Задачи на законы распределения случайных величин

 

6.1. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

mi	0	1	2	3
р i	0,064	0,288	0,432	0,216

Найти: а) математическое ожидание МХ; б) дисперсию DХ; в) среднеквадратическое отклонение σ_х.

6.2. Случайная величина Х задана законом распределения:

mi	10	15	25
р i	10/28	p	3/28

Найти: а) значение вероятности для второй случайной величины; б) математическое ожидание МХ; в) дисперсию DХ.

6.3. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

mi	20	21	22	23
р i	0,1	0,3	0,2	p

Найти: а) значение вероятности для четвертой случайной величины; б) математическое ожидание МХ; в) дисперсию DХ. [а) 0,4 б) 21,90 в) 1,90]

6.4. Задан закон распределения дискретных случайных величин Х и Y:

mi	110	120	130	140	150
р i x	0,15	0,20	0,35	0,1	0,2
р i y	0,1	0,15	0,3	0,05	0,4

Сравнить а) математические ожидания МХ и М Y и б) стандартные отклонения s_x и s_y.

 

 

6.5. Случайная величина Х задана законом распределения:

mi	0	3	x
р i	0,2	0,4	p

Найти третье значение случайной величины и его вероятность, если известно, что ее математическое ожидание равно 4.

6.6. Распределение дискретной случайной величины X содержит неизвестные значения х₁ и х₂ (х₁ < x₂):

mi	х1	х2
р i	0,4	0,6

Известны числовые характеристики случайной величины: MX = 3,6; DX = 0,24. Требуется определить значения х₁ и х₂.

6.7. Случайная величина X с вероятностью 1/5 принимает значения 7; 9; 10; 11 и 13; а случайная величина Y также с вероятностью 1/5 принимает значения 22; 24; 25; 26; 28. Найти DX и DY , проверить, выполняется ли равенство DY = DX.

6.8. Производится последовательность независимых испытаний 5 приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий – надежный. Построить ряд распределения случайного числа испытаний, если вероятность каждого из них равна 0,9. Найти математическое ожидание, дисперсию.

6.9. На некотором участке дороги 60% водителей соблюдают предусмотренный скоростной режим. Составить закон распределения числа водителей соблюдающих установленные ограничения по скорости, из пяти проехавших. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.10. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 10 очков. Построить закон распределения числа выбитых очков. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.11. В некотором цехе брак составляет 10 % всех изделий. Составить закон распределения числа бракованных изделий из трех наудачу взятых, найти математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение этой случайной величины.

6.12. Производится забрасывание мяча в корзину. Вероятность попадания при одном броске – 0,3. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию и стандартное отклонение случайного числа заброшенных мячей при трех бросках.

6.13. В приемное время врача-стоматолога посещает в среднем 6 человек в час. Составить таблицу вероятностей для числа пациентов 0, 1, 2, 3, посетивших психиатра в течение часа в предположении, что количество посетивших стоматолога больных имеет пуассоновское распределение и найти их математическое ожидание.

6.14. В среднем левши составляют 1% всего населения. Сколько в среднем нужно опросить людей, чтобы набрать десятерых левшей в предположении, что количество левшей имеет пуассоновское распределение?

6.15. Из-за сбоя в оборудовании оказалось, что в партии  2% автомобилей имеют скрытый дефект. Определить, сколько автомобилей должен в среднем осмотреть представитель службы качества, чтобы найти один автомобиль с дефектом, если количество дефектных автомобилей в партии имеет пуассоновское распределение.

6.16. Маркетинговые исследования аналитиков компании показали, что 40% горожан предпочитают приобретать продукты в магазинах розничной сети «Магнит». Случайно выбраны 4 человека. Составьте ряд распределения случайной величины Х − числа людей в выборке, предпочитающих услуги данной сети магазинов. Найдите математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение Х. Чему равна вероятность того, что среди 4 случайно отобранных человек не будет ни одного человека предпочитающего «Магнит»; окажется хотя бы 1 человек предпочитающий «Магнит», будет не больше 3 человек, предпочитающих «Магнит»?

6.17. Среднее число клиентов, приходящих утром в банк в 10-минутный интервал, равно 1. Прибытие клиентов происходит случайно и независимо друг от друга, а их количество подчиняется распределению Пуассона. Составьте ряд распределения для числа клиентов от 1 до 8, прибывающих утром в течение 10 мин. Найдите математическое ожидание, дисперсию случайной величины и стандартное отклонение.

6.18. Из 20 лотерейных билетов выигрышными являются 4. Наудачу извлекаются 4 билета. Составьте ряд распределения числа выигрышных билетов среди отобранных, найдите их математическое ожидание и дисперсию. Определите вероятность того, что среди отобранных 4 билетов окажется: не меньше трех выигрышных билетов, не больше одного выигрышного билета.

6.19. Сделано 2 вклада – 10000 руб. в компанию А и 15000 руб. в компанию В. Компания А обещает 50% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,2. Компания В обещает 40% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,15. Составить закон распределения случайной величины Х – общей суммы прибыли (убытка), полученной от 2-х компаний через год.

6.20. Нефтяная компания получила финансирование для проведения 10 разработок залежей нефти. Вероятность успешной разработки 0,01. Нефтяные разработки осуществляются независимо друг от друга. Найти математическое ожидание и дисперсию числа успешных разработок.

6.21. Распределение дискретной случайной величины Х задано формулой Р(Х = k) = c/2^к, k = 0,1,2,… Найти c, Р(Х ≤ 3).

6.22. Вероятность того, что студент сдаст семестровые экзамены по алгебре, математическому анализу, физике равны соответственно 0,6; 0,7; 0,9. Составить закон распределения Х – числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент.

6.23. Студент купил 4 билета новогодней лотереи. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,6. Составить закон распределения числа выигрышей, найти математическое ожидание и дисперсию.

6.24. Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения р(x):

Найти: а) значение параметра с; б) интегральную функцию распределения F ( x ); в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

6.25. Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения р(x):

Найти: а) значение параметра с; б) интегральную функцию распределения F ( x ); в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

 

6.26. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F ( x ):

Найти: а) значение параметра с; б) дифференциальную функцию распределения р( x ); в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины; г) вероятность того, что случайная величина Х попадет в интервал

(-1; 3).

6.27. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F ( x ):

.

Найти: а) значение параметра с; б) дифференциальную функцию распределения р(x); в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины; г) вероятность того, что случайная величина Х попадет в интервал (0; 2).

а)1/8; б) в) 2; 16/3;  г) 1/4

6.28. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F ( x ):

.

Найти: а) значение параметра с; б) дифференциальную функцию распределения р( x ); в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины; г) вероятность того, что случайная величина Х попадет в интервал (0; 5).

6.29. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F ( x ):

.

Найти: а) значение параметра с; б) дифференциальную функцию распределения р(x); в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины; г) вероятность того, что случайная величина Х попадет в интервал (0; 5).

6.30. Время, необходимое для оформления договора, является случайной величиной, распределённой по показательному закону со средним значением 10/3. Найти вероятность того, что оформление договора займёт менее 7 ч.

6.31. Среднее время ожидания трамвая равно 3,5 мин. Известно, что время ожидания имеет равномерный закон распределения. Минимальное время ожидания равно 0. Найти вероятность того, что пассажир будет ожидать трамвай от двух до пяти минут.

6.32. Случайная величина X распределена по экспоненциальному закону и имеет среднее значение, равное 1/2. Определить вероятности P{X > 1}, P{X < 2}, P{X > −1}, P{X = 3} и дисперсию этой случайной величины.

6.33. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0;100]. Найти вероятности P{X > 10}, P{40 < X < 90} а также математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.34. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (1,4) задана квадратичной функцией распределения F(x) = a·x²+b·x+c, имеющей максимум при x = 4. Найти параметры а, в, с и вычислить вероятность попадания Х в (2, 3).

6.35. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид:

Найти k, МХ, Р(-0,5< Х<0,5), F(х).

 

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться: