Обратная матрица. Матричные уравнения.

I. Контрольные вопросы.

1. Какая матрица называется обратной по отношению к матрице .

2. Свойства обратных матриц.

3. Какая матрица имеет обратную?

4. Формула для вычисления .

5. Запишите решение для матричных уравнений вида: .

Примеры решения задач

Пример 1. Для матрицы  найти обратную .

Решение. Метод присоединенной матрицы. Найдем определитель матрицы . Транспонируем матрицу А.  .

Составим присоединенную матрицу из алгебраических дополнений к элементам транспонированной. Например,  и так далее. Тогда  обратная матрице вычисляется по такой формуле: .

Пример 2. Решить матричное уравнение, считая все матрицы, участвующие в преобразованиях, невырожденными. .

Решение. Воспользуемся свойствами транспонированной и обратной матриц: Вынесем матрицу  за скобки и умножим уравнение слева на матрицу . . Таким образом, решением матричного уравнения является матрица .

II. Задания.

1. При каких значениях  матрица  не имеет обратной

2. Найти

3. Решить матричные уравнения

4. Вычислить значение  при

5. Решить систему матричных уравнений

6. Решить матричные уравнения

 

Тема 4

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

I. Контрольные вопросы.

1. Когда система линейных уравнений называется Крамеровской?

2. Запишите формулы для нахождения решения такой системы.

3. Запишите в развернутом виде матричное уравнение:

4. Что такое «прямой» ход метода Гаусса?

Примеры решения задач

Пример 1. Решить систему линейных уравнений .

1. Методом Гаусса

2. С помощью обратной матрицы

3. Методом Крамера

Решение.

1. Методом Гаусса образуем расширенную матрицу и приведем её к треугольному виду:

Получим систему:

Итак, решением системы уравнений является тройка чисел

2. С помощью обратной матрицы. Представим систему уравнений в виде матричного уравнения

Решение матричного уравнения имеет вид . Вычислим определитель матрицы А

 и найдем обратную . Перемножив  получим значения неизвестных

3. Методом Крамера. Найдем главный определитель и определители матрицы коэффициентов, у которой один из столбцов заменен на столбец свободных членов. Неизвестные находятся по формуле Крамера:

 

II. Задания.

1. Решите по формулам Крамера и методом обратной матрицы,

 

2. Решите методом Гаусса.

Тема 5

Ранг матрицы СЛАУ.

I. Контрольные вопросы.

1. Какая система линейных уравнений называется совместной?

2. При каких условиях система  линейных уравнений с  неизвестными совместна?

3. Теорема Кронекера-Капелли.

4. Когда система n-линейных уравнений имеет единственное решение?

5. Как определить число базисных и свободных переменных?

6. Как найти частное решение неоднородной системы линейных уравнений?

7. Как найти все множество решений неоднородной системы линейных уравнений?

8. Что такое ранг матрицы?

9. При каких преобразованиях матрицы не меняется ее ранг?

Примеры решения задач

Пример 1. Найти ранг матрицы системы и решить систему

.

Решение. Найдем ранг расширенной матрицы системы

Минор в квадратных скобках, составленный из коэффициентов при переменных , отличны от нуля. Ранг матрицы коэффициентов равен трем, ранг расширенной матрицы – также трем. Следовательно, по теореме Кронекера – Капели система имеет решения. Положим переменные  основными, переменные  - свободными. Тогда получим систему

Решая её получим .

II. Задания.

1. Найти ранг матрицы

2. Что можно сказать о решении СЛАУ если:

3. Исследовать систему на совместность и решить ее, если она совместна.

Тема 6

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: