс получения изображения таков, каков он есть, мы не можем полагаться на какие бы то ни было измерения, выполняемые на контуре изображения, и в результате единственный оставшийся непосредственный признак сводится к тому, что иногда контур изгибается одним способом, а иногда — другим. Иначе говоря, между выпуклыми и вогнутыми сегментами контура существует качественное различие, которое при условии, что соответствующая поверхность достаточно гладкая, в свою очередь, основывается на понятии точки перегиба. Вообще точки

231

/       I

I        I

a)

Mi

В )      г )

Рис. 3.58. Второе допущение о том, что точки, являющиеся соседними на контуре, порождаются точками, являющимися соседними на его источнике, в сущности, означает отсутствие на контуре точки типа Р. Если бы изображенная штриховой линией часть jb была невидима, источник контура перескочил бы с а на Ь, вызвав нарушения непрерывности в точке Р (а). Типичная часть контура (б). Единственными признаками, которыми можно было бы воспользоваться в данном случае, являются выпуклости и вогнутости этого участка, т. е. точки перегиба контура, причем они должны отражать свойства поверхности, а не особенности процесса формирования изображения. Так, например, если наблюдатель находится поблизости от змеи (в), то выпуклости и вогнутости возникают на изображении (г) не из-за того, что таковы свойства змеи, а из-за изменений расстояния от нее до наблюдателя. Если изображается только ограничивающий контур (он показан на рисунке жирными линиями), то воспринимается некоторый шестиугольник. Появление внутренних линий превращает его в некоторый куб, поскольку их наличие предполагает, что ограничивающий контур - не плоский (д)

перегиба контура не должны, естественно, иметь никакого значения для поверхности. Источник контура может извиваться самым произвольным и причудливым образом либо двигаться прямо к наблюдателю, а затем удаляться от него. В последнем случае, когда используется центральная проекция, выпуклости и вогнутости возникают главным образом так, как это показано на рис. 3.58, виг. Следовательно, наш очередной вопрос должен быть следующим: какой'должна быть точная формулировка допущения, предполагающего, что точки перегиба контура существенны, отражают каким-то образом истинные свойства наблюдаемой поверхности и не являются артефактами процесса формирования изображения?

Два наших предыдущих допущения позволяют рассматривать источник контура как кусок проволоки, изогнутый в трех измерениях. Если точки перегиба контура должны отражать изгибы реального куска проволоки, то для этого должны выполняться следующие два математических условия:

1. Преобразования, используемые в процессе формирования изображения для получения контура из проволоки, должны быть линейными. Это требование исключает возможность использования перспективных преобразований и ограничивает применимость нашей теории случаем наблюдения объектов из-

232

дали — размеры объекта должны быть малы по сравнению с расстоянием, разделяющим объект и наблюдателя.

2. Кривая, подвергающаяся преобразованию, должна лежать на некоторой плоскости. Другими словами, различительные признаки типа выпуклый-вогнутый приобретают на изображении смысл лишь тогда, когда наблюдение ведется издали и изогнутая проволока, являющаяся источником контура, лежит на некоторой плоскости. Огсюда возникает наше третье допущение, согласно которому источник контура является плоским.

Третье допущение является сильным, оно резко ограничивает класс поверхностей, для интерпретации формы которых могут использоваться силуэты. Введение этого допущения тем не менее кажется неизбежным, если в процессе интерпретации мы хотим различать выпуклые и вогнутые сегменты. К счастью, однако, результаты, получаемые при использовании этого допущения, очень устойчивы: если источник контура не строго, а лишь приблизительно плоский, то отклонения поверхностей от требований, предъявляемых к поверхностям соответствующего класса, обычно назначит ел ьны. Интересно отметить, что это условие на самом деле учитывается в большинстве современных конструкций и все контуры, изображаемые на машиностроительных чертежах, ему удовлетворяют; таким образом, оно находит применение даже вне пределов изучения зрения. Если указанное условие нарушается, то мы, очевидно, действительно должны получать неверную форму. Так, например, ограничивающий контур, приведенный на рис. 3.58, д и обозначенный жирными линиями, при восприятии его как такового создает впечатление двухмерного шестиугольника. Привлечение дополнительной информации, которую дают внутренние линии, позволяет, однако, получать совершенно другую интерпретацию. Ограничивающий контур, когда он представляет некоторый куб, перестает быть плоским.

Значение введенных допущений

Для того чтобы установить истинный смысл введенных нами допущений, необходимо понять, каким образом они ограничивают допустимые геометрические свойства наблюдаемых поверхностей. Очевидно, что для некоторых поверхностей эти допущения выполняются, а для некоторых — нет. Ну, а каким же все-таки образом поверхности удается удовлетворять этим допущениям? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сформулировать допущения в виде ограничений, налагаемых на геометрические свойства наблюдаемой поверхности, а затем выяснить, что из этого следует. Сформулируем эти ограничения еще раз.

1. Каждая точка источника контура проектируется в свою точку контура.

2. Точки, расположенные в контуре по соседству, порождаются точками источника контура, расположенными по соседству.

3. Источник контура полностью принадлежит одной плоскости.

Для того чтобы сформулировать основной результат, необходимо познакомиться еще с одним понятием — понятием обобщенная коническая поверхность. Оно было предложено Т. О. Бинфордом [17] для представления форм в программах вычислительных машин (иллюстрация этого понятия дается на

233

Рис. 3.59. К определению обобщенной конической поверхности

рис. 3.59). Обобщенная коническая поверхность представляет собой поверхность, которая порождается перемещением некоторого поперечного сечения вдоль оси симметрии. Размеры поперечного сечения могут претерпевать гладкие изменения — оно может становиться шире или уже, — однако форма поперечного сечения остается неизменной. Так, обобщенной конической поверхностью может представляться мяч, а также пирамида и с некоторым приближением — голень, часть руки от плеча до локтя, змея, ствол дерева, сталагмит. Можно, в сущности, считать, что тело лошади представляется восьмью обобщенными коническими поверхностями — по одной на каждую из ног, а также по одной на голову, шею, туловище и хвост.

Теперь подготовка к формулированию основного результата закончена, и я надеюсь, что читатель найдет его столь же неожиданным, как и я сам.

Если поверхность гладкая (применительно к нашим целям это означает, что она должна быть дважды дифференцируема и иметь непрерывную вторую производную) и если ограничения 1-3 удовлетворяются для всех точек наблюдения, расположенных в некоторой одной плоскости (как это показано на рис. 3.57, д), то наблюдаемая поверхность представляет собой обобщенную коническую поверхность. Справедливо также и обратное утверждение: если поверхность представляет собой обобщенную коническую поверхность, то ограничения 1-3 соблюдаются.

Эта теорема означает, что если выпуклости и вогнутости изгибов контура изображения представляют истинные свойства некоторой поверхности, то эта 234

поверхность является обобщенной конической поверхностью или состоит из нескольких обобщенных конических поверхностей. Короче говоря, теорема утверждает существование некоторой естественной связи между обобщенными коническими поверхностями и собственно процессом формирования изображения. Комбинация двух утверждений теоремы должна означать, как я считаю, что обобщенные конические поверхности будут иметь принципиальное значение для развития теории зрения.

На самом деле этот результат означает, что в общем случае ограничивающие контуры не позволяют восстановить форму, за исключением случая, когда форма образована обобщенной конической поверхностью и наблюдается из такой точки, которая исключает возникновение перспективного сокращения образующей оси формы (перспективное сокращение может возникнуть в случае, приведенном на рис. 351, д, если точка наблюдения расположена выше или ниже наблюдаемого объекта). Если же перспективного сокращения не происходит, то даже при том условии, что наблюдаемая форма состоит из нескольких различных обобщенных конических поверхностей (как, например, силуэт человека или лошади), соответствующая форма, по меньшей мере частично, поддается восстановлению. Возможно, самым важным здесь является то обстоятельство, что, как мы убедимся ниже, оси конической поверхности можно восстанавливать по изображению; дело в том, что это позволяет задавать для наблюдаемой формы систему координат объекта. Более подробно мы остановимся на этой проблеме в гл. 5, где кратко опишем алгоритм разбиения силуэта на составляющие его обобщенные конические поверхности. (Теоремы, на которых основан этот алгоритм, приводятся в работе Марра [146].)

Сейчас же, однако, достаточно отметить, что использование ограничивающих контуров предполагает выполнение трех сформулированных нами ограничений, а выполняются они в том, и только том случае, когда наблюдаемые формы представляют собой обобщенные конические поверхности. Главным следствием этих ограничений является то, что там, где контур имеет вогнутости и выпуклости, поверхность изгибается внутрь и вовне. Никакой другой информации ограничивающие контуры сами по себе дать не могут.

Нарушения непрерывности по ориентации поверхности

Контуры ориентации поверхности указывают положения нарушений непрерывности по ориентации поверхности. Они соответствуют, например, складкам, имеющимся на поверхности (скажем, внутренние линии на рис. 3.58, д), или продольно расположенным пикам и впадинам (рис. 3.60). С точки зрения восстановления геометрии поверхности наиболее важная из проблем, возникающих в связи с таким контуром, сводится к тому, соответствует ли он выпуклости или вогнутости поверхности. Все внутренние контуры на рис. 3.58, д представляют выпуклости, а на рис. 3.60 выпуклости и вогнутости чередуются, иногда образуя чрезвычайно запутанную картину.

Часто, к сожалению, трудно разделить выпуклости и вогнутости по чисто локальным признакам, снимаемым с монокулярного изображения. Человек склонен воспринимать такие контуры как выпуклые (рис. 3.61, 6), но даже

235

Рис. 3.60. Эскиз обобщенной конической поверхности, на котором видны ее силуэт (описывающий контур) и рифление (контуры, стягивающие поверхность по длине). Это рифление соответствует ^линиям нарушения непрерывности по ориентации поверхности

Рис. 3.61 Примеры изображений нарушения непрерывноста по ориентации поверхности

те примеры, которые ориентированы на определенный тип восприятия, могут допускать и альтернативный тип восприятия (ср. рис. 3.61, а и в).

Необходимо сделать ряд замечаний относительно комбинаций, в которых подобные контуры могут встречаться, например применения ограничений типа введенных Уолцем [241] (см. рис. 1.3), которые указьюают, что два вогнутых и один выпуклый контуры не могут соприкасаться в одной точке. Однако эти ограничения не отражают свойства исключительно изолированных контуров; в гл. 4 мы обсудим несколько более сложных явлений. Единственные данные, которыми в настоящее время мы можем пользоваться для различения изолированных выпуклых и вогнутых контуров, получены Хорном [92]. Он показал, что по крайней мере для сцен, содержащих призмы с белыми матовыми поверхностями, профили распределения яркости наяркост-ных переходах различных типов обладают характерными различиями. Если профиль распределения яркости на яркостном переходе представляет собой ступенчатое изменение или очень острый пик, то, по всей вероятности, соответствующий яркостный переход - выпуклый. Если же профиль распределения яркости имеет сводчатую форму, то, по всей вероятности, соответствующий яркостный переход - вогнутый. Мы, однако, еще не располагаем доказательствами того, что эти критерии используются в зрительной системе человека для классификации яркостных переходов.

236

Контуры поверхности

Контуры поверхности появляются на изображении гладкой поверхности в силу различных причин и служат источником информации о трехмерной форме поверхности, как это показано на рис. 3.62. Естественно, возникает вопрос, каким образом это происходит, что и послужило некоторое время назад предметом довольно тщательного исследования Стивенса [221]. Важнейшим в данном случае является то наблюдение, что мы не воспринимаем изображение на рис. 3.62 как сугубо плоское; нет никаких сомнений в том, что мы смотрим на некоторую гладкую волнистую поверхность. Как мы уже неоднократно убеждались, это означает, что, обращаясь к анализу таких изображений, мы используем ряд априорных допущений.

И снова, как и выше, основные информационные проблемы сводятся в данном случае к тому, каковы эти допущения, почему мы их используем и каким образом они дают нам возможность получать информацию об ориентации трехмерной поверхности по единственному двухмерному изображению? Обсуждая работу Стивенса, мы будем учитывать различие между контуром, имеющимся на изображении, и соответствующим ему источником контура, расположенным на поверхности; впервые мы столкнулись с этим различием в процессе анализа ограничивающих контуров (см. рис. 3.57). Отличие данного случая состоит в том, что источники контура не должны больше ограничиваться исключительно границами силуэта объекта, но могут возникать в их пределах как результат разметки внутренних частей поверхностей или каких-либо эффектов, связанных с освещением. Так, например, контуры, имеющиеся на рис. 3.62, естественно интерпретировать как изображение разметки, нанесенной на поверхность, и мы будем считать, что источники контуров для контуров изображения заключены в этой разметке. Эти контуры могут, конечно, оказаться весьма абстрактными объектами, возможно, порожденными рядами точек, однако мы считаем само собой разумеющимся использование в данном случае конструкции полного первоначального эскиза и свойственных ему возможностей представления. Мы будем называть такие контуры контурами поверхности. Отметим, что ограничивающие контуры почти никогда не являются контурами поверхности (рис. 3.63).

Рис 3 62 Семейсгно синусоид позволяет создавать впечатление волнообразной поверхности Эти кривые естественно интерпретируются как контуры поверхности, т е изображения разметки, нанесенной на некоторую реальную поверхность Какие ограничения могут использоваться при получении такой трехмерной интерпретации

[221]''

237

Рис 3.63. Кривые, приведенные на рис. 3.63, а, интерпретируются как ограничивающие контуры, а соответствующая поверхность воспринимается как некоторая обобщенная коническая поверхность, в данном случае как объект, имеющий форму вазы Такие контуры рассматривались в разд. 3.5, и обсуждение их свойств продолжается в данном разделе. Кривые, приведенные на рис. 3.63, б, интерпретируются как контуры поверхности, а сама поверхность воспринимается как слегка трепещущий флаг или разлинованный лист бумаги [221]

Загадка контуров поверхности и трудности ее разрешения

Особую трудность достоверному анализу проблемы контуров поверхности придает отсутствие явных физических источников регулярности контуров поверхности, которые наши механизмы восприятия могут использовать для достижения соответствующих целей. Очевидно, реальный мир менее структурирован, чем иллюстрированные схемы типа приведенной на рис. 3.62, и я продолжаю испытывать глубокое недоумение по поводу того, каким образом человеку удается интерпретировать подобные фигуры столь ярко.

Стивене в своей полезной работе [221], впервые затронувшей эти проблемы, разделил их на две группы: определение формы источника контура в трехмерном пространстве и определение того, каким образом соответствующая поверхность соотносится с данным источником контура. Первый шаг сводится к установлению формы куска проволоки, изогнутого в трех измерениях таким образом, что он следует источнику контура и " правильно" выглядит на изображении. Второй шаг в таком случае можно рассматривать как приклеивание к проволоке по всей ее длине ленточки с тем, чтобы она во всех подробностях воспроизводила полосу поверхности, расположенную непосредственно под источником контура.

Определение формы источника контура

Когда мы рассматриваем один контур, то создается впечатление, что эта кривая имеет характерную трехмерную форму и лежит в некоторой плоскости. Так, рис. 3.64 составляет, например, впечатление некоторой плоской кривой, расположенной в плоскости, которая характеризуется определенным, хотя, быть может, и небольшим, углом и направлением наклона. Допущение о том, что источник контура — плоский, существенно упрощает нашу проблему, однако трудно считать это допущение правомерным, хотя теневые границы, порождаемые яркостными переходами, имеющими вид прямых, и некоторые виды организации отражения поверхностей часто приводят к появлению на поверхности плоских источников контуров.

238

Рис. 3.64 Создается впечатление, что приведенная на рисунке кривая имеет характерную трехмерную форму - как если бы она была плоской и подвергалась перспективному сокращению в результате наклона плоскости относительно наблюдателя Почему и каким образом возникает эта интерпретация [221]?

Можно было бы ввести и другие допущения. Так, Стивене отмечает [221], что большие возможности открываются, если рассматриваемая фигура обладает симметрией, пусть даже не очень точной или искаженной (см. также [ 146]). Уиткин высказал предположение о том, что иногда полезно считать реальный источник контура имеющим минимально допустимую кривизну, причем наблюдаемая кривизна контура на изображении частично определяется процессом формирования последнего. Все эти идеи, однако, все еще имеют частный характер и не систематизированы.

Влияние наличия более чем одного контура

Недостатки восприятия человеком отдельных контуров, аналогичных приведенному на рис. 3.64, возможно, связаны с недопустимым отсутствием каких бы то ни было реалистичных допущений, которые можно было бы использовать при интерпретации подобных сцен. Если же имеется несколько контуров, то наше восприятие становится значительно ярче, как в случае, приведенном на рис. 3.62. Если контуры поверхности параллельны на изображении, то, за исключением чрезвычайно редких и нетипичных ситуаций, соответствующие источники контуров на наблюдаемой поверхности параллельны.

Параллельность источников контуров, позволяющая, перемещая источник контура по поверхности, совмещать его с соседним источником контура, лежит в основе весьма конструктивной идеи о том, каким образом можно определять ориентацию поверхности, используя ее контуры. Параллельность источников контуров, в сущности, означает, что можно пренебрегать локальной кривизной поверхности в направлении перемещения источника контура. В " техническом" смысле такая поверхность является развертывающейся. Это означает, что соответствующую поверхность локально можно рассматривать как некоторый цилиндр, представляющий собой поверхность, у которой одна из двух главных кривизн равна нулю, в этом направлении поверхность — плоская.

Эта идея иллюстрируется рис. 3.65 - 3.67. На рис. 3.65 изображена некоторая поверхность, на которой видны контуры двух типов: волнообразные контуры, представляющие собой семейство параллельных источников контуров, которые, как мы считаем, действительно присутствует на изображении,

239

Рис 3 65 Волнообразные линии представляют контуры, видимые на изображении, а прямые (кривизна которых равна нулю) выявляют отношения параллельности, существующие между соседними волнообразными линиями Такая поверхность локально является некоторым цилиндром, поскольку одна из ее кривизн (а следовательно, и ее гауссовская кривизна) равна нулю [221]

Рис 3 66 Обычно соответствие соседних параллельных контуров поверхности в явном виде на изображении не наблюдается, в отличие от случая, приведенного на рис 3 65 Это соответствие, однако, удается обнаруживать даже и в менее очевидных случаях Так, например, если контуры поверхности содержат прямые линии (а), то касательная к контуру в некоторой точке Р последнего может быть параллельная различным касательным соседнего контура, в то же время выбор лишь одной из этих касательных приведет к получению линии соответствия, параллельной другим линиям соответствия, связывающим криволинейные части соседних контуров (б) [221]

Рис 3 67 Хотя, строго говоря допущения и методы, проиллюстрированные с помощью рис 3 65 и 3 66, требуют, чтобы наблюдаемая поверхность была цилиндрической, практически ими можно пользоваться, предполагая, что выполняются они лишь локально, поскольку соответствие (параллельность) требуется устанавливать лишь между соседними контурами Следовательно, условие локальной цилиндричности позволяет нам интерпретировать поверхности, структуры которых в глобальном отношении не являются цилиндрическими [221J 240

и множество прямых, ортогональных контурам первого типа, имеющих нулевую кривизну и представляющих соответствие, существующее между локально-параллельными источниками контуров. Отождествляя такое соответствие с прямыми, мы предполагаем, что наблюдаемая поверхность локально является в определенном смысле простой, т. е. одна из ее кривизн равна нулю. Если заданы и волнообразные линии, и линии, указывающие соответствие, то ориентация поверхности достаточно определенно ограничена, поскольку нам известно, что в трехмерном пространстве линии двух этих типов перпендикулярны.

Обычно контуры, указывающие соответствие, на изображении не видны, однако рис. 3.66 показывает, каким образом их можно восстановить даже при явной неоднозначности (некоторые подробности приведены в подписи к рисунку). И наконец, эту идею можно распространить и на случай поверхности достаточно общего вида (см. рис. 3.67), поскольку главное допущение, лежащее в основе интерпретации, должно выполняться лишь локально, в данном случае — для соседних контуров поверхности В примере, приведенном на рис. 3.67, основное требование (чтобы одна из кривизн обращалась в нуль) выполняется лишь локально и приближенно. Структура поверхности, изображенной на рисунке, может быть определена с помощью методов, в основе которых лежат приведенные выше идеи, несмотря на то, что в глобальном отношении данная поверхность явно не является развертывающейся.

Стивене обратил внимание на один интересный факт, а именно если вдоль некоторой непрерывной кривой на поверхности возникают блики, то эта кривая — плоская (при условии, что источник освещения и точки наблюдения удалены от поверхности). Такой контур подобен одному из наших контуров соответствия, вдоль которого одна из главных кривизн наблюдаемой поверхности равна нулю. В этом случае нормаль к поверхности совпадает с нормалью к плоскости, в которой расположен окруженный бликами контур, точно так же, как в случае, приведенном на рис. 3.65, нормаль к поверхности расположена перпендикулярно и к прямым (контурам соответствий), и к волнообразным линиям. Следовательно, условия определения ориентации поверхности по контурам поверхности, предложенные Стивенсом, действительно встречаются в реальных условиях.

В целом определение ориентации поверхности по ее контурам остается увлекательной и нерешенной задачей. Однако основные допущения Стивенса (о плоскостности источника контура и о локальной развертываемости поверхности) представляются существенными компонентами процесса определения ориентации поверхности, и я буду очень удивлен, если выяснится, что они в той или иной форме не используются на практике.

3 7 ТЕКСТУРА ПОВЕРХНОСТИ

В течение последних тридцати лет существенное внимание уделялось представлению о том, что текстура поверхности может служить источником важной информации о геометрических свойствах видимых поверхностей. Основным стимулом, вызвавшим интерес к этой идее, возможно, послужила гипотеза, сформулированная Гибсоном [54] и утверждавшая, что с математи-

241

ческой и психологической точек зрения текстура является стимулом, достаточным для восприятия поверхности. Утверждая это, он имел в виду, что монокулярное изображение некоторой текстурированной поверхности содержит достаточно информации, для того чтобы можно было однозначно определять расстояние до точек поверхности и устанавливать ее локальную ориентацию. Более того, он утверждал, что такая информация может использоваться и действительно используется в зрительной системе человека для получения указанной информации о поверхности.

Если бы речь шла о таком идеализированном мире, в котором поверхности гладкие, обладают регулярной и четкой разметкой, а плотность распределения на них характерных объектов достаточна для того, чтобы можно было с высокой точностью измерять на изображении градиенты, то в этом случае многое можно было бы сказать в пользу утверждения Гибсона. К сожалению, однако, мир устроен не столь идеально, однородность и регулярность в реальном мире — это, скорее, исключения либо лишь приближения, а не правило; поэтому я придерживаюсь той точки зрения, что следует удивляться, когда оказывается, что нечто, скорее, можно сделать, чем нельзя. Кроме того, как отмечает Стивене [221], довольно простой математический аппарат, связанный с этими проблемами, в прошлом излагался не без изъянов. Таким образом, нам следует проявлять благоразумие и придерживаться критического и скептического отношения к предполагаемым возможностям восприятия текстур, за исключением тех случаев, когда удается неоспоримо продемонстрировать, что зрительная система человека использует текстуры.

Выделение элементов текстуры

Первая задача, причем вряд ли ею кто-либо вообще занимался, сводится к тому, каким образом выделять на изображении однородные элементы текстуры, которые и должны являться объектом последующего анализа. Полное решение этой задачи предполагает достижение полного понимания полного первоначального эскиза и процесса выбора на основании сходства, суть которого состоит в классификации объектов по их происхождению (мы уже отмечали важность таких процессов — см., например, рис. 2.3). Давайте, однако, считать выполнение этих условий само собой разумеющимся и будем предполагать, что поверхности реального мира снабжены необходимой регулярной разметкой, которую мы в состоянии обнаружить на представлениях изображения, получаемых на ранних этапах процесса обработки.

Параметры поверхности

Как мы уже несколько разубеждались, существуют два способа задания позиции поверхности относительно наблюдателя. Мы можем либо определить расстояния до ее локальных участков, либо определить ориентацию поверхности относительно наблюдателя. Собственно ориентация поверхности естественно разбивается на два компонента, называемых нами наклоном и направлением наклона поверхности соответственно. Наклон поверхности представ-

242

ляет собой угол ее отклонения от фронтальной плоскости, а направление наклона — это то направление, в котором указанное отклонение происходит.

Естественно, в математическом смысле расстояние и ориентация поверхности практически эквиваленты, будучи связаны операцией интегрирования (см. гл. 4). Применительно к нервной системе эта проблема выглядит совершенно иначе: какая именно из этих величин — расстояние, наклон или направление наклона — фактически извлекается непосредственно из результатов измерений вариаций текстуры? Изучая эту проблему, Стивене [221] пришел к следующим выводам.

1. Направление наклона, вероятно, определяется в явном виде.

2. Расстояние, вероятно, также определяется в явном виде.

3. Наклон, вероятно, определяется посредством дифференцирования взятых в соответствующем масштабе значений расстояния, получаемых в соответствии с п. 2.

4. В частности, вероятно, не выполняются или не используются измерения градиентов текстуры, в математическом отношении тесно связанных с наклоном поверхности, возможно из-за неточностей, неизбежно сопровождающих процесс измерения.

Обратимся теперь к основаниям для этих выводов.

Допустимые измерения

Стивене отмечает, что даже совершенно по-разному выглядящие текстуры порождают одни и те же информационные задачи, и поэтому следует соблюдать чувство меры и не постулировать наличие большего числа механизмов, чем требуется для решения соответствующей задачи. На рис. 3.68 приведен пример, иллюстрирующий это положение: несмотря на то что приведенные на рисунке изображения выглядят совершенно по-разному, на обоих можно выполнять аналогичные измерения для определения расположения и размера изображенных объектов. Наш первый вопрос состоит в следующем: какие именно из множества возможных измерений на самом деле служат источником признаков, которые создают у нас в процессе восприятия впечатление наклонной поверхности? Являются ли ими в случае изображения, приведенного на рис. 3.68, а, размеры эллипсов, расстояния, их разделяющие, плотность их размещения или градиенты плотности?

На рис. 3.69 удалена вся информация, которая была представлена на рис. 3.68, а, за исключением градиента плотности, и для обозначения позиций эллипсов использовано три типа характерных объектов изображения. Несмотря на то что градиенты текстуры отчетливо видны, а их направления ясно очерчены, во псех приведенных на этом рисунке примерах создается очень слабое впечатление наклона либо оно вообще не создается.

Направление же наклона поверхности действительно определяется непосредственно по изображению. Необходимо отметить, что делаться это может двумя способами (рис. 3.70): мы можем определять либо то направление, по которому происходит изменение локальной плотности текстуры, либо, что

243

Рис. 3.68. Текстуры обоих приведенных на рисунке типов, хотя и выглядят совершенно

по-разному, но, в сущности, порождают одни и те же информационные задачи: a — изменяются ширина, эксцентриситет и плотность размещения эллипсов, причем это происходит именно таким образом, как в случае, если бы эти изменения были получены в результате построения центральных проекций одинаковых окружностей, расположенных на плоскости, отклоненной от наблюдателя (на таком изображении можно выполнить целый ряд измерений и затем использовать их результаты для определения геометрии наблюдаемой поверхности; значительная часть нашего обсуждения посвящается тому, использование каких именно измерений наиболее правдоподобно); б — сходящиеся прямые создают впечатление наклонной поверхности, разлинованной параллельными прямыми, находящимися на одинаковых расстояниях друг от друга. Хотя и предполагается, что для интерпретации изображений а) и б) требуются разные процессы, зто не обязательно так, поскольку измерения, связанные с размещением объектов, расстояниями, их разделяющими, и т. п., могут быть выполнены на обоих изображениях. В сущности, кажущееся преимущество сходящихся контуров изображения б) над имеющими более случайный характер тестурами а) может объясняться исключительно тем, что образы типа приведенных на рис. 3.68, б допускают большую точность измерений на изображении. С информационной точки зрения не существует каких-либо априорных причин для введения различных механизмов интерпретации этих изображений

эквивалентно, линию, перпендикулярную тому направлению, по которому плотность текстурных элементов характеризуется наибольшей равномерностью распределения. Интересно отметить, что в случаях типа приведенного на рис. 3.70, б второй метод обеспечивает, вероятно, получение более точных характеристик. При этом требуется лишь определить направление линии / (рис. 3.70, в), точки пересечения которой проектирующими лучами центральной проекции отстоят друг от друга на одинаковые расстояния. Известно также, что зрительная система человека в состоянии устанавливать равенство отрезков с точностью до нескольких процентов.

Непосредственное определение расстояний, представленных в

некотором масштабе

Последний пример, заимствованный нами из работы Стивенса, приводится на рис. 3.71. Этот пример объясняет, почему Стивене считает, что человек 244

Рис. 3.69. Одной из возможных характеристик, позволяющих определять наклон поверхности, изображенной на рис. 3.68, а, является градиент плотности размещения эллипсов. Градиентные характеристики текстуры действительно обладают несколькими свойствами, привлекательными с математической точки зрения. На.данном рисунке точная градиентная картина, приведенная на рис. 3.68, а, воспроизведена для трех типов локальных элементов текстуры. Во всех трех случаях градиент плотности явно виден, однако впечатления того, что поверхность наклонена, не возникает.причем даже при наилучших условиях наблюдения. Иногда впечатление наклона можно вызывать, используя очень высокие значения градиента плотности, однако необходимые для этого значения оказываются неправдоподобными в физическом смысле. Примеры, подобные приведенным, заставляют сомневаться в том, действительно ли градиентные характеристики текстуры используются в зрительной системе человека для определения наклона текстурирован-

ной поверхности [221 ]

непосредственно измеряет размеры элемента текстуры, на основе которых

определяет расстояние, а затем получает внутреннюю оценку угла наклона

посредством процесса, родственного операции дифференцирования (см. гл. 4).

При предъявлении освещенного изображения, приведенного на рис. 3.71, а,

245

б)

Рис. 3.70. Направление наклона некоторой поверхности - это то направление, в котором данная поверхность отклонена от наблюдателя Если поверхность текстурирована равномерно, то проекция прямой, указывающей направление наклона, на изображение обозначает направление, по которому локальная плотность текстуры изменяется в наибольшей степени, или, что эквивалентно, она перпендикулярна направлению, по которому элементы текстуры распределены наиболее равномерно [221]

Рис. 3.71. Используются ли градиенты текстуры при ее зрительном восприятии? Видимый градиент (а) можно было бы считать причиной возникновения видимого наклона, однако при соответствующих условиях наблюдения изображение (б) определенно воспринимается как трехмерное Следовательно, возможно, что на самом деле впечетление наклона создается размерами или яркостями окружностей [221]

246

в темной комнате у наблюдателя возникает впечатление наклонной плоскости, на которой рассеяны сферы одинакового размера. Одна из возможностей для определения наклона заключается в использовании какой-нибудь градиентной характеристики текстуры (например, градиента ширины окружностей). Однако изображение, приведенное на рис. 3.71, б, при таких же условиях наблюдения также создает неоспоримое впечатление трехмерности, хотя в данном случае градиент отсутствует. Кажется, что большие окружности расположены поблизости, а меньшие — в отдалении. Для объяснения обоих случаев следует предположить, что окружности представляют сферы одинакового размера, а различие размеров возникает на изображении из-за того, что они находятся на различных расстояниях от наблюдателя (в соответствии с простейшим геометрическим правилом, согласно которому измеряемое значение диаметра изменяется обратно пропорционально расстоянию, с которого ведется наблюдение). Таким образом, зрительная система человека может не измерять наклон непосредственно, отдавая вместо этого предпочтение оцениванию относительной глубины по изменениям размеров и, возможно, яркостей и определяя наклон по этим оценкам.

Резюме

Анализ текстур — это еще одна проблема, нынешнее состояние которой довольно неудовлетворительно. Ее математические аспекты затруднений не вызывают, однако иначе обстоит дело с аспектами психофизическими; неясно также и то, в какой степени " причуды" реального мира совместимы с использованием в зрительной системе тех математических соотношений, которые представляются нам допустимыми. Кроме того, до сих пор прискорбно i.тло известно о полном первоначальном эскизе, соответствующем заключительным этапам обработки информации в зрительной системе, на которых в действительности и выделяются основные элементы текстуры. Однако после того, как по этому поводу нам станет известно больше, можно будет приступить к экспериментальному исследованию этой проблемы, используя при этом самые разнообразные естественные изображения. Возможно, лишь тогда мы сможем по-настоящему понять, почему текстурная информация используется в зрительной системе человека столь специфически в столь ограниченной степени, как нам это представляется.

3 8. ЗАТЕНЕНИЕ И ФОТОМЕТРИЧЕСКИЕ СТЕРЕОСКОПИЧЕСКИЕ

ИЗОБРАЖЕНИЯ

Роль, которую играет грим в театре, а также повсеместное распространение косметики в повседневной жизни заставляют предположить, что в зрительной системе человека действуют процессы, специально предназначенные для определения формы объектов по данным о затенении поверхностей. Похоже, однако, что возможности этих процессов невелики и определяются они комбинацией тех сведений, которые удается извлекать из затенения, и информации, содержащейся в ограничивающих контурах. Затенение само по себе лишь в слабой степени влияет на выявление формы, и поэтому одна из наи-

247

■ U ............. L _ r.,                       - ' V                  -                         —

a )                                                            6)

Рис 3 72 Сопоставление синтезированного и реального изображения одного из районов

Швейцарских Альп а - изображение, полученное с помощью методов Хорна на основе карты местности и карты отражательной способности для заданного времени дня; б - фотография, полученная со спутника " Ландсат"

более интересных теоретических проблем, возникающих в связи с предварительной обработкой изображений в зрительной системе человека (наряду с проблемой цвета), — это определение того, какую именно информацию и сколько можно получить из данных о затенении.

Задача определения формы объектов по данным о затенении поверхностей в чисто теоретическом плане подвергалась тщательному анализу одной из самых первых. Б. К. П. Хорн в своей докторской диссертации, кратко изложенной в его статье [91], показал, каким образом могут быть решены дифференциальные уравнения, связывающие яркость изображения с ориентацией поверхности, при условии, что освещение обычное, а коэффициент отражения поверхности постоянен и известен.

Затем Хорн изложил свои результаты на языке пространства градиентов [92], что существенно облегчило их понимание. Основное применение его результаты нашли в разработке методов анализа затенения возвышенностей. Допустим, например, что выбирается определенный район в Швейцарских Альпах. Как этот район будет выглядеть в 10 часов утра в солнечный летний день или в 4 часа пополудни? Рисунок 3.72 показывает, что методы Хорна дают возможность отвечать на такие вопросы. Сравнение синтезированного изображения с фотографией, полученной со спутника, дает информацию об особенностях отражательной способности поверхности Земли, свободную от 248

влияния затенения, вызванного конкретными характеристиками наблюдаемого района и освещения.

Поскольку математический анализ задачи определения формы по данным q затенении является необходимым предварительным условием для любого сколь бы то ни было серьезного изучения способности человека решать эту задачу, я излагаю здесь наиболее важные идеи, связанные с таким математическим анализом. Читателю, интересующемуся подробностями, следует обратиться к работе [92], поскольку в моем изложении технике будет уделяться не слишком много внимания.

Пространство градиентов

Первое, что требуется при обсуждении задачи определения формы объектов по данным о затенении — это разумный способ задания ориентации поверхностей. Для этого мы воспользуемся представлением, введенным в несколько различных контекстах Хаффманом [99] и Макуэртом [139].

Пусть задана некоторая поверхность (рис. 3.73, а). При условии, что эта поверхность — гладкая, в некоторой заданной точке поверхности существует локальная касательная плоскость, т. е. существует некоторая плоскость, являющаяся локально касательной к заданной поверхности в данной точке, и существует локальная нормаль к заданной поверхности, представляющая собой нормаль к касательной плоскости в этой точке. Возьмем теперь ту же самую касательную плоскость, переместим ее в начало координат и построим к ней нормаль ОР, как это показано на рис. 3.73, б. Пусть точка/*имеет координаты (а, Ъ, с). Совершенно очевидно, что длина нормали ^несущественна -имеет значение лишь ее направление; поэтому с тем же успехом мы можем использовать точку Р с координатами (а/с, Ъ/с, 1). Теперь точку Р'можно задавать двумя числами (а/с, Ь/с}, т. е. просто как точку Р двухмерного пространства (рис. 3.73, в). Это и есть представление ориентации поверхности в пространстве градиентов.

Использование пространства градиентов дает элегантный способ представления ориентации поверхности. Несколько примеров помогут лучше понять его свойства. В случае фронтальной плоскости, когда нормаль к поверхности

Рис. 3.73. К объяснению идеи пространства градиентов

249

Рис. 3.74. К объяснению идеи пространства градиентов

направлена непосредственно к наблюдателю, а = Ъ = 0 и точка Р совпадает с началом координат 0 (см. рис. 3.73, в). Допустим теперь, что эта плоскость поворачивается по часовой стрелке вокруг вертикальной оси, как это показано на рис. 3.74, а. При этом точка Р постепенно перемещается вправо вдоль оси р (Р₂, Р₃), как это показано на рис. 3.74, в, причем ее расстояние до начала координат 0 равно тангенсу угла отклонения плоскости. Если же поворачивать эту плоскость вокруг горизонтальной оси х, как это показано на рис. 3.74, б, то точка Р будет перемещаться вдоль оси q ( P ₄, Р₅), как это показано на рис. 3.74, в, причем перемещение снова будет равно тангенсу угла отклонения плоскости. При вращении плоскости вокруг какой-либо промежуточной оси (она показана штриховой линией на рис. 3.74, в) точка Рперемещается по направлению г от оси р под прямым углом к оси, вокруг которой производится поворот, как это показано на рис. 3.74, б. Угол г представляет собой именно ту величину, которая в литературе по психофизике называется направлением отклонения плоскости, а угол между этим направлением и фронтальной плоскостью обычно называют отклонением плоскости, а иногда - ее наклонением. Я буду обозначать отклонение символом о. Расстояние между точкой Р и началом координат равно значению tg σ. 250

Быть может, читатель сочтет возможным потратить немного времени на то, чтобы поупражняться с этими понятиями на листе бумаги и до конца понять идею пространства градиентов, поскольку она важна и конструктивна. В частности, можно попробовать убедиться в том, что длина отрезка ОР равна значению tg σ.

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: