Перші інтеграли нормальної системи .

Розглянемо систему (4.1.1). Нехай у деякій замкненій області  функції  і усі їх частинні похідні по  неперервно залежать від усіх аргументів. Тоді можна застосовувати теорему існування та єдиності. Якщо точка , то існує єдина система розв’язків системи рівнянь (4.1.1), яка задовольняє початкові умови

                                   (4.2.1)

Позначимо ці розв’язки так:

                             (4.2.2)

Відмітимо, що у формулах (4.2.2) ми явно вказуємо на залежність розв’язку від початкових даних, які ми вважатимемо параметрами, що можуть приймати різні значення. Нехай деяка точка  лежить на інтегральній кривій, яка проходить через початкову точку . Координати цих точок пов’язані співвідношеннями (4.2.2). Якщо тепер вважати точку  за початкову, то згідно з єдиністю, визначена цими початковими даними інтегральна крива пройде через точку  і, очевидно, будуть справедливими співвідношення

                                   (4.2.3)

Замінюючи початкові значення  на довільні сталі і надаючи параметру  конкретне числове значення, ми можемо рівності (4.2.3) записати у вигляді

                                      (4.2.4)

Сукупність рівностей (4.2.4) називають загальним інтегралом системи (4.1.1), а кожну з цих рівностей називають першим інтегралом цієї системи. Очевидно, що кожна з функцій  обертається у деяку сталу величину, якщо замість  підставити їх вирази (4.2.3), тобто довільний розв’язок системи (4.1.1). Причому, для різних розв’язків значення цієї сталої загалом буде різним. Ми можемо дати перше означення першого інтеграла.

Означення 1. Першими інтегралами системи (4.1.1) називають співвідношення, одержані внаслідок розв’язування рівнянь, які задають загальний розв’язок, стосовно довільних сталих.

Очевидно, що це означення можна застосувати лише до всієї системи (4.2.4). Тому дамо інше означення, яке характеризує кожен перший інтеграл зокрема.

Означення 2. Першим інтегралом системи називають співвідношення, не рівне тотожньо сталій, яке містить у лівій частині незалежну змінну та шукані функції і приймає стале значення, якщо замість шуканих функцій підставити який-небудь розв’язок системи (4.1.1).

Виведемо ознаку першого інтеграла системи (4.1.1). Нехай в одному з перших інтегралів

                                             (4.2.5)

замість   поставлений який-небудь розв’язок  системи (4.1.1).  Тоді ліва частина буде функцією змінної , яка тотожньо дорівнює сталій. Диференціюючи обидві частини цієї тотожності, одержуємо

. (4.2.6)

Оскільки  є розв’язками системи (4.1.1), то їх похідні можна у рівності (4.2.6) замінити відповідними їм правими частинами. Ми одержуємо

.            (4.2.7)

У рівності (4.2.7)  залежать від змінної  і є деяким розв’язком системи (4.1.1). Отже, значення  є координатами точки вимірного простору, через яку проходить цей розв’язок. Оскільки результат диференціювання рівності (4.2.5) не залежить від , то рівність (4.2.7) виконується для точки , яка лежить на довільній інтегральній кривій у розглядуваній області. Згідно з теоремою існування через кожну точку  цієї області проходить інтегральна крива, тому рівність (4.2.7) виконується для будь-якої точки області, тобто тотожньо по . Отож, ліва частина першого інтеграла тотожньо задовольняє співвідношення (4.2.7).

Нехай, навпаки, деяка функція  обертає рівність (4.2.7) у тотожність. Тоді вздовж будь-якої інтегральної кривої виконується рівність (4.2.6), а, отже, і рівність (4.2.5). Можемо стверджувати, що вздовж кожної інтегральної кривої функція  приймає стале значення.

 

Отже, рівність (4.2.7) є необхідною і достатньою умовою того, щоби співвідношення (4.2.5) давало перший інтеграл. Цю рівність можна записати ще у такому вигляді:

.

Сукупність  перших інтегралів має таку властивість, що вона може бути розв’язана стосовно шуканих функцій . В результаті цього ми одержимо загальний розв’язок системи (4.1.1) в області . Будь-яку сукупність перших інтегралів з такою властивістю будемо називати загальним інтегралом системи (4.1.1) в області .

Систему рівнянь (4.2.4) можна розв’язати стосовно , якщо функції  незалежні стосовно шуканих функцій , тобто між функціями  не існує співвідношення вигляду

.

Справді, якщо би таке співвідношення існувало, то ми не змогли би знайти з системи (4.2.4) функції . Для незалежності перших інтегралів необхідно і достатньо, щоби виконувалася умова

ні в одній точці області .

З цього випливає, що задача інтегрування системи буде розв’язана, якщо ми знайдемо  незалежних перших інтегралів, сукупність яких називатимемо загальним інтегралом системи.

Доведемо дві загальні теореми про число інтегралів нормальної системи.

Теорема 2.1. Будь-яка диференційована функція від довільної кількості перших інтегралів нормальної системи є також першим інтегралом цієї системи.

Нехай перші інтеграли системи (4.1.1) і  є диференційована функція цих інтегралів. Маємо

,

проте  згідно з системою (4.1.1), а тоді і  згідно з цією системою. Отож, функція  також є першим інтегралом цієї системи.

Теорема 2.2. Нормальна система з  рівнянь не може мати більше ніж  незалежних інтегралів.

Твердження теореми означає, якщо відомі  інтегралів системи , то вони не можуть бути незалежними. Розглянемо два випадки.

1) Інтеграли  залежні. Тоді теорема очевидна.

2) Інтеграли  незалежні. Тоді

.                                               (4.2.8)

Оскільки функції інтеграли системи (4.1.1), то вони задовольняють тотожність (4.2.7). Маємо

З цієї системи слідує, що лінійна однорідна система

має ненульовий розв’язок . Тому визначник цієї системи дорівнює нулю

.

Згідно з відомою теоремою диференціального числення та умовою (4.2.8) можемо зробити висновок, що  є функцією залежною від

.

Це означає, що функції  є залежними.

4.3. Пониження порядку системи за допомогою перших інтегралів. Покажемо, що знання одного першого інтеграла дає можливість понизити порядок системи на одиницю.

Нехай відомий один перший інтеграл

.

Нехай це рівняння можна розв’язати стосовно однієї з шуканих функцій, наприклад стосовно , так що маємо

.                                          (4.3.1)

 

Підставивши це значення  в останні  рівнянь системи (4.1.1), ми одержимо систему рівнянь з  невідомими функціями

Якщо ми знайдемо загальний розв’язок одержаної системи

                                     (4.3.2)

то замінивши у формулі (4.3.1) величини  їх виразами згідно з формулами (4.3.2), одержимо

.                                          (4.3.3)

Формули (4.3.2) і (4.3.3) дають загальний розв’язок системи (4.1.1).

Переконаємося тепер, що знання  незалежних перших інтегралів системи дає можливість понизити її порядок на  одиниць.

Нехай нам відомі  незалежних інтегралів.

                      (4.3.4)

Тоді хоча би один з якобіанів го порядку функціональної матриці

Не дорівнює тотожньо нулю. Допустимо, наприклад, що

.

Розв’язуючи (4.3.4) стосовно  матимемо

                     (4.3.5)

Підставивши ці значення в останні  рівнянь системи (4.1.1), одержимо систему  рівнянь стосовно  невідомих функцій .

Допустимо, що ми знайшли загальний розв’язок цієї системи

                                        (4.3.6)

Тоді, підставивши ці величини у формули (4.3.5), одержимо

                                          (4.3.7)

Формули (4.3.6) і (4.3.7) дають загальний розв’язок системи (4.1.1).

Якщо відомі  незалежних перших інтегралів системи (4.1.1), то задача її інтегрування зводиться до інтегрування тільки одного рівняння стосовно однієї невідомої функції.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: