Квазілінійне рівняння з частинними похідними першого порядку.

Рівняння вигляду

 (5.4.1)

називають квазілінійним рівнянням з частинними похідними першого порядку.

Будемо шукати розв’язок цього рівняння в неявному вигляді

,                                                     (5.4.2)

де функція  має неперервні частинні похідні за всіма змінними, причому  у деякій області змінних . Враховуючи те, що  залежить від , про диференціюємо (5.4.2) за змінною

.

Звідси

.

Підставляючи ці похідні в рівняння (5.4.1), одержимо лінійне однорідне рівняння з частинними похідними стосовно невідомої функції .

(5.4.3)

Очевидно, кожний розв’язок рівняння (5.4.3) прирівняний до нуля, дасть співвідношення вигляду (5.4.2), яке визначатиме функцію  від змінних  і ця функція буде розв’язком рівняння (5.4.1). Запишемо відповідну до рівняння (5.4.3) симетричну систему

.                                    (5.4.4)

Припустимо, що ми знайшли  незалежних перших інтегралів цієї системи

                                               (5.4.5)

Тоді загальний розв’язок рівняння (5.4.3) дається формулою

.

Прирівнюючи цю функцію до нуля, одержимо загальний розв’язок рівняння (5.4.1) в неявному вигляді

.    (5.4.6)

Отже, для знаходження загального розв’язку рівняння (5.4.1) треба скласти відповідну симетричну систему (5.4.4), знайти  незалежних перших інтегралів цієї системи і прирівняти до нуля довільну диференційовану функцію цих інтегралів. Одержана рівність (5.4.6) дає загальний розв’язок рівняння (5.4.1) в неявному вигляді. Розв’язуючи його стосовно , якщо це можливо, одержимо загальний розв’язок у явному вигляді.

 

Задача Коші для квазілінійного рівняння.

Ця задача формулюється так само, як і для лінійного однорідного рівняння. Треба знайти розв’язок рівняння (5.4.1), який задовольняє початкову умову

.                                           (5.5.1)

Підставимо в загальний інтеграл (5.4.5) системи (5.4.4) значення .

Розв’язуючи цю систему стосовно , одержимо

Розв’язок задачі Коші дається формулою

.

Приклад 1.

Знайти загальний розв’язок рівняння

.

Складаємо відповідну симетричну систему

.

Інтегруючи цю систему, знаходимо перші інтеграли

.

Загальний розв’язок має вигляд

,

де  – довільна диференційована функція своїх аргументів.

Приклад 2.

Знайти загальний розв’язок рівняння

.

Відповідна симетрична система складається з одного рівняння

 або .

Це – однорідне рівняння, тому робимо заміну . Тоді

, .

,

Отже, загальний розв’язок вихідного рівняння має вигляд

.

Приклад 3.

Знайти розв’язок рівняння

який задовольняє умову

.

Утворюємо відповідну симетричну систему

.

Знаходимо перші інтеграли

.

Підставимо значення  у ці інтеграли

.

Звідси

.

Підставимо в початкову умову замість  і  їх значення з останніх двох рівностей

.

Замість  і  підставимо їх значення з перших інтегралів. Тоді

.

Приклад 4.

.

.

Складаємо відповідну систему

.

З останнього рівняння маємо

.

З першого рівняння маємо

.

Підставляємо значення  в перші інтеграли. Одержимо

.

Звідси

.

Підставляємо в початкову умову

.

 

Тоді

.

Приклад 5.

Знайти загальний розв’язок рівняння

.

Це – квазілінійне рівняння, тому відповідна симетрична система має вигляд

.

Знайдемо перші інтеграли цієї системи. З першого рівняння

Маємо

.

Складемо рівність, використовуючи властивість пропорцій,

,

звідки

.

Загальний розв’язок має вигляд

.

Його можна записати у такому вигляді

.

Приклад 6.

Знайти розв’язок рівняння

,

який задовольняє початкову умову

.

Складаємо відповідну симетричну систему

.

Друге рівняння дає один перший інтеграл

.

 

Використавши властивість пропорцій, отримуємо інтегровану комбінацію

.

Звідки

.

Підставимо значення  в перші інтеграли

.

Звідки

.

Підставляємо ці значення в початкову умову

 або .

.

Приклад 7.

Знайти інтегральну поверхню рівняння

,

яка проходить через криву

Відповідна симетрична система має вигляд

.

З першого рівняння маємо

.

Утворимо інтегровану комбінацію

 або .

Звідки

.

Виключимо тепер  з рівнянь

З другого і четвертого рівнянь маємо , отже, . Тоді з першого рівняння . З третього отримаємо .

Тепер можемо знайти залежність між  і , використавши друге рівняння

.

Отже,

,

.

Замінюючи тепер  та  відповідними їм виразами з перших інтегралів, отримаємо рівняння шуканої поверхні

або

.

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: