Симетрична форма системи диференціальних рівнянь.

Запишемо систему (4.1.1) у вигляді

(4.4.1)

Змінні  входять у цю систему вже рівноправно, на відміну від системи (4.1.1), в якій  розглядаються як шукані функції, а як незалежна змінна. Систему (4.4.1) називають системою диференціальних рівнянь першого порядку у симетричній формі, яка відповідає нормальній системі (4.1.1). Система (4.4.1) залишається рівносильною нормальній системі, якщо усі знаменники помножити на один і той же множник. Тому ми можемо вважати, що у знаменнику диференціала  знаходиться не одиниця, а деяка функція. Тоді несиметричність змінних залишається тільки у позначеннях. Замість змінних  введемо змінні  (для простоти запису число змінних будемо позначати через , а не через ).

Загальний вигляд системи диференціальних рівнянь у симетричній формі такий:

          (4.4.2)

Загальний інтеграл цієї системи запишеться у вигляді

                                        (4.4.3)

Розглянемо деякий перший інтеграл системи (4.4.2)

.                                                  (4.4.4)

Вздовж інтегральної кривої системи функція  зберігає стале значення. Тому її повний диференціал, взятий вздовж цієї кривої, дорівнює нулю.

.

Але вздовж інтегральної кривої диференціали  пропорційні значенням функцій  згідно з рівняннями (4.4.2). Отож, вздовж кожної інтегральної кривої маємо

 (4.4.5)

Повторюючи міркування попереднього параграфа, зауважимо, що співвідношення (4.4.5) виведено для значень , які є змінною точкою деякої інтегральної кривої. Але ця рівність виконується для довільної сталої  у формулі (4.4.4), тому рівність (4.4.5) виконується для точок довільної інтегральної кривої. Оскільки через кожну точку заданої області проходить інтегральна крива, то співвідношення (4.4.5) для лівої частини першого інтеграла виконується тотожньо. Міркуючи в оберненому порядку, одержуємо, що будь-яка функція , яка задовольняє тотожньо рівняння (4.4.5), дає перший інтеграл, якщо прирівняти її до довільної сталої.

Іноді запис нормальної системи (4.1.1) у симетричній формі (4.4.1) є корисним для знаходження перших інтегралів, тому що можна використати властивість пропорцій

для побудови інтегрованих комбінацій, які і дають перші інтеграли.

Зауважимо, що досить часто ми не зможемо таким шляхом знайти достатню кількість незалежних перших інтегралів, щоби одержати загальний інтеграл системи. Тоді, використовуючи вже знайдені перші інтеграли, можна спробувати спростити задачу, понижуючи порядок системи або знаходячи інші перші інтеграли. Усе сказане стосується і того випадку, коли система вже задана у симетричній формі.

Приклад 1.

.

Додамо чисельники та знаменники перших двох дробів і прирівняємо до третього

,

звідки

.

Отже,

є перший інтеграл системи.

Помножимо чисельники та знаменники дробів відповідно на , додамо чисельники та знаменники перших двох дробів і прирівняємо до третього дробу.

.

Маємо

.

Звідки одержуємо ще один перший інтеграл

.

Очевидно, що знайдені перші інтеграли незалежні, тому загальний інтеграл вихідної системи має вигляд

Приклад 2.

.

Рівняння

дає один перший інтеграл .

Тепер віднімемо від чисельника та знаменника останнього дробу чисельники та знаменники перших двох дробів. Одержимо інтегровану комбінацію

.

Звідки

.

Загальний інтеграл має вигляд

Приклад 3.

Запишемо цю систему у симетричній формі

.

Звідки

.

Складемо пропорцію

або

.

Інтегруючи, знаходимо перший інтеграл

.

Знаходимо звідси  і підставляємо у перше рівняння вихідної системи.

.

, .

Інтегруємо

, .

Замінивши  її значенням, одержимо

.

Загальний інтеграл вихідної системи має вигляд

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: