Модуль 1. Линейные пространства. Линейные функции

1. Линейные (векторные) пространства. Базис. Матрица перехода. Изменение координат вектора при переходе от базиса к базису.

2. Докажите, что два векторных пространства  и  изоморфны тогда и только тогда, когда .

3. Линейные подпространства. Сумма и пересечение подпространств. Формула Грассмана.

4. Когда сумма  подпространств линейного пространства  является прямой?

5. Линейные функции. Сопряженное пространство. Для любого конечномерного пространства  имеем .

6. Пусть даны два базиса  и  линейного пространства ,  — матрица перехода от  к . Рассмотрим двойственные базисы  и . Какова матрица перехода от  к ?

7. Всякое подпространство есть пересечение ядер некоторого множества линейных функций.

Модуль 2. Евклидовы пространства. Билинейные и квадратичные функции

8. Евклидово пространство. Неравенство Коши — Буняковского. Свойство углов и длин в евклидовом пространстве.

9. Расскажите о матрице Грама и ее свойствах.

10. Докажите линейную независимость системы ненулевых ортогональных векторов. Как вычисляется скалярное произведение в ортонормированном базисе? Опишите процесс ортогонализации Грама — Шмидта.

11. Ортогональные матрицы как матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Группа .

12. Обосновать -разложение.

13. Доказать, что , в частности, и , где .

14. Вывести свойства операции взятия ортогонального дополнения.

15. Теорема Пифагора. Угол и расстояние между вектором и подпространством.

16. Изоморфизм линейных пространств  и  в случае евклидовых пространств.

17. Пусть  - билинейная функция на линейном пространстве ,  и  - ее матрицы в базисах  и , соответственно. Какова связь этих матриц?

18. Докажите, что ранг билинейной функции не зависит от выбора базиса.

19. Для произвольной симметрической билинейной функции существует базис пространства, в котором матрица функции диагональна.

20. Любая квадратичная форма линейной заменой переменных приводится к виду, в котором ненулевые коэффициенты имеют лишь квадраты переменных.

21. Опишите процедуру поляризации.

22. Опишите алгоритм Лагранжа.

23. Докажите формулу Якоби.

24. К какому виду приводится любая квадратичная форма невырожденным линейным преобразованием над полем комплексных и действительных чисел?

25. Докажите закон инерции.

26. Докажите критерий Сильвестра.

27. Определение полуторалинейных функций, эрмитовых квадратичных форм, унитарного пространства и вывод свойств, аналогичных

свойствам евклидова пространства.

28. Совокупность  унитарных матриц порядка  - группа.

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться: