Метод наименьших квадратов. Оценка дисперсии ошибок.

Классическим вариантом оценивания параметров по наблюдениям, осложненным шумами, является метод наименьших квадратов (МНК). В этом случае наблюдения заданы в дискретные моменты времени, причем m=1, так что  – скалярная величина. Матрица C(k) превращается в матрицу-строку. Для того чтобы сохранить традиционные для МНК обозначения, примем

Таким образом уравнения наблюдений принимают вид

Пусть

В матричном виде уравнение принимает вид

Допустим, что мы располагаем оценкой , но погрешность r, естественно, нам неизвестна. Тогда можно предвычислить наблюдения

или в матричной форме

Теперь можно построить остаточные разности

указывающие на рассогласование наблюдений  и вычисленных значений . Задача МНК-оценивания состоит в таком выборе вектора параметров  , чтобы минимизировать критерий качества, заданный в виде квадратичной формы

В матричном виде этот критерий имеет вид

где

Здесь Q – пока не определенная весовая матрица, обладающая свойством симметрии.

Дифференцируя I по  и приравнивая результат нулю, получим нормальные уравнения

(10.1)

Следовательно, МНК-оценка вектора параметров имеет вид

   (10.2)

Погрешность оценки равна

 

Определим ковариационную матрицу погрешности оценки

где R – ковариационная матрица ошибок измерений: . Полагая измерения независимыми, мы получим

поэтому R – диагональная матрица

 ,

элементами которой являются дисперсии ошибок измерений. Очевидно, что для

(10.3)

будем иметь

  (10.4)

В частном, но довольно распространенном случае, когда измерения равноточны, ковариационная матрица ошибки измерений имеет вид

так что

Величина  называется дисперсией единицы веса, диагональные элементы матрицы  – дисперсиями погрешностей составляющих вектора x.

 Формула (10.2) показывает, что весовая матрица Q может быть определена с точностью до постоянного множителя. Действительно, заменяя Q на  получим тот же результат

 Обозначим через  вес измерения в момент . Весовая матрица (10.3) будет иметь вид

 

  (10.5)

а ковариационная матрица оценки  –

 –   (10.6)

будет отличаться от вида (10.5) множителем .

Для априорной оценки величину дисперсии единицы веса  нужно задать. Однако при достаточно большом объеме измерений оценку этой величины можно определить и апостериорно, т.е. после обработки данных измерений. Приведем эту формулу без вывода

 .

Отличие  от  будет говорить о том, что

1) число избыточных наблюдений  недостаточно велико,

2) неудачно выбрана система весов наблюдений, дисперсии  не отражают реальную точность,

3) измерения содержат систематические ошибки.

Наконец, результат МНК-оценивания записывают в виде

где – средняя квадратическая ошибка вектора x,

 ,

 – j -й диагональный элемент матрицы .

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: