Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. Дайте определение внутренних, граничных и предельных точек множеств, открытых и замкнутых множеств, окрестностей, компактов и областей в Rⁿ. Сформулируйте критерий компактности множеств в Rⁿ.

2. Дайте определение предела последовательности в Rⁿ, сходящейся, расходящейся и фундаментальной последовательности. Сформулируйте критерий Коши сходимости последовательности.

3. Что такое координатные функции векторной функции многих переменных? Дайте определение предела функции многих переменных по базе. Сформулируйте теорему о покоординатной сходимости векторной функции многих переменных.

4. Сформулируйте теорему о пределе сложной функции.

5. Сформулируйте теорему о пределе ограничения функции на подмножество.

6. Дайте определение непрерывной функции многих переменных в точке и точек разрыва функции. Сформулируйте локальные свойства непрерывных функций.

7. Дайте определение функции, непрерывной на множестве в Rⁿ. Сформулируйте теорему о непрерывных отображениях компактов и линейно связных множеств. Сформулируйте свойства функций, непрерывных на компактах и на линейно связных множествах.

8. Дайте определение дифференцируемости и дифференциала функции многих переменных. Сформулируйте теорему о покоординатной дифференцируемости ФМП.

9. Дайте определение и геометрическую интерпретацию частной производной функции многих переменных. Дайте определение матрицы Якоби векторной функции. Сформулируйте первое необходимое условие дифференцируемости.

10. Сформулируйте второе необходимое условие и достаточное условие дифференцируемости. На примерах покажите, что необходимые условия дифференцируемости не являются достаточными.

11. Сформулируйте свойство линейности и правило Лейбница для дифференциала и частных производных функции многих переменных.

12. Сформулируйте теорему о дифференцировании сложной функции, цепное правило и свойство инвариантности дифференциала функции многих переменных.

13. Дайте определение частных производных высших порядков. Что такое матрица Гессе функции многих переменных? Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных. Приведите пример функции, для которой эта теорема неверна.

14. Дайте определение дифференциалов высших порядков. Сформулируйте теорему Тейлора для функций многих переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.

15. Дайте определение и геометрическую интерпретацию производной по направлению. Сформулируйте теорему о производной по направлению дифференцируемой функции.

16. Дайте определение градиента функции многих переменных. Сформулируйте его свойства.

17. Дайте определение касательной плоскости и нормали к поверхности. Сформулируйте теорему об их существовании и уравнениях. Дайте геометрическую интерпретацию дифференциала функции двух переменных.

Модуль 4. Безусловные и условные экстремумы

1. Дайте определение локального экстремума функции многих переменных, стационарных и критических точек. Сформулируйте необходимое условие экстремума и схему исследования функций на экстремум.

2. Сформулируйте достаточные условия экстремума функции многих переменных в общем случае и в двумерном случае. 

3. Дайте определение условного локального экстремума и функции Лагранжа. Сформулируйте необходимые условия и схему исследования функций на условный экстремум.

4. Сформулируйте достаточные условия условного экстремума в общем случае.

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

для УЦ

 

Литература

Основная литература (ОЛ)

Иванова Е.Е. Дифференциальное исчисление функций одного переменного: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. –408 с.

Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. –528 с.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1980. – 431 с.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1 – М.: Наука, 1985. – 429 с.

Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для вузов / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. 2-е изд., – М.: Наука, 1986. – 428 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. / Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1987. – 472 с.

Дополнительная литература (ОЛ)

Фролов С.В. Шостак Р.Я. Курс высшей математики. Т.1. – М.: Высшая школа, 1973. – 480 с.

Ильин В.А. Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1. – М.: Наука, 1982. – 616 с.

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. – М.: Высшая школа, 1988. – 712с Методические и учебные пособия (МП)

Лекции

Модуль 1. Исследование функций и приложения
дифференциального исчисления

Лекции 1–2. Необходимое и достаточное условия монотонности дифференцируемой функции на промежутке. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Стационарные и критические точки функции. Достаточные условия экстремума (по первой и второй производным, по производной высшего порядка). Наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке Выпуклость (вверх и вниз) функции, точки перегиба. Достаточные условия выпуклости дважды дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия наличия точки перегиба. Асимптоты графика функции. Схема полного исследования функции и построения ее графика.

ОЛ-1, гл. 8

Лекция 3. Приложения дифференциального исчисления: формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа. Формула Маклорена. Представленеи по формуле Маклорена некоторых элементарных функций. Использование формулы Тейлора в приближенных вычислениях и для вычисления пределов. Векторная функция скалярного аргумента: векторная функция скалярногоаргумента со значениями в R3, ее годограф, уравнения пространственной кривой, винтовая линия. Предел и непрерывность векторной функции. Производная векторной функции, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к пространственной кривой.

ОЛ-1, гл. 7, § 7.1 - 7,5, гл9.

⇐ Предыдущая15161718192021222324Следующая ⇒

Поделиться: