Динамика поступательного и вращательного движения.

     Основной закон динамики поступательного движения это второй закон Ньютона – закон изменения импульса системы тел под действием результирующей внешних сил:

                         ,                            (2.1)

где  и – скорость и ускорение центра масс системы тел, а  – суммарная масса всех тел в системе. Часто в физической задаче рассматривается движение только одного тела, тогда необходимо исследовать скорость и ускорение центра масс именно этого тела.

     Из (2.1) можно расчитать импульс силы, т.е. изменение импульса системы (или одного тела) при действии результирующей силы в течение некоторого времени :

               или        ,                           (2.2)

где  – средняя сила, а изменение импульса .

     Основным уравнением динамики вращательного движения является закон изменения момента импульса ситемы под действием результирующего внешнего момента сил:

                                             ,                                              (2.3)

где  – момент силы , приложенной к частице, характеризуемой радиус-вектором  относительно заданной точки отсчета;

 – момент импульса системы частиц, где  – момент импульса одной частицы.

     Из (2.3) можно расчитать изменение момента импульса системы (или одного тела) при действии результирующего момента силы в течение некоторого времени :

               или        ,                          (2.4)

     Часто в физической задаче рассматривается случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае выражение для момента импульса системы можно упростить:

                                             ,                                                    (2.5)

где  – момент инерции твердого тела относительно оси вращения,  – расстояние от частицы с массой  до оси вращения,  – угловая скорость вращения этого тела вокруг этой оси.

     Подставляя (2.5) в (2.3), получим уравнение динамики тела, вращающегося вокруг некоторой оси Z:

                                             ,                                               (2.6)

где  – угловое ускорение тела.

     Рассчет моментов инерции твердых тел это отдельная математическая задача, иногда достаточно сложная. Но в некоторых случаях можно воспользоваться готовым решением для тел с простой геометрической формой. В таблице указаны формулы для рассчета моментов инерци некоторых тел относительно оси, проходящей через центр масс тел:

– кольца относительно оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости.	– однородного шара относительно оси, проходящей через центр шара.
– диска относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости.	– стержня относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему.

Для нахождения моментов инерции этих тел относительно других осей необходимо применить теорему Штейнера:

     Момент инерции  твердго тела относительно произвольной оси О равен сумме момента инерции этого тела  относительно оси С, парал-

лельной оси О и проходящей через центр масс тела, и произведения массы этого тела  и квадрата расстояния  между осями О и С.

                                                                                            (2.7)

 

 

     2.1. Небольшой шарик массы m = 1 кг летит со скоростью  м/с под углом a =30° к горизонтальной плоскости. После неупругого удара он отскакивает со скоростью  м/с под углом b =60° к плоскости. Время соударения t = 0,001 с. Найти модуль средней силы трения шарика о плоскость, действовавшей во время удара.   Ответ: 2830 Н

     2.2. На вершине неподвижной призмы с углами a=30⁰ и b=60⁰ установлен невесомый шкив, который может вращаться без трения. Через него перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы с массами m₁ = m₂  = m = 1 кг. Коэффициенты трения грузов о плоскости призмы  Найти ускорение грузов и силу натяжения нити.

Ответ    :

     2.3. Модель самолёта в аттракционе вращается с частотой  оборотов в минуту в вертикальной плоскости, совершая “мёртвую петлю“ с радиусом R = 5 м. Во сколько раз сила, прижимающая человека к сиденью самолёта в нижней точке, больше такой же силы в верхней точке? Принять . Ответ: в =1,5 раз.

     2.4. Два одинаковых диска массой m = 1 кг и

радиусом R = 1 м каждый положили на плоскость и

приварили друг к другу. Найти момент инерции

получившейся детали относительно оси,

проходящей перпендикулярно плоскости дисков через точку О (см. рис.).

Ответ: 11 кг×м²

     2.5. Тонкий однородный стержень массы m = 1 кг и длины l= 1 м может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. В оси действует момент сил трения М_тр. = 1 Н×м. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают без толчка. Найдите угловое ускорение в начальный момент времени. g = 10 м/с².

Ответ: 12 рад/с²

     2.6. Невесомая нить перекинута через сплошной цилиндрический блок, способный вращаться вокруг горизонтальной закреплённой оси симметрии. К концам нити привязаны грузы m₁ = 2m и m₂ = m; масса блока m₃ = m, а его радиус равен R.  Найти величину момента сил трения в оси блока, если нить движется с ускорением a = g / 7                        Ответ: M _тр = mgR / 2.

Качественные задачи.

     2.7к. Импульс тела  изменился под действием короткого удара и скорость тела стала равной , как показано на рисунке. В каком направлении могла действовать сила?

а) 2, 3, 4 б) 1 в) только 4 г) 1, 2

     2.8к. Теннисный мяч летел с импульсом  в горизонтальном направлении, когда теннисист произвел по мячу резкий удар длительностью 0,1 с. Изменившийся импульс мяча стал равным  (масштаб указан на рисунке). Найти среднюю силу удара. а)30 Н       б) 5 Н              в) 50 Н

     г) 0,5 Н           д) 0,1 Н

     2.9к. Из жести вырезали три одинаковые детали в виде эллипса. Две детали разрезали: одну - пополам вдоль оси симметрии, а вторую - на четыре одинаковые части. Затем все части отодвинули друг от друга на одинаковое расстояние и расставили симметрично относительно оси OO' (см. рис.). Выберите правильное соотношение между моментами инерции этих деталей относительно оси OO'.

а)    б)    в)    г)

     2.10к. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Груз опускается с ускорением a = 2 м/с². Момент инерции барабана равен ...

     2.11к. Обруч, раскрученный в вертикальной плоскости и посланный по полу рукой гимнастки, через несколько секунд сам возвращается к ней. Начальная скорость центра обруча равна = 10 м/с, коэффициент трения между обручем и полом равен m = 0,5. Максимальное расстояние, на которое откатывается обруч от гимнастки, равно ...

     2.12к. Тонкий обруч радиусом 1 м, способный свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, отклонили от вертикали на угол 90° и отпустили. В начальный момент времени угловое ускорение обруча равно ... а) 20 с^–2 б) 7 с^–2   в) 5 с^–2 г) 10 с^–2   

     2.13к.  Зависимость импульса частицы от времени описывается законом , где  и  – единичные векторы координатных осей Х, Y соответственно. Зависимость горизонтальной проекции силы , действующей на частицу, от времени представлена на графике ...

а) б)  в) г)

     2.14к. На графике показана зависимость силы, действующей на тело, от времени. За первые три секунды импульс тела изменился на ...

а) 80 Н×с

б) 300 Н×с

в) 150 Н×с

г) 50 Н×с

     2.15к. При выстреле орудия снаряд вылетел из ствола с угловой скоростью w = 200 с^–1 под углом a =60° к горизонту. Момент инерции снаряда относительно его продольной оси I = 15 кг×м², растояние между колесами орудия  = 1,5 м, время движения снаряда в стволе с. Силы давления (в килоньютонах) земли, действующие на колеса во время выстрела, отличаются на ...

 

Задачи для самостоятельной работы.

     2.1с. Импульс тела  изменился под действием короткого удара и стал равным , как показано на рисунке. В каком направлении действовала сила?

а) 1

б) 2

в) 3

г) 4

     2.2с. Через невесомый блок перекинут невесомый шнур, к концу которого привязан человек массы m = 60 кг. С какой силой человек должен тянуть за другой конец шнура, чтобы подниматься вверх?

     2.3с. Теннисный мяч летел с импульсом  (масштаб и направление указаны на рисунке). В перпендикулярном направлении на короткое время  = 0,1 с на мяч подействовал порыв ветра с постоянной силой F = 40 Н. Какова стала величина импульса p₂ после того, как ветер утих? а) 5 кг×м/с     б) 0,5 кг×м/с в) 43 кг×м/с 

               г) 50 кг×м/с     д) 7 кг×м/с

     2.4с. Найти угловую скорость, с которой начал вращаться вокруг вертикальной закреплённой оси тонкий стержень массы m = 200 г и длины l = 80 см, лежащий на горизонтальной плоскости. Ось проходит через середину стержня, и в оси вращения возникает постоянный момент сил трения M _тр= 0,15 H . Повернувшись на угол рад, стержень останавливается.

     2.5с.. Два одинаковых диска массой m = 1 кг и радиусом R = 1 м каждый положили на плоскость и приварили друг к другу. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости дисков через центр масс одного из дисков О.

     2.6с. Два одинаковых однородных тонких стержня массой m = 1 кг и длиной l = 1 м каждый приварили концами перпендикулярно друг к другу. Через конец одного из стержней проходит ось О, перпендикулярная плоскости стержней. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси О.

     2.7с. Тонкий однородный стержень массы m= 1 кг  и длины l = 1 м может вращаться в горизонтальной плоскости без трения вокруг вертикальной оси С, проходящей через середину стержня. К концу стержня в плоскости вращения под углом a = 30° к стержню прикладывают силу  =1 Н. Найдите угловое ускорение стержня в начальный момент времени.

     2.8с. Небольшой шарик массы m = 1 кг летит со скоростью  м/с под углом a = 60° к горизонту и падает на вертикальную стену. После неупругого удара он отскакивает со скоростью  м/с под углом b =30° к горизонту. Время соударения t = 0,001 с. Найти модуль средней силы нормальной реакции со стороны стены.

Занятие 3

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: