Лінійне однорідне рівняння з частинними похідними першого порядку.

Розглянемо рівняння вигляду

(5.2.1)

Таке рівняння називають лінійним однорідним рівнянням з частинними похідними першого порядку. Ми вже зустрічалися з цим рівнянням, коли вивчали симетричні системи. Це було рівняння (4.4.5). Тому запишемо симетричну систему, яку будемо називати відповідною до рівняння (5.2.1).

.                                                (5.2.2)

Ми маємо таку теорему:

Ліва частина будь-якого першого інтеграла системи (5.2.2) є розв’язком рівняння (5.2.1), і навпаки, будь-який розв’язок рівняння (5.2.1), прирівнений до довільної сталої, дає перший інтеграл системи (5.2.2). Нехай маємо загальний інтеграл системи (5.2.2).

Покажемо, що загальний розв’язок рівняння (5.2.1) визначається формулою

,                                              (5.2.3)

де  – довільна диференційована функція своїх аргументів. Оскільки будь-яка функція, аргументами якої є перші інтеграли системи (5.2.2), є також першим інтегралом цієї системи, то згідно з сформульованою теоремою функція (5.2.3) є розв’язком рівняння (5.2.1). Покажемо, що це загальний розв’язок, тобто у цій формулі міститься будь-який частинний розв’язок. Візьмемо довільний частинний розв’язок

.

Тоді ця функція тотожньо задовольняє рівняння

.                         (5.2.4)

Оскільки перші інтеграли  є також розв’язками рівняння (5.2.1), то виконуються тотожності

. (5.2.5)

Система (5.2.4) – (5.2.5) є стосовно функцій  лінійною однорідною і має ненульові розв’язки. Тому визначник цієї системи тотожньо дорівнює нулю. Цей визначник є якобіан від функцій . Отже, ми маємо

.                                              (5.2.6)

Згідно основної теореми про якобіани між функціями  існує функціональна залежність, тобто справедлива рівність

.                                               (5.2.7)

Оскільки перші інтеграли  за умовою незалежні, то один з мінорів функціонального визначника (5.2.6) гарантовано відмінний від нуля. Тому співвідношення (5.2.7) можна розв’язати стосовно функції , і ми одержуємо

.

Це означає, що вибраний частинний розв’язок міститься у формулі (5.2.3).

Задача Коші для лінійного однорідного рівняння в частинних похідних першого порядку.

Оскільки рівняння з частинними похідними має безліч розв’язків, то для виділення одного з них треба задати додаткову умову. Такою умовою може бути умова Коші. Зафіксуємо яку-небудь із змінних , наприклад,  і будемо вимагати, щоби для розв’язку  рівняння (5.2.1) виконувалася умова

.             (5.3.1)

Ми припускаємо, що функція  визначена у деякому околі точки і .

Підставимо значення  в загальний інтеграл системи (5.2.2). Одержимо

                                     (5.3.2)

Якобіан цієї системи відмінний від нуля в точці . Тому існує єдиний розв’язок системи (5.3.2)

Побудуємо функцію

. (5.3.3)

Ця функція і буде розв’язком задачі Коші. Справді, оскільки функція (5.3.3) залежить від частинних розв’язків , то вона також буде розв’язком рівняння (5.2.1). Крім того,

.

Тобто функція (5.3.3) задовольняє початкову умову (5.3.1).

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: