Модель равновесных цен. Модель международной торговли

 

Предположим, что по отношению к межотраслевому балансу (см. табл. 2.1) в будущем году прогнозируется изменение цен в каждой отрасли j в рj раз по отношению к текущему году при тех же натуральных значениях векторов X и Y (величины рj называются индексами изменения цен). Тогда в таблицу МОБ можно ввести индексы цен и получить новую таблицу (табл. 2.2), по которой можно построить модель равновесных цен

 

 

Межотраслевой баланс с учетом индекса цен

Таблица 2.2

 

 

Отрасли	Промежуточное потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
	1 2 … n
1 2   n	р 1 Х 1 1 … p 1 Х 1n р 2 Х 2 1 … р 2 Х 2n … р n Х n 1 … р n Х nn	р 1 Y 1 р 2 Y 2 … р n Y n	р 1 Х 1 р 2 Х 2 ... р n Х n
Добавленная стоимость	Z’ 1 … Z’ n
Валовой продукт	р 1 X 1 … р n X n

 

В табл. 2.2 также выполняются балансовые соотношения

n

p i X i = ∑ a ij p i X j + p i Y i ,

j  =1

n

'

p j X j = ∑ p i X ij + Z j ,

i =1

i, j = 1, 2,..., n,

 

(2.12)

 

n

∑ Z '

 

n

j = ∑ p i Y i ,

j =1

i =1

где Z’j – новые значения добавленной стоимости.

Разделив соотношения (2.12) на X j, получим уравнения для вектора индексов цен (модель равновесных цен)

В матричном виде уравнения (2.13) запишутся как

p = pA+ d ,

( d , X ) = ( p , Y ),

p >  0, d > 0,  (2.14)

где р = (р1, р2, …, рn) – вектор-строка индексов цен; d = (d1, d2, …, dn) – вектор- строка долей добавленной стоимости в валовом выпуске отраслей в новом варианте межотраслевого баланса.

При выполнении первого соотношения в (2.14) второе выполняется тождественно. Действительно, из (2.14) получаем соотношение

р ( E − A ) = d . (2.15)

Подставляя его во второе соотношение (2.14), получим

( d , X ) = ( р ( E − A ), Х ) = ( р , ( Е − А ) Х ) = ( р , Y ).

Таким образом, для определения вектора индексов цен достаточно

решить систему уравнений (2.15), откуда получаем

p = d ( E − A ) − 1

 

или

 

p T

= (( E − A ) − 1 ) T

 

d T ,

 

(2.16)

где Т – символ транспонирования, векторы p и d являются строками, а векторы

p Т и d Т являются столбцами.

Если матрица А продуктивна, то уравнения (2.15), (2.16) имеют положительное решение р > 0, если d > 0.

Значения векторов Х и Y в этой модели имеют вид

'X = ( p 1 X 1', p 2 X 2,..., p n X n ), (2.17)

Y = ( p 1 Y 1, p 2 Y 2,..., p n Y n ).

Из табл. 2.2 и соотношения (2.12) следует, что модель Леонтьева для значений векторов (2.17) будет иметь вид

 

X ' = A ' X' + Y ',  где

(2.18)

Таким образом, коэффициенты прямых затрат нового межотраслевого баланса выражаются через старые коэффициенты и индексы цен следующим образом:

(2.19)

По отношению к уравнениям (2.14) могут быть поставлены три задачи: а) при заданном векторе d найти вектор р; б) при заданном векторе p найти d; в) при заданной части переменных векторов p и d найти остальные переменные.

Балансовую модель (2.16), двойственную к модели Леонтьева, называют моделью равновесных цен. Модель равновесных цен позволяет прогнозировать цены на продукцию отраслей при известных значениях величин норм добавленной стоимости. Кроме того, модель равновесных цен позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.

В заключение отметим, что с помощью межотраслевого баланса решают следующие задачи:

1. По таблице межотраслевого баланса найти матрицу прямых и полных затрат.

2. Задав вектор конечной продукции, определить вектор валовой продукции.

3. Задав вектор валовой продукции, определить вектор конечной продукции.

4. Задав по одним компонентам вектор конечной продукции, а по другим – вектор валовой продукции, определить неизвестные значения векторов.

5. При новых значениях добавленной стоимости найти индексы цен и построить новую таблицу межотраслевого баланса.

6. По заданной матрице прямых затрат и вектору конечной продукции, установить продуктивность матрицы прямых затрат, определить коэффициенты полных затрат.

7. Найти векторы валового выпуска, добавленной стоимости, затрат, доли затрат и добавленной стоимости в валовом продукте, межотраслевые поставки продукции, составить таблицу межотраслевого баланса.

 

Модель международной торговли (модель обмена)

 

Рассмотрим n стран – участниц торговли с государственными бюджетами X1, X2, ..., Xn. Будем считать, что весь бюджет каждой страны тратится на закупку товаров либо внутри страны либо на импорт из других стран.

Пусть aij – часть бюджета, которую страна j тратит на закупку товаров страны i. Тогда можно ввести структурную матрицу торговли с неотрицательными элементами A = (aij), сумма элементов каждого столбца которой равна единице. После подведения итогов торговли за год страна i получит выручку

p i = a i1 X 1 + a i2 X 2 +... + a in X n.

Для того чтобы торговля была сбалансированной, необходимо

потребовать бездефицитной торговли для каждой страны, т.е. выполнения

условия p i ≥ X i для всех i. Условием бездефицитной торговли являются

равенства p i = X i для всех i. В матричном виде это условие запишется как

A X = X, где X = (X 1, X 2, ..., X n )T. Из этого условия следует, что вектор бюджетов

X является собственным вектором структурной матрицы торговли A, а

соответствующее ему собственное значение равно 1. Это собственное значение матрицы является числом Фробениуса, т.е. максимальным собственным значением. Сбалансированность торговли стран-участниц может быть достигнута только в том случае, когда бюджеты их стран находятся в отношении, в котором находятся компоненты собственного вектора матрицы торговли.

По теореме Фробениуса− Перрона уравнение AX = X всегда имеет

ненулевое неотрицательное решение. Поскольку бюджет любой страны

неотрицателен (Xj > 0), то интерес представляют только положительные решения X > 0 данного уравнения. В случае A > 0 существование положительного решения следует из теоремы Фробениуса-Перрона. В то же время, если какая-то страна j не импортирует товары из страны i, то матрица A не является положительной. Существует ли в этом случае положительное решение уравнения AX = X? Для ответа на этот вопрос вводится понятие цепочки импорта.

Говорят, что страны i и j связаны цепочкой импорта от i к j, если существует цепочка стран с началом в стране i и концом в стране j, в которой каждая последующая страна импортирует товары из предыдущей страны.

Имеет место теорема о цепочке: если в модели международной торговли структурная матрица A такова, что любые две страны i и j можно связать цепочкой импорта от i к j, то уравнение AX = X имеет положительное решение X > 0, единственное с точностью до умножения на число. Заметим, что если A − неотрицательная матрица порядка n× n, то для установления возможности соединения любых i и j цепочкой чисел, в которой любые два соседних числа k и l таковы, что akl > 0, достаточно построить замкнутую цепочку, содержащую (возможно с повторениями) все натуральные числа от 1 до n.

Например, для матрицы

 

 

 

	0, 5 0	0	0, 5
	0, 5 0, 5	0	0
А =	0 0, 5	0, 5	0
	0 0	0, 5	0, 5

 

имеется замкнутая цепочка (1-4-3-2-1); любые два натуральных числа i и j

(i ≤ 4, j ≤ 4) можно соединить цепочкой от i к j, используя участки цепочки

(1-4-3-2-1).

 

4.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: