Собственные незатухающие и затухаюшие, вынужденные.

     Если на тело действует сила, пропорциональная смещению тела из положения равновесия и направленная в противоположную смещению сторону, то тело будет колебаться по гармоническому закону:

                                                                                (4.1)

где  – смещение из положения равновесия,  – циклическая частота колебаний,  – частота, а  – период колебаний,  – начальная фаза колебаний,  – амплитуда или максимальное смещение. Примером такого движения является колебания тела на пружине вдоль некорой оси , начало отсчета которой находится в положении равновесия. Такое движение удовлетворяет условию гармонических колебаний, так как проекция силы упругости равна , где  – коэффициент жесткости пружины. Такое тело массы  на пружине с жесткостью  называется пружинным маятником. Циклическую частоту и период его колебаний определяют по формулам:

                                   ,                                    (4.2)

     Если на тело, способное вращаться вокруг некоторой закрепленной оси, действует момент силы, пропорциональный углу отклонения j от положения равновесия и стремящийся вернуть тело в положение равновесия, то угол отклонения j будет меняться по гармоническому закону (только в случае малости угла, т.е. если  рад:)

                                             ,                                (4.3)

где  – угловая амплитуда колебаний или максимальный угол отклонения от положения равновесия. Примером таких колебаний может служить физический маятник, то есть любое твердое тело, колеблющееся вокруг закрепленной оси О, лежащей выше центра масс С этого тела, под действием момента силы тяжести. В случае горизонтальной оси О циклическая частота и период колебаний физического маятника определяются по формулам:

                         ,         ,                          (4.4)

где g – ускорение свободного падения, d= OC – расстояние от центра масс до оси вращения, I – момент инерции твердого тела относительно оси вращения (см. (2.5) – (2.7)).

Для системы твердых тел, совершающих колебание как единое целое, при расчете циклической частоты (4.4) необходимо учесть, что , , где  и  – массы и моменты инерции каждого тела в отдельности. Также необходимо рассчитать расстояние d от центра масс СИСТЕМЫ ТЕЛ до оси вращения.

     Частный случай физического маятника – математический маятник – подвешенное на невесомой нерастяжимой нити тело, рамеры которого намного меньше длины нити . Циклическая частота и период колебаний такого маятника определяется по формулам:

                                   ,                                     (4.5)

     Из (4.1) можно найти скорость тела на пружине в любой момент времени:                        ,                                   (4.6)

где  – амплитуда скорости (максимальная скорость).

     Их (4.3) можно найти угловую скорость вращения физического или математического маятника:

                                                     (4.7)

где  – максимальная угловая скорость вращения.

Если маятник любого типа находится в вязкой среде, то колебания такого маятника будут затухающими (или вообще могут не возникнуть), т.е. назвать их гармоническими уже нельзя. Кинематическое уравнение колебаний для пружинного маятника (4.1) изменяется:

                                             ,                          (4.8)

где                                                                                            (4.9)

– амплитуда затухающих колебаний, уменьшающаяся со временем по экспоненциальному закону (не путать с максимальным отклонением от положения равновесия!),  – начальная амплитуда колебаний (не путать с начальным смещением из положения равновесия!),

     Коэффициент затухания характеризует скорость уменьшения амплитуды                                           ,                                                (4.10)

где t – время релаксации, или время, за которое амплитуда уменьшится в е раз, где е = 2,72 – основание натурального логарифма).

                                                                                              (4.11)

– циклическая частота затухающих колебаний, где  – циклическая частота колебаний в отсутствие вязкой среды (без диссипативных сил). Видно, что если , то действительного значения для w не существует, т.е. колебания не возникают (слишком вязкая среда, например, мед или дёготь).

Период затухающих колебаний                        .

Логарифмический декремент затухания

                                                                                                        (4.12)

характеризует уменьшение амплитуды колебаний за один период.

     Все вышесказанное относится к математическому и физическому маятникам, кроме переменной – вместо смещения х надо рассматривать угловое смещение j:

                                                                        (4.13)

     Если к пружинному маятнику вдоль оси колебаний приложить внешнюю гармоническую силу , то маятник будет совершать вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы  по закону:                       ,

где                                                             (4.14)

– амплитуда вынужденных колебаний.

                                                                                  (4.15)

– отставание по фазе смещения от внешней силы.

Если затухание колебаний мало , то выражение для амплитуды упростится:                                   , a = 0.

 

4.1. Два одинаковых диска массы m = 1 кг  и радиуса R =1 м положили на одну плоскость и приварили в одной точке. Затем получившуюся фигуру подвесили на горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости фигуры и проходящей через точку О. Точка О и центры масс двух дисков лежат на одной прямой. Трением в оси пренебречь. Найдите период малых колебаний фигуры вокруг точки О.                    Ответ: 3,29 c

     4.2. Грузик массой m = 1 кг прикреплен к пружине жесткости k = 1 Н/м и совершает незатухающие гармонические колебания в горизонтальной плоскости с амплитудой A = 1 см. В начальный момент грузик вышел из положения равновесия. За какое время он пройдет путь, равный ?                                          Ответ: 1,05 с

     4.3. Маленький шарик подвешен на длинной нерастяжимой нити длины l = 1 м и совершает гармонические колебания под действием силы тяжести. В нижней точке траектории шарик имеет угловую скорость w = 2 рад/с. Найдите максимальный угол (в радианах), на который отклоняется нить в процессе движения. g = 10 м/с².      Ответ: 0,63 рад

     4.4. Пружинный маятник совершает малые вертикальные колебания по закону . Найти массу маятника, если коэффициент жёсткости пружины k = 1 H/м.     Ответ: m = 40 г.

     4.5. Однородный тонкий диск радиуса R осциллирует около закреплённой горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его край. Вследствие трения его колебания затухают. Найти период таких колебаний, если логарифмический декремент затухания колебаний равен  . Ответ: .

     4.6. Грузик массы m совершает вертикальные колебания на пружинке с коэффициентом жёсткости k = 6 H / м под действием внешней гармонической силы с амплитудой F ₀ = 0,1 Н. Найти частоту этой силы, если амплитуда колебаний грузика А = 2 см. Трением пренебречь. Ответ: .

 

Задачи для самостоятельной работы.

4.1с. Тонкий однородный стержень массы m = 2 кг и длины l = 1,5 м подвешен на горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец. К нижнему концу прикрепили небольшой свинцовый шарик такой же массы m. Найдите частоту малых колебаний такого маятника. Трением в оси пренебречь. Принять g = 10 м/с². Ответ: 0,534 Гц

4.2с. Грузик массой m = 100 г  прикреплен к пружине жесткости k = 200 Н/м и совершает незатухающие гармонические колебания в горизонтальной плоскости с амплитудой А = 2 мм. В начальный момент грузик находился в крайнем положении. За какое время он пройдет путь, равный ?

     4.3с. Тонкий однородный стержень длины l = 50 см  и массы m 100 г совершает гармонические незатухающие колебания под действием силы тяжести относительно горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. В положении равновесия стержень имеет угловую скорость w = 0,5 рад/с. Найдите максимальный угол (в радианах), на который отклоняется стержень в процессе движения. g = 10 м/с².

     4.4с. Грузик массы m 200 г совершает собственные затухающие колебания на пружинке жесткости k =100 Н/м по закону  см. Найдите логарифмический декремент затухания.

4.5с. Невесомая пружинка жесткости k = 10 Н/м одним концом прикреплена к стене, а другим – к бруску массы m = 50 г, лежащему на горизонтальной поверхности. Вдоль поверхности на брусок действует гармоническая сила  Н. Найдите амплитуду вынужденных колебаний бруска. Диссипативные силы в системе отсутствуют. Собственными колебаниями пренебречь.

 

Занятие 5

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: