Определение закона распределения

 

4. После предположительного установления вида закона распределения можно приступить к оценке его параметров. Рассмотрим некоторые методы оценки параметров различных законов распределения времени безотказной работы горного оборудования и машин.

Экспоненциальный закон.

Прежде всего, следует отметить, что экспоненциальное распределение характерно для внезапных отказов элементов и систем в целом.

Функция плотности вероятности времени безотказной работы имеет вид:

 

Оценка параметра производится для планов [N , М, Т] ГОСТ 27.503 - 81 по формуле

для планов [N , М, r] - по формуле

где r - суммарное число отказов; N - количество образцов, взя­тых под наблюдение; t_r - наработка до получения r отказов.

Нормальное распределение. Нормальный закон наи­более часто используется для оценки надежности изделий при наличии постепенных отказов. Плотность вероятности нормаль­ного закона задается соотношением:

где Т_o - средняя наработка до отказа; σ - стандартное отклоне­ние.

Оценка параметров Т и σ для всех планов испытаний производится по формулам:

где t_i - моменты отказов оборудования или машины.

Логарифмический закон. Функция плотности вероят­ности этого закона имеет вид:

Оценка параметров a₁ и σ₁ для всех планов испытаний производится по формулам:

Логарифмически нормальный закон хорошо описывает период износовых отказов.

Закон распределения Вейбулла характерен для комбинированных случаев совместного действия усталостных и износных отказов.

Функция плотности вероятностей этого закона имеет вид:

 

 

Оценка параметров λ и b производится по формулам:

 

5. На этом этапе осуществляется проверка допустимости предполагаемого закона распределения времени безотказной работы на основании критериев согласия. Наиболее употребительными из них являются критерий Пирсона (или критерий X² — хи-квадрат) (при n > 100) или критерий Колмогорова.

Определение соответствия теоретического распределения эм­пирическим данным по критерию X² производится следующим образом:

1) по предлагаемому виду теоретического распределения и по эмпирическим данным вычисляют величину Х₀² по формуле:

где n_i — эмпирические частоты, число попаданий эмпирических данных в i-й интервал времени; m_i — теоретические частоты; S — общее число интервалов времени;

2) по таблице распределения случайной величины X² опреде­ляют вероятность того, что случайная величина X² принимает значения, большие, чем Х₀², т. е. b_ср (X²≥Х₀²) = Р; если

Р > 0,1, то закон принимается. Критерий согласия Колмогорова опреде­ляется по формуле

 

где D_max - наибольшее отклонение теоретической кривой рас­пределения от эмпирической по модулю; n - общее число опыт­ных точек.

6. Установив закон распределения и его параметры, можно определить количественные показатели надежности.

При изучении надежности горных машин и комплексов наи­более часто применяются следующие законы распределения времени безотказной работы и времени восстановления: экспо­ненциальный, нормальный, Вейбулла, логарифмически нор­мальный.

В табл. 5.4 приведены в соответствии с ГОСТ 27.503-81 выражения для оценки количественных характеристик надеж­ности горного оборудования при указанных выше законах распределения безотказной работы.

Любые значения показателей надежности, вычисленные на основе ограниченного числа наблюдений, всегда содержат эле­мент случайности, поэтому необходимо определить границы их возможной погрешности. Для этого в математической стати­стике используется метод определения доверительных интерва­лов. Доверительным называется интервал, который с доста­точной для нас вероятностью покрывает оцениваемое значение параметра распределения.

Доверительные границы можно определить точно, если из­вестен закон распределения случайной величины. Так, при рас­пределении наработки на отказ по экспоненциальному закону

 

t_max = δ₁T_o; t_min = δ₂T_o

 

где δ₁ и δ₂ - коэффициенты точности, которые выбираются по таблицам в зависимости от доверительной вероятности β и количества наблюдений n.

Для восстановления машин, у которых вероятно многократ­ное появление отказов, наработка на отказ — случайное собы­тие. В этом случае отказавшие элементы заменяют на исправ­ные и работоспособность машины восстанавливается, т. е. на­блюдается поток отказов. Поток отказов характеризуется сле­дующими величинами: средним числом отказов r_ср(t), средней наработкой машины на отказ Т_cр и параметром потока отка­зов ω(t):

 

 

Пример. В течение нескольких сезонов добычи полезных ископаемых про­водилось обследование технологических машин горного преприятия.

 

Таблица 5.4

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться: