Однородная система линейных уравнений. ФСР.

I. Контрольные вопросы.

1. Какая система линейных уравнений является однородной?

2. Что называется ФСР однородной системы линейных уравнений.

3. Может ли однородная система линейных уравнений не иметь фундаментальных решений?

4. Как определить число фундаментальных решений?

5. Как построить ФСР?

v Для нахождения ФСР:

а)  основных (базисных) переменных (с отличным от нуля базисным минором) выражают через не основные (свободные) переменные;

б) поочередно заменяют  не основных переменных элементами каждой строки невырожденной квадратной матрицы порядка , например, единичный . Общее решение имеет вид:

.

Примеры решения задач

Пример 1. Найти какие-либо фундаментальные решения системы уравнений: .

Решение. Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных

.

Приведем её у диагональному виду: . Угловой минор 3-го порядка не равен нулю. Ранг матрицы равен трем. Пусть  являются основными,  - свободными. Тогда из полученной матрицы следует решение системы в виде:

Это решение удобно записать в следующем виде:

Общее решение однородной системы уравнений теперь можно записать так:

Два столбца элементов  есть по определению фундаментальные решения системы.

II. Задания.

Тема 7

Линейная зависимость векторов.

Базис и размерность линейного пространства.

I. Контрольные вопросы.

1. Что такое вектор?

v  упорядоченный набор чисел.

2. Операции с векторами.

3. Векторное (линейное) пространство?

v Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число с аксиомами.

4. Запишите линейную комбинацию вектора

5. Линейная зависимость векторов.

6. Размерность пространства?

v (максимальное число линейно независимых векторов в нем)

7. Базис –мерного пространства?

(совокупность  линейно независимых векторов)

8. Разложение вектора  по базису ?

v

9. Матрица перехода?

v

.

Примеры решения задач

Пример 1. Являются ли векторы  линейно зависимыми? Если да, найти связь между векторами.

Решение. Составим матрицу из координат векторов, расположив, например, их в виде строк, и найдем её ранг .

Из трех строк только две являются линейно независимыми. Следовательно, векторы линейно зависимы. Найдем связь между ними. Запишем линейную комбинацию .

Решим систему по методу Гаусса . Отсюда следует  связь между векторами можно записать, положив, например, .

Пример 2. Пусть в некотором старом базисе заданы векторы . Показать, что векторы  составляют новый базис. Разложить вектор  по этому базису.

Решение. Векторы  могут составить базис в трехмерном векторном пространстве, если они линейно независимы. Составить из координат этих векторов матрицу и найдя её ранг, убедимся, что он равен 3. Тогда векторы  линейно независимы. Пусть вектор  имеет координаты  в новом базисе, составленном из векторов . Тогда. В матричной форме . Найдем переменные по методу Гаусса, используя расширенную матрицу . Отсюда .

II. Задания.

1. Найти линейную комбинацию векторов.

2. Выяснить вопрос о линейной зависимости векторов:

v

1) Составить нулевую линейную комбинацию из заданных векторов с неизвестным коэффициентом .

2) Записать покоординатные равенства в систему.

3) Решить систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов.

4) Определить число ненулевых угловых коэффициентов в ступенчатой матрице, оно определяет число линейно независимых векторов в системе.

3. Является ли линейным пространством заданное множество, если множество – это множество всех векторов 3-х мерного пространства, координаты которых – целые числа, сложение векторов и умножение на число определены общепринятым способом: т.е. если

v

a) Выбрать два элемента  заданного множества, проверить выполнение закона коммутативности сложения

b)  Выбрать три элемента  множества проверить выполнение закона ассоциативности сложения

c) Найти в этом множестве нулевой элемент т.е.

В этом множестве таким элементом является вектор

d) Выбрать элемент  множества и найти противоположный ему элемент т.е  такой, что .

e) Проверить для числа 1 выполнение равенства

f) Для чисел  проверить выполнение равенства

g) Проверить для чисел  выполнение равенства

h) Для двух элементов множества  проверить выполнение равенства

4. Исследовать на линейную зависимость систему векторов

v

a) Составить линейную комбинацию из заданных векторов с неизвестными коэффициентами

b) Приравнять линейную комбинацию нулевому вектору

c) Записать координатные равенства в систему

d) Решить систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов

e) Число ненулевых диагональных элементов в ступенчатой матрице определяет число линейно независимых векторов в системе.

В ступенчатой матрице 2 ненулевых диагональных элемента  система из трех векторов линейно зависимых.

5. Исследовать на линейную зависимость систему векторов

6. Разложить вектор  по базису

7. Найти связь координат одного и того же вектора в различных базисах

8. Вектор  задан в базисе . Найти его координаты в базисе

Тема 8

Линейные операторы.

I. Контрольные вопросы.

1. Определение оператора.

Пусть каждому вектору  ставится в соответствие по определенному правилу вектор . Это правило называется отображением, или преобразованием, или оператором. Обозначение:

2. Какой оператор является линейным?

v

3. Запишите преобразование матрицы линейного оператора при переходе от старого базиса к новому

v - матрица перехода от старого к новому.

4. Собственные векторы и собственное значение линейного оператора.

v Вектор  называется собственным вектором оператора, если существует такое число , что .

v Число  называется собственным значением оператора , соответствующим собственному вектору . Величина  есть корень характеристического уравнения .

II. Задания.

1. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.

2. Матрица  линейного оператора задана в старом базисе. Какой вид имеет матрица оператора в новом базисе?

Тема 9

Квадратичные формы.

I. Контрольные вопросы.

1. Определение квадратичной формы

v Выражение вида  называется квадратичной формой переменных

2. Запишите квадратичную форму в матричном виде

v

3. В каком случае квадратичная форма называется канонической?

4. Критерии оценки знакоопределенности квадратичной формы

Название формы