Визначення майбутньої вартості

Поняття майбутньої вартості базується на принципі нерівноцінності грошей, що відносяться до різних моментів часу. Вкладення, зроблені сьогодні, у майбутньому складуть велику величину. Ця група функцій дозволяє розрахувати:

· майбутню або нарощену вартість серії фіксованих періодичних платежів, а також майбутню вартість поточного значення або внеску позики при постійній процентній ставці (функція БЗ);

· майбутнє значення інвестиції після нарахування складних відсотків при змінній процентній ставці (функція БЗРАСПИС).

 

7.3.1.1. Розрахунки на основі постійної процентної ставки.
 Функція БЗ ( БС в Excel 2003 )

Функція БЗ розраховує майбутню вартість періодичних постійних платежів і майбутнє значення єдиної суми або внеску позики на основі постійної процентної ставки.

Синтаксис Б3(норма, число_периодов, выплата, нз, тип).

Значення, що повертає функція БЗ, – це аргумент fv формули (3.1).

Розглянемо різні варіанти використання цієї функції при розв'язуванні конкретних задач.

(3.3)

1. Нехай необхідно розрахувати майбутню вартість єдиної суми внеску, по якій нараховуються складні відсотки визначене число періодів. Цю величину можна розрахувати по формулі:

де fv – майбутня вартість внеску або позики;

pv – поточна вартість внеску (позики);

п – загальне число періодів нарахування відсотків;

r – процентна ставка по внеску (займу).

Ця формула відповідає класичній формулі розрахунку нарощеної суми внеску по методу складних відсотків (2.13).

Для обчислення майбутнього значення єдиної суми використовуються аргументи нз, норма, число_періодів. У цьому випадку на робочому листі EXCEL формула прийме вигляд:

=БЗ(норма, число_периодов, , нз).

При розв'язуванні конкретної задачі замість назв аргументів доцільно записати відповідні числа.

2. Розглянемо ситуації, коли платежі проводяться систематично, а не один раз, як у попередньому прикладі. Ці платежі можуть здійснюватися на початку кожного розрахункового періоду (так називані платежі пренумерандо) або наприкінці (постнумерандо) протягом n періодів. Нехай в кожному періоді вноситься однакова сума. Потрібно знайти сукупну величину таких вкладень (їхню майбутню вартість) наприкінці n-го періоду для обох випадків. Відмінність у розрахунку при цьому полягає в тому, що в другому випадку не відбувається нарахування відсотків на останній внесок, тобто усі внески пренумерандо збільшуються на складні відсотки на один розрахунковий період більше, ніж внески постнумерандо.

(3.4)

2.1. Для розрахунку майбутньої вартості серії фіксованих періодичних платежів, якщо вони вносяться на початку кожного періоду (так названі "обов'язкові платежі" або пренумерандо), використовується формула:

де fv – майбутня вартість серії фіксованих періодичних платежів;

pmt – фіксована періодична сума платежу;

п – загальне число періодів виплат;

r – постійна процентна ставка.

Цій формулі відповідає формула розрахунку нарощеної суми постійної ренти пренумерандо (2.43).

При розрахунку за допомогою функції БЗ використовуються аргументи: норма, число_периодов, выплата; тип = 1. У загальному випадку формула має вигляд

=Б3(норма, число_периодов, выплата, , 1).

Результат повинен співпадати з розрахунком по формулі (3.4).

(3.5)

2.2. Для розрахунку майбутньої вартості серії фіксованих періодичних платежів, якщо виплати відбуваються наприкінці періоду (так названі "звичайні платежі" або постнумерандо), формулу (3.3) слід модифікувати:

 

Формулі (3.5) відповідає формула (2.41) класичної моделі. Відповідний розрахунку по формулі (3.5) запис на робочому листі EXCEL має вигляд:

=БЗ(норма, число_периодов, выплата, ,0).

Аргумент тип=0, то можна опустити останні параметри і записати:

=БЗ(норма, число_периодов, выплата),

підставивши замість аргументів відповідні числа.

Приклади.

Задача 1.

Розрахуємо, яка сума виявиться на рахунку, якщо 27 тис. грн. покладені на 33 роки під 13,5% річних. Відсотки нараховуються кожні півроку.

Розв'язання.

Для розрахунку застосовується формула (3.3), тому що потрібно знайти майбутнє значення єдиної суми внеску. Зверніть увагу, що в умові задачі зазначені річний відсоток і число років. Якщо відсотки нараховуються кілька разів у рік, то необхідно розрахувати загальну кількість періодів нарахування відсотків і ставку відсотка за період нарахування. Ці величини легко визначити по таблиці 7.1, у якій приводяться розрахунки для найбільш розповсюджених методів нарахування відсотків у році.

Таблиця 7.1

Розрахунок основних величин при внутрірічному обліку відсотка

Метод нарахування відсотків	Загальне число періодів нарахування відсотків	Ставка відсотка за період нарахування, %
щорічний	n	k
піврічний	n – 2	k/2
квартальний	n – 4	k/4
місячний	n – 12	k/12
щоденний	n – 365	k/365

 

Таким чином, у даній задачі при піврічному обліку відсотка загальне число періодів нарахування дорівнює 33×2 (аргумент число_периодов), а відсоток за період нарахування дорівнює 13.5%/2 (аргумент норма). За умовою аргумент нз=–27. Це від'ємне число, що означає вкладення грошей. Використовуючи функцію БЗ, одержимо

Б3(13.5%/2,33*2, ,–27) = 2012.07 тис. грн.

Проведемо для порівняння розрахунок по формулі (3.3):

fv = 27×(1+0.135/2)^{^}(33×2) = 2012.07 тис. грн.

Задача 2.

Нехай є два варіанти інвестування засобів протягом 4 років: на початку кожного року під 26 % річних або наприкінці кожного року під 38 % річних. Нехай щорічно вноситься 300 тис. грн. Визначити скільки грошей виявиться на рахунку наприкінці 4-го року для кожного варіанту.

Розв'язання.

У даному випадку проводяться періодичні платежі, і розрахунок ведеться по формулі (3.4) для першого варіанту (обов'язкові платежі) і по формулі (3.5) для другого (звичайні платежі).

Для першого варіанту нарощена вартість першого внеску розміром 300 тис. грн. до кінця 4-го року з врахуванням нарахування складних відсотків складе 300*(1+0.26)^{^}4 = 756.14; майбутня вартість другого внеску до кінця 4-го року складе 300×(1+0.26)^{^}3 = 600.11; третього внеску 300*(1+0.26)^{^}2 = 476.28; останнього внеску 300*(1+0.26) = 378; а їхня сукупна вартість до кінця 4-го року досягне 756.14 + 600.11 + 476.28 +3 78 = 2210.53 тис. грн.

Для другого варіанту відсотки на останній внесок, зроблений наприкінці 4-го періоду, не нараховуються; нарощена вартість передостаннього внеску складе 300*(1+0.38) = 414; внеску, зробленого в другому розрахунковому році 300*(1+0.38)^{^}2 = 571.32; першого внеску 300*(1+0.38)^{^}3 = 788.42. Сукупна вартість вкладень до кінця 4-го року складе 788.42 + 571.32 + 414 + 300 = 2073.74 тис. грн.

При роботі з функцією БЗ варто вказати аргументи норма = 26%, число_пер и одов = 4, выплата = –300, тип = 1 для першого варіанту; норма = 38%, число_периодов = 4, выплата = –300 для другого варіанту. Аргумент тип = 0 можна опустити (див. опис аргументів у таблиці 3.2). Тоді

Б3(26%, 4, –300, , 1) = 2 210.53 – для першого варіанту,

Б3(38%, 4, –300) = 2 073.74 – для другого варіанту.

Розрахунки показали, що перший варіант кращий.

 

Завдання для розрахунків

1. Розрахуйте, яка сума буде на рахунку, якщо сума розміром 5000 грн. розміщена під 12 % річних на 3 роки, а відсотки нараховуються кожні півроку.

Відповідь: 7 092.60 грн.

2. По внеску розміром 2000 грн. нараховується 10 % річних. Розрахуйте, яка сума буде на ощадному рахунку через 5 років, якщо відсотки нараховуються щомісяця.

Відповідь: 3 290.62 грн.

3. На ощадний рахунок вносяться платежі по 200 тис. грн. на початку кожного місяця. Розрахуйте, яка сума виявиться на рахунку через 4 роки при ставці відсотка 13.5 % річних.

Відповідь: 12 779.34 тис. грн.

Порівняйте майбутнє значення рахунку, якщо платежі вносяться наприкінці кожного місяця.

Відповідь: 12 637.17 тис. грн.

 

7.3.1.2. Розрахунки на основі перемінної процентної ставки.

 Функція БЗРАСПИС

Якщо процентна ставка змінюється з часом, то для розрахунку майбутнього значення інвестиції (єдиної суми) після нарахування складних відсотків можна використовувати функцію БЗРАСПИС.

Синтаксис БЗРАСПИС(інвестиція, {ставка1; ставка2; …; ставка N }).

Якщо застосовується масив процентних ставок – {ставка1; ставка2; ...; ставка N} , то ставки необхідно вводити не у вигляді відсотків, а як числа, наприклад, {0.1; 0.15; 0.05}. Однак простіше записати замість масиву ставок відповідний діапазон клітинок, що містять значення змінних процентних ставок.

Функція БЗРАСПИС (в англійському варіанті FvSchedulе) обчислюється по формулі:

FvSchedule = інвестиція×(1+ставка1)×(1+ставка2)×...×(1+ставка N)  (3.6)

Ця формула відповідає класичній формулі розрахунку нарощеної суми внеску по методу складних відсотків при використанні перемінних ставок (1.19).

Приклади.

Задача 1.

По облігації номіналом 100 тис. грн., випущеної на 6 років, передбачений такий порядок нарахування відсотків: у перший рік – 10 %, у два наступні роки – 20 %, у три роки, що залишилися – 25 %. Розрахувати майбутню (нарощену) вартість облігації по складній процентній ставці.

Розв'язання.

Нехай в клітинках А1:А6 введені 10 %, 20 %, 20 %, 25 %, 25 %, 25 % відповідно. Тоді нарощена вартість облігації дорівнює:

БЗРАСПИС(100, А1:А6) = 309.38.

При розрахунку по формулі (3.6) одержимо:

100*(1+0.1)*(1+0.2)*(1+0.2)*(1+0.25)*(1+0.25)*(1+0.25) = 309.38 тис. грн.

Задача 2.

Виходячи з плану нарахування відсотків, наведеного в задачі 1, обчисліть номінал облігації, якщо відомо, що її майбутня вартість склала 1546.88 тис. грн.

Розв'язання.

Для розв'язання такої задачі необхідно використовувати апарат підбору параметра пакета EXCEL, що викликається командою меню Сервис Þ Подбор параметра.

Нехай в клітинки А1:А6 введений план нарахування відсотків. В клітинку B1 запишемо формулу =БЗРАСПИС(B2, А1:А6). Так як клітинка B2 порожня, то в B1 буде нульове значення. Встановивши курсор в клітинку B1, вибираємо в меню EXCEL команду Сервис Þ Подбор параметра і заповнюємо діалогове вікно в такий спосіб:

У результаті в клітинці В2 з'явиться значення номіналу облігації – 500 тис. грн.

Завдання для розрахунків

1. Обчисліть майбутню вартість облігації номіналом 300 тис. грн., випущеної на 5 років, якщо передбачений такий порядок нарахування відсотків: у перші два роки – 13.5 % річних, у наступні два роки – 15 % і в останній рік – 20 % річних.
Відповідь: 613.32 тис. грн.

2. Очікується, що майбутня вартість інвестиції розміром 1500 тис. грн. до кінця 4-го року складе 3000 тис. грн. При цьому за перший рік прибутковість складе 15 %, за другий – 17 %, за четвертий – 23 %. Обчисліть прибутковість інвестиції за третій рік. Використовуйте апарат Подбор параметра.
Відповідь: 20.85 %

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: