СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Методические указания и контрольные задания

для студентов заочной формы обучения

специальностей 290300, 291000, 290800, 290700

Красноярск

2010

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

При изучении курса «Сопротивление материалов» студент-заочник знакомится с существующими методами расчета элементов сооружений и машин на прочность, жёсткость и устойчивость.

Основным документом, определяющим необходимый объём знаний студентов, является программа курса, составленная на основе государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.

Процесс овладения студентами знаниями и навыками складывается из самостоятельного изучения соответствующих разделов курса по учебникам, и самостоятельного выполнения контрольных работ. Каждый студент-заочник обязан отработать цикл лабораторных и практических занятий, защитить контрольные работы и получить допуск к экзамену.

Настоящие методические указания по основным темам программы курса сопротивление материалов составлены применительно к учебному пособию [1, 2], подготовленному на кафедре.

ЛИТЕРАТУРА

О с н о в н а я

1. Богомаз И.В., Мартынова Т.П., Москвичёв В.В. Сопротивление материалов: Ч. 1 / Учебное пособие. - М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2008. - 176 с.

2. Богомаз И.В., Мартынова Т.П., Москвичёв В.В. Сопротивление материалов: Ч. 2 / Учебное пособие. - М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2008. - 192 с.

3. Сопротивление материалов. / Смирнов А.Ф. и др. - М.: Высш. шк., 1975. – 480 с.

Д о п о л н и т е л ь н а я

4. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. - М.: Высш. шк., 1995. – 560 с., ил.

5. Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. - 3-е изд., перераб. и доп. – Киев: «Издательство Дельта», 2008. – 816 с.

6. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. - М.: Высш. шк., 1975. – 654 с.

7. Справочные материалы к лабораторно-практическим занятиям по сопротивлению материалов. Сост.: Мартынова Т.П. / КИСИ. – Красноярск., 1995. – 36 с.

Программа курса «Сопротивление материалов»

Тема 1. Основные понятия

Л и т е р а т у р а : (1, гл. 1 и 2); (3, гл. 1).

Понятия прочности, жесткости и устойчивости конструкций. Основные допущения (гипотезы) курса СМ. Основные объекты, изучаемые в курсе СМ: брус, пластина, оболочка, массив. Внешние силы и их классификация. Внутренние силы и метод их изучения (метод сечений). Внутренние усилия в поперечном сечении бруса: продольные и поперечные силы, крутящие и изгибающие моменты. Виды простейших нагружений (деформаций) бруса: растяжение и сжатие, сдвиг, кручение, изгиб. Общий порядок построения эпюр внутренних усилий.

Напряжение полное, нормальное и касательное. Интегральные зависимости между внутренними усилиями и напряжениями. Деформации и перемещения. Деформации линейные и угловые (сдвига), абсолютные и относительные, упругие и пластические (остаточные).

Вопросы для самопроверки

1. Что называется брусом и осью бруса? 2. Что собой представляют нагрузки (внешние силы)? 3. Что собой представляют внутренние силы? Как они определяются? 4. Из каких операций складывается метод сечений? 5. Какие внутренние усилия могут возникать в общем случае нагружения? 6. Что называется эпюрой внутреннего усилия и для чего она строится? 7. Что называется напряжением в точке? Единицы измерения напряжения. 8. Какое напряжение называется полным, нормальным, касательным? 9. Что называется деформацией? 10. Какие деформации называются упругими? Остаточными? Абсолютными? Относительными?

Тема 2. Растяжение и сжатие

Л и т е р а т у р а : (1, гл. 3); (3, гл. 2).

Центральное растяжение сжатие. Продольные силы и их эпюры. Напряжения в поперечных сечениях бруса. Напряжения в наклонных сечениях. Закон Гука. Продольные и поперечные деформации бруса. Модуль упругости Е и коэффициент Пуассона v. Удлинение (укорочение) бруса. Жёсткость при растяжении и сжатии. Перемещения поперечных сечений бруса. Условие жёсткости. Потенциальная энергия упругой деформации.

Вопросы для самопроверки

1. Какое нагружение называется центральным растяжением? 2. Как строится эпюра продольных сил? 3. Записать формулу нормальных напряжений при растяжении. 4. В чём сущность гипотезы Бернулли? 5. Записать и сформулировать закон Гука. 6. Что называется модулем упругости? 7. Написать формулу для абсолютного удлинения. 8. Что такое относительное удлинение? 9. Что называется коэффициентом Пуассона? 10. Сформулировать закон парности касательных напряжений. 11. Записать условие жёсткости при растяжении.

При растяжении и сжатии

Л и т е р а т у р а : (1, гл. 4); (3, гл. 2).

Опытное изучение механических свойств материалов. Диаграммы растяжения и сжатия пластичных материалов ( , ). Основные механические характеристики материала: предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести и условный предел прочности (временное сопротивление). Особенности деформирования и разрушения пластичных материалов. Разгрузка и повторное нагружение. Наклёп. Характеристики пластичности материала. Понятие об истинной диаграмме.

Диаграммы растяжения и сжатия хрупких материалов. Основные механические характеристики хрупких материалов. Особенности разрушения хрупких материалов при растяжении и сжатии.

Влияние различных факторов на механические характеристики материалов. Понятие о ползучести и релаксации.

Вопросы для самопроверки

1. Как строится диаграмма растяжения? 2. Перечислите основные характеристики прочности. 3. Что называется пределом прочности? Пределом упругости? Пределом текучести? 4. Перечислите характеристики упругости и пластичности. 5. В чём состоит различие между пластичными и хрупкими материалами? 6. Что такое наклёп?

Вопросы для самопроверки

1. Что называется прочностью? 2. Основные задачи расчётов на прочность. 3. Какие напряжения называются опасными? допустимыми? 4. Что такое коэффициент запаса прочности и от чего он зависит? 5. Как формулируется условие прочности по допускаемым напряжениям? 6. Какой метод применяется для расчёта на прочность строительных конструкций? 7. Какое состояние конструкций называют предельным? 8. Две группы предельных состояний? 9. Что такое СНиП? 10. Какие нагрузки называют нормативными? расчётными? 11. От каких нагрузок ведётся расчёт на прочность? От каких на жёсткость? 12. Как называются коэффициенты , , ? Что они учитывают? 13. Запишите условие прочности по предельным состояниям при растяжении. 14. Какие типы задач можно решать с помощью этого условия?

Вопросы для самопроверки

1. Что такое статический момент площади? 2. По каким формулам находят координаты центра тяжести плоской фигуры? 3. Какие оси называются центральными? 4. Что называется осевым, полярным и центробежным моментами инерции? Какой из них может быть отрицательным? 5. Чему равны моменты инерции для прямоугольного и круглого сечений относительно центральных осей? 6. Как изменяются моменты инерции при параллельном переносе осей? 7. Какие оси называются главными? Главными центральными? 8. Для каких фигур можно без вычислений установить положение главных центральных осей? 9. По какой формуле определяются главные моменты инерции? Угол наклона этих осей?

Тема 6. Прямой изгиб бруса

Литература: (1, гл. 7); (3, гл. 8, 9, 10).

Изгиб прямого бруса. Виды изгиба. Опоры и опорные реакции. Внутренние усилия в поперечных сечениях бруса при изгибе: изгибающие моменты и поперечные силы. Дифференциальные зависимости между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределённой нагрузки. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

Чистый изгиб. Основные допущения. Формула и эпюра нормальных напряжений. Осевой момент сопротивления сечения. Условие прочности по нормальным напряжениям и расчёты на прочность. Рациональное сечение балок. Поперечный изгиб. Формула Журавского для касательных напряжений. Расчёты на прочность при поперечном изгибе.

Определение перемещений (прогибов и углов поворота) при изгибе. Дифференциальное уравнение оси изогнутого бруса и его интегрирование. Граничные условия. Метод начальных параметров. Расчёты балок на жёсткость.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое чистый изгиб? Поперечный изгиб? 2. Какие типы опор используют для закрепления балок? 3. Каков порядок построения эпюр изгибающих моментом М и поперечных сил Q? 4. Какая зависимость существует между величинами М и Q? 5. Как находят максимальный изгибающий момент? 6. В чём сущность гипотезы плоских сечений? 7. Какая ось называется нейтральной? 8. По каким формулам определяются нормальные и касательные напряжения? 9. Что называется нормальным напряжением? Касательным напряжением? 10. Как изменяются по высоте сечения нормальные напряжения? Касательные напряжения? 11. Что называется моментом сопротивления при изгибе? 12. Как записывается дифференциальное уравнение изогнутой оси балки? 13. Каков порядок определения прогиба методом начальных параметров? 14. Что такое начальные параметры? 15. Условие жёсткости при изгибе.

Тема 7. Сдвиг

Литература: (1, гл. 8); (3, гл. 4).

Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге. Напряжение и деформация при сдвиге. Модуль сдвига G. Понятие о срезе и смятии. Понятие о расчёте на прочность заклёпочных соединений.

Вопросы для самопроверки

1. Какой вид нагружения называется сдвигом? 2. Изобразите элемент в состоянии чистого сдвига. Как изменятся напряжения, если элемент повернуть на ? 3. Что называется абсолютным и относительным сдвигом? 4. Как формируется закон Гука при сдвиге? 5. Какие разрушения возможны для заклепочного соединения? 6. Записать условие прочности на срез и смятие.

Тема 8. Кручение

Литература: (1, гл. 8); (3, гл. 7).

Кручение бруса круглого поперечного сечения. Построение эпюр крутящих моментов. Напряжения в поперечных сечениях вала. Полярный момент сопротивления поперечного сечения. Расчёты вала на прочность и жёсткость. Анализ напряженного состояния и разрушения при кручении.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое кручение? 2. Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого стержня при кручении? 3. Как находят их величину в произвольной точке поперечного сечения? 4. Что называется моментом сопротивления при кручении? 5. Чему равен момент сопротивления кольцевого сечения? Почему нельзя сказать, что он равен разности моментов сопротивления наружного и внутреннего кругов? 6. Как находят угол закручивания? 7. Как производят расчёт вала на прочность? На жёсткость? 8. Возникают ли при кручении нормальные напряжения?

Вопросы для самопроверки

1. Какие виды напряжённого состояния в точке вы знаете? 2. Какие площадки называются главными? 3. Какие напряжения называются главными и какие значения они принимают? 4. Как определяется величина главных напряжений и положение главных площадок? 5. Какие теории прочности вы знаете?

Вопросы для самопроверки

1. Какой случай изгиба называется косым изгибом? 2. Возможен ли косой изгиб при частном изгибе? 3. В каких точках поперечного сечения возникают наибольшие напряжения при косом изгибе? 4. Как находят положение нейтральной линии при косом изгибе? 5. Как пройдёт нейтральная линия, если плоскость действия сил совпадает с диагональной плоскостью балки прямоугольного сечения? 6. Как определяют деформации при косом изгибе? 7. Может ли балка круглого поперечного сечения испытывать косой изгиб? 8. Как находят напряжения в произвольной точке поперечного сечения при внецентренном растяжении или сжатии? 9. Чему равно напряжение в центре тяжести поперечного сечения при внецентренном растяжении или сжатии. 10. Какое положение занимает нейтральная линия, когда продольная сила приложена к вершине ядра сечения? 11. Какие напряжения возникают в поперечном сечении стержня при изгибе с кручением? 12. В каких точках круглого поперечного сечения возникают наибольшие напряжения при изгибе с кручением? 13. По каким теориям проверяют прочность стержня из пластичного материала? 14. Какой принцип лежит в основе расчётов на сложное сопротивление? 15. В виде сочетания каких простых нагружений представляют косой изгиб? Внецентренное сжатие?

Вопросы для самопроверки

1. В чём заключается явление потери устойчивости продольно сжатого стержня? 2. Какая сила называется критической? 3. По какой формуле находят критическую силу? 4. Как изменится критическая сила для стойки круглого сечения при уменьшении диаметра в два раза? 5. Как изменится критическая сила при увеличении длины стойки в два раза? 6. Пределы применимости формулы Эйлера? 7. Что называется гибкостью стержня? 8. Как учитывается влияние способа закрепления концов стержня? 9. Чему равен коэффициент длины для различных случаев закрепления концов? 10. Как находят критическое напряжение для стержней малой и средней гибкости? 11. Какой вид имеет график критических напряжений? 12. Как производят проверку стержней на устойчивость при помощи коэффициента j ? 13. Как подбирают сечение стержня при расчёте на устойчивость?

Тема 12. Энергетический метод определения перемещений

Литература: (2, гл. 2); (3, гл. 9).

Формула Максвелла-Мора для плоских стержневых систем. Определение перемещений методом Мора. Способ Верещагина.

Вопросы для самопроверки

1. Какие два состояния системы нужно рассматривать при вычислении перемещений по формуле Мора? 2. Как строится единичное состояние для определения линейного перемещения? углового? 3. Как устанавливается истинное направление перемещения? 4. В чём сущность способа Верещагина?

Вопросы для самопроверки

1. Какие связи называются необходимыми? их количество? 2. Какие связи называются «лишними»? 3. Какие системы называются статически неопределимыми? статически определимыми? 4. В чём заключается сущность метода сил? 5. Что называется основной системой? Эквивалентной? 6. Что означают величины и ? 7. Сущность канонического уравнения? 8. Какими достоинствами обладают статически неопределимые системы?

Вопросы для самопроверки

1. Как вычисляются напряжения в деталях при равноускоренном поступательном движении? 2. Что называется динамическим коэффициентом? 3. Чему равен динамический коэффициент при ударе? 4. Как изменится напряжение при продольном ударе в случае увеличения площади поперечного сечения в два раза? 5. Зависит ли напряжение при изгибающем ударе от материала балки? 6. Какие колебания называют свободными? вынужденными? 7. Какие колебания называют механическими? 8. Как вычисляют напряжения при колебаниях? 9. Какое явление называется резонансом? 10. В чём заключается «отстройка» от резонанса?

Вопросы для самопроверки

1. Что называется усталостью материала? выносливостью? 2. Какие бывают циклы напряжений? 3. Что называется пределом выносливости? 4. Как находят предел выносливости? 5. Какой цикл напряжений называется предельным? 6. Какие факторы влияют на усталостную прочность материала?

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

ЗАДАЧА 1. Осевое растяжение (сжатие)*

Для бруса прямоугольного сечения (рис. 1) определить несущую способность и вычислить перемещение свободного конца бруса. Исходные данные взять из табл. 3.

П о р я д о к р а с ч ё т а

1. Вычертить схему бруса и его поперечное сечение.

2. Определить опорную реакцию.

3. Составить для каждого участка бруса аналитическое выражение продольной силы N.

4. Построить эпюру N и выявить опасное сечение в растянутой и сжатой части бруса.

5. Определить из условия прочности на растяжение нагрузку q_t, приняв расчётное сопротивление материала бруса растяжению R_t=80 МПа, коэффициент условий работы .

6. Определить из условия прочности на сжатие нагрузку q_c, приняв расчётное сопротивление материала бруса сжатию R_c=120 МПа, коэффициент условий работы .

7. Выбрать одно из найденных значений нагрузки q_t и q_c в качестве несущей способности бруса.

8. Вычислить перемещение свободного конца бруса. Модуль продольной упругости материала бруса принять МПа.

Таблица 3

Номер строки	Схема бруса, рис.1	, м	b	h	Номер строки	Схема бруса, рис.1	, м	b	h
Номер строки	Схема бруса, рис.1	, м	см		Номер строки	Схема бруса, рис.1	, м	см
1	1	0,5	10	15	6	6	0,7	14	22
2	2	0,8	12	14	7	7	1,2	17	20
3	3	1,0	15	16	8	8	0,6	16	18
4	4	0,9	18	14	9	9	0,5	22	24
5	5	0,6	20	10	0	0	0,9	15	22
	е	д	г	е		е	д	г	е

1	6
2	7
3	8

4	9
5	0

Рис. 1

Пример 1. Брус прямоугольного поперечного сечения ( ), один конец которого жёстко заделан, нагружен равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью , и силой (рис. 2).

Т р е б у е т с я:

1. Определить реакцию опоры.

2. Построить эпюру продольных сил .

3. Определить несущую способность бруса q.

4. Вычислить перемещение свободного конца бруса.

Д а н о: м; см; см; расчётное сопротивление материала растяжению R_t=80 МПа, сжатию –R_c=120МПа. Коэффициент условий работы . Модуль упругости материала МПа.

Решение

1. Определение реакции жёсткой заделки. Направляем опорную реакцию Н вправо и составляем уравнение равновесия:

, , .

2. Построение эпюры продольных сил N . Для данной схемы нагружения брус имеет три участка. Проведём произвольные сечения z на каждом участке. Рассматривая отсечённые части в равновесии (рис. 2), запишем аналитические выражения для продольных сил.

I участок ( ),

, , .

На этом участке продольная сила изменяется по линейному закону:

- при , ;

- при , (сила растягивающая).

II участок ( ),

, , .

На втором участке продольная сила постоянна и отрицательна.

III участок ( ),

На этом участке продольная сила меняется по линейному закону: при , (сила сжимающая),

- при , (сила растягивающая).

По найденным значениям продольных сил на отдельных участках строим эпюру (рис. 2, в).

Положительные значения продольных сил откладываются вверх от базисной линии, отрицательные – вниз (рис. 2).

3. Определение несущей способности бруса.

Несущую способность бруса найдём из условия прочности для опасного сечения, т.е. сечения, в котором нормальные напряжения достигают максимального по абсолютной величине значения:

где А – площадь поперечного сечения, постоянная по всей длине бруса. Поэтому опасное сечение установим по эпюре N: в сжатой части бруса – это любое сечение на втором участке , в растянутой – сечение возле заделки .

Найдём нагрузку из условия прочности на сжатие:

, откуда

Н/м МН/м.

Найдём нагрузку из условия прочности на растяжение:

, откуда

Н/м МН/м.

Из двух значений и в качестве несущей способности бруса выбираем наименьшее, т.е. МН/м.

4. Вычисление перемещения свободного конца бруса.

Перемещение свободного конца бруса найдём как сумму абсолютных деформаций всех участков, для вычисления которых воспользуемся законом Гука:

, ,

где i – номер участка, – аналитическое выражение продольной силы на этом участке.

;

Перемещение свободного конца бруса будет равно:

;

м мм.

Свободный конец бруса переместится вправо на 0,09 мм, т.е. брус получит деформацию растяжения (удлинение)

Ответ: несущая способность бруса МН/м; перемещение свободного конца бруса мм.

ЗАДАЧА 2. Осевое растяжение (сжатие) * ступенчатого бруса

Для ступенчатого бруса (рис. 3), при заданных нормативных нагрузках, требуется подобрать площади поперечных сечений каждой ступени. Исходные данные взять из табл. 4.

П о р я д о к р а с ч ё т а

1. Вычислить расчётные значения нагрузок. Принять коэффициенты надёжности по нагрузке:

– постоянной (F): ;

– временной (q): .

2. Вычертить расчётную схему бруса и указать на схеме размеры и нагрузки в числах.

3. Определить опорную реакцию.

4. Составить для каждого участка бруса аналитическое выражение продольной системы N и построить её эпюру.

5. Построить эпюру нормальных напряжений , выразить их через площадь сечения А. Выявить опасное сечение бруса.

6. Определить из условия прочности площадь сечения А, приняв расчётное сопротивление материала растяжению и сжатию МПа, коэффициент условий работы .

Таблица 4

Номер строки	Схема бруса по рис. 3	l, м	q_n, кН/м	F_n, кН
1	1	0,5	24	40
2	2	0,6	30	45
3	3	0,4	32	60
4	4	0,8	50	50
5	5	0,7	38	64
6	6	0,9	40	56
7	7	0,5	28	48
8	8	0,8	42	62
9	9	0,4	34	46
0	0	0,7	52	42

1	6
2	7
3	8
4	9
5	0

Рис. 3

Пример 2 . Ступенчатый брус (рис. 4, а) нагружен постоянной силой F и временной равномерно распределённой нагрузкой q.

Т р е б у е т с я:

1. Определить расчётные значения нагрузок.

2. Определить опорную реакцию.

3. Построить эпюру продольных сил.

4. Построить эпюру нормальных напряжений.

5. Определить площади поперечных сечений каждой ступени.

Д а н о: м; нормативные нагрузки и соответствующие коэффициенты надёжности по нагрузке: кН, ; кН/м, . Расчётное сопротивление материала на растяжение и сжатие МПа, коэффициент условий работы .

Решение

1. Определение расчётных значений нагрузок:

кН;

кН/м.

2. Определение реакции жёсткой заделки:

, , кН.

3. Построение эпюры продольных сил.

Брус имеет три участка. На каждом из них проводим произвольное сечение и записываем аналитические выражения сил .

I участок ( ),

кН.

Сила постоянна и отрицательна.

II участок ( ),

- при , кН,

- при , кН.

Сила изменяется по линейному закону.

III участок ( ),

- при , кН,

- при , кН.

Сила изменяется по линейному закону.

По найденным значениям продольных сил строим эпюру (рис. 4, б).

4. Построение эпюры нормальных напряжений. Нормальные напряжения в поперечных сечениях определим по формуле , где – продольная сила в сечении; – площадь сечения.

I участок ( ), ;

на этом участке напряжение постоянно и отрицательно;

II участок ( ), ;

- при , ;

- при , ,

на этом участке напряжение изменяется по линейному закону.

III участок ( ), ;

- при , ;

- при , .

По найденным значениям напряжений на определённых участках строим эпюру (рис. 4, в). По эпюре выявляем опасное сечение, которое находится на границе I и II участков:

5. Определение площади поперечных сечений бруса. Запишем условие прочности:

где – значение продольной силы, найденное от расчётных нагрузок.

Условие прочности для опасного сечения имеет вид:

, отсюда м² см².

Ответ: площади сечений ступеней бруса на участках равны: , , .

ЗАДАЧА 3. Стержневая система*

Абсолютно жёсткий брус ВС (рис. 5) поддерживается тремя стержнями и загружен постоянной нагрузкой и временной . Требуется подобрать размеры поперечных сечений стержней, если первый стержень имеет квадратное сечение; второй – трубчатое; третий состоит из двух равнополочных уголков (рис. 6). Исходные данные взять из табл. 5.

Рис. 6

П о р я д о к р а с ч ё т а

1. Вычислить расчётные значения нагрузок. Принять коэффициент надёжности по нагрузке: для постоянной (F) ; временной (q) .

2. Вычертить расчётную схему конструкции и указать на ней размеры и нагрузки в числах.

3. Определить усилия в стержнях.

4. Определить из условия прочности площади поперечных сечений каждого стержня.

Таблица 5

Номер строки	Схема бруса, рис. 5	Угол	, м	, м		, кН	, кН/м
1	1	30	0,6	0,8		10	36	0,6
2	2	35	0,7	0,9		50	30	0,65
3	3	40	0,8	0,6		36	50	0,7
4	4	45	0,6	1,2		30	40	0,75
5	5	50	0,5	0,7		20	28	0,8
6	6	55	0,4	0,8		40	25	0,85
7	7	60	0,8	1,5		45	34	0,5
8	8	65	0,9	0,6		56	46	0,4
9	9	70	1,0	1,3		60	42	0,45
0	0	75	1,2	1,1		68	32	0,35
	е	а	б	г		д	е	в
1)					6)
2)					7)
3)					8)
4)					9)

Рис. 6

Пример 3 . Абсолютно жёсткий брус ВС поддерживается тремя стержнями и загружен заданными нормативными нагрузками (рис. 7, а).

Т р е б у е т с я:

1. Вычислить расчётные значения нагрузок.

2. Определить усилия в стержнях.

3. Определить из условия прочности площади поперечных сечений, если первый стержень имеет квадратное сечение; второй – трубчатое; третий состоит из двух равнополочных уголков.

Д а н о: м; м; ; ; нормативные нагрузки и соответствующие коэффициенты надёжности по нагрузке: кН, ; кН/м, .

Рис. 7

Решение

1. Вычисление расчётных значений нагрузок:

кН;

кН/м.

2. Определение усилий в стержнях.

Мысленно рассекаем стержни и заменяем действие отброшенных частей продольными силами , , (рис. 7, б). Запишем уравнение равновесия и определим усилия в стержнях.

, ,

кН (стержень растянут);

, ,

кН (стержень сжат);

, ,

кН (стержень сжат).

Проверка: , ;

подставим в уравнение найденные значения усилий:

Усилия найдены верно.

3. Определение площадей поперечных сечений стержней. Условие прочности при растяжении и сжатии:

, откуда площадь: .

Первый стержень должен иметь площадь:

м² см².

Площадь квадрата , откуда сторона квадрата: см см.

Площадь сечения второго стержня:

м² см². Площадь кольца , откуда наружный диаметр: см, тогда см см.

Площадь сечения третьего стержня из двух уголков:

м² см².

Площадь одного уголка: см².

Из сортамента (ГОСТ 8509-86) выбираем уголок № с площадью см².

ЗАДАЧА 4. Геометрические характеристики плоских сечений *

Для заданного поперечного сечения (рис. 8), состоящего из двух фигур, требуется найти положение главных центральных осей и значения главных центральных моментов инерции. Исходные данные взять из табл. 6.

П о р я д о к р а с ч ё т а

1. Геометрические характеристики для двутавра, швеллера и уголка выписать из таблиц сортамента, для полосы – рассчитать по известным (справочным) формулам.

2. Вычертить схему сечения в масштабе (на миллиметровке), на которой указать все оси и все размеры в числах.

3. Найти общую площадь сечения.

4. Определить положение центра тяжести сечения.

5. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей, проходящих центр тяжести сечения.

6. Определить угол наклона главных осей U и V к центральным осям. Вычертить главные центральные оси на заданном сечении.

7. Вычислить моменты инерции относительно главных центральных осей.

8. Проверить правильность вычисления моментов инерции.

Таблица 6

Номер строки	Схема сечения, рис. 8	Швеллер (ГОСТ 8240-89)	Двутавр (ГОСТ 8239-89)	Равнопо- лочный уголок (ГОСТ 8509-86)	Полоса, мм
1	1	14	12
2	2	16	14
3	3	18	16
4	4	20	18
5	5	22	20
6	6	24	22

Продолжение таблицы 6

7	7	27	24
8	8	30	27
9	9	33	30
0	10	36	33
	д	е	е	г	д

1)	6)
2)	7)
3)	8)
4)	9)
5)	10)

Рис. 8

Пример 4 . Поперечное сечение бруса состоит из швеллера № 20 и равнополочного уголка (рис. 9).

Т р е б у е т с я: определить положение главных центральных осей и вычислить главные моменты инерции.

Д а н о: из таблиц сортамента находим:

1. для швеллера № 20 (ГОСТ 8240-89): см², см⁴, см⁴, , координата центра тяжести см;

2. для уголка (ГОСТ 8509-86): см², см⁴, см⁴, координата центра тяжести см.

Решение

1. Найдем положение центра тяжести сечения. В качестве вспомогательных осей выбираем оси , швеллера. Относительно этих осей статические моменты швеллера равны нулю. Статические моменты сечения относительно осей и соответственно равны:

см³;

см³.

Рис. 9

Площадь составного сечения: см².

Координаты центра тяжести составного сечения относительно осей и :

см; см.

Строим точку С с координатами см и см.

Центр тяжести С должен лежать на прямой С₁С₂, что необходимо проверить на рисунке. Через центр тяжести С проводим центральные оси и , параллельные центральным осям швеллера и уголка. Находим расстояния между центральными осями , и собственными осями швеллера , и уголка , :

- для швеллера см, см;

- для уголка см, см.

2. Вычислим осевые и центробежный моменты инерции всего сечения относительно центральных осей и :

см⁴.

3. Находим угол наклона главных центральных осей U и V относительно центральных осей и :

;

, .

Поскольку угол отрицательный, главная центральная ось U откладывается относительно оси по часовой стрелке, а поскольку , ось U является осью, относительно которой момент инерции будет максимальным.

4. Вычисляем главные центральные моменты инерции:

(см⁴);

см⁴; см⁴.

5. Проверка. Должны выполняться следующие условия:

· Главные моменты инерции должны быть экстремальны:

, 2764 > 2483 > 940 > 659.

Если это неравенство не соблюдается, то в решении допущена ошибка.

· Сумма моментов инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных центральных осей должна быть постоянна:

, 2483 + 940 = 2764 + 659, 3423 = 3423.

· Центробежный момент инерции площади сечения относительно главных центральных осей должен равняться нулю:

Относительная ошибка составляет , что допустимо.

Решение

1. Определение расчётных значений нагрузок и расчётного сопротивления материала R :

кН,

кНм,

кН/м,

МПа.

2. Определение реакций жёсткой заделки:

, , ;

, , .

Вычислим реакции от расчётных нагрузок:

кНм;

кН.

Реакции от нормативных нагрузок:

кНм;

кН.

3. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил от расчётных нагрузок.

Разобьём балку на три участка. Запишем аналитические выражения и для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.

I участок (

(линейный закон), - при

; - при

кНм.

Поперечную силу найдём, исследуя дифференциальную зависимость:

кН .

II участок (

(квадратичная парабола), - при

кНм;

-при , кНм.

(линейный закон),

- при , кН,

- при , кН.

III участок (

(квадратичная парабола),

- при , кНм;

(линейный закон),

- при , при кН,

- при , кН.

По найденным значениям и на каждом участке строим эпюры (рис. 13). Опасное сечение балки находится возле заделки, где кНм.

4. Определение размеров поперечных сечений. Запишем условие прочности для опасного сечения по первому предельному состоянию:

откуда расчётный (требуемый) момент сопротивления сечения:

м³ см³.

Найдём размеры сечений для трёх вариантов:

а) Осевой момент инерции и момент сопротивления данного сечения вычисляются по формулам:

, .

Приравняв см³, найдём размер сечения:

см;

тогда площадь данного сечения см², осевой момент сопротивления см³.

б) Для данного сечения ,

Приравняв см³, найдём диаметр:

см.

Площадь сечения см², осевой момент сопротивления см³.

в) Требуемый момент сопротивления одного швеллера:

см³.

Из сортамента (ГОСТ 8240–89) выбираем швеллер № 30, для которого см³, см², см⁴. Для данного профиля , в опасном сечении возникнет перенапряжение, величина которого составит:

следовательно, прочность не будет обеспечена. Окончательно принимаем швеллер № 33, для которого см³, см², см⁴.

5. Вычисление удельных моментов сопротивления полученных сечений:

а) (см),

б) (см),

в) (см).

Наиболее рациональным является сечение балки из двух швеллеров (вариант в), у которого при наименьшей площади осевой момент сопротивления имеет наибольшее значение.

6. Определение прогиба и угла поворота сечения методом начальных параметров.

Заметим, что перемещения определяются от нормативной нагрузки.

Помещаем начало координат на левом конце балки в заделке (рис. 14). Распределённая нагрузка не доходит до правого конца балки; продолжаем её пунктиром до правого конца и прикладываем компенсирующую.

Рис.14

Очевидно, начальные параметры равны нулю: , .

Запишем для участка CD универсальные уравнения прогибов и углов поворота, учитывая все нагрузки, расположенные левее сечения :

, (1)

. (2)

Полагая в уравнении (1) , найдём прогиб свободного конца D балки, состоящей из двух швеллеров № 33:

(кН × м³);

м.

Знак минус означает, что точка D переместится вниз.

Полагая в (2) , и учитывая в уравнении слагаемые, соответствующие нагрузкам от начала координат до точки С, найдём угол поворота сечения:

(кН × м²);

рад .

Знак минус означает, что сечение С повернётся по часовой стрелке.

ЗАДАЧА 6. Прямой изгиб (шарнирная балка)*

Для шарнирно-опёртой двутавровой балки (рис. 15), требуется определить несущую способность и проверить прочность балки по касательным напряжениям. Принять для нагрузок соотношения , . Исходные данные взять из табл. 8.

П о р я д о к р а с ч ё т а

1. Вычертить в масштабе расчётную схему балки и её поперечное сечение.

2. Выразить нагрузки в долях qa, с учётом значений коэффициентов и , и проставить на расчётной схеме.

3. Определить реакции опор и проверить их.

4. Составить аналитические выражения и для каждого участка.

5. Построить эпюры поперечной силы и изгибающих моментов и найти их расчётные (наибольшие) значения.

6. Из условия прочности по нормальным напряжениям определить расчётную нагрузку q (несущую способность балки). Принять расчётное сопротивление материала изгибу МПа; коэффициент условий работы .

7. По найденной нагрузке q выполнить проверку прочности балки по касательным напряжениям. Принять расчётное сопротивление материала сдвигу МПа; .

Таблица 8

Номер строки	Схема балки, рис. 15	, м	Расстояние в долях пролета		Двутавр ГОСТ 8239-89
Номер строки	Схема балки, рис. 15	, м			Двутавр ГОСТ 8239-89
1	1	3	1	1	24	1,2	2,0
2	2	4	2	2	33	1,3	2,1
3	3	5	3	3	40	1,4	2,2
4	4	6	4	4	50	1,5	2,3
5	5	7	5	5	55	1,6	2,4
6	6	4	6	1	30	1,7	2,5
7	7	3	7	2	27	1,8	2,2
8	8	6	8	3	45	1,9	2,4
9	9	8	9	4	60	2,0	2,3
0	0	5	10	5	36	1,6	2,5
	д	е	г	д	е	г	д

1)	6)
2)	7)
3)	8)
4)	9)
5)	10)

Рис.15

Пример 6 . Шарнирно-опёртая двутавровая балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой q, силой и моментом .

Т р е б у е т с я:

1. Определить реакции опор в долях qa и проверить их.

2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и найти их расчетные (наибольшие) значения.

3. Определить несущую способность балки q из условия прочности по нормальным напряжениям.

4. Проверить прочность балки по касательным напряжениям при найденной нагрузке q.

Д а н о: длина пролета балки м, , . Сечение балки двутавр №30а. Расчетное сопротивление материала на изгиб МПа, на срез МПа; коэффициент условий работы .

Из сортамента (ГОСТ 8239-89) для двутавра №30а находим: см³, см⁴, статический момент полусечения см³, толщина стенки мм.

Решение

Вычерчиваем расчетную схему (рис. 16, а).

1. Определение реакций опор. Запишем уравнения равновесия:

, ,

;

, ,

Проверка: ,

2. Построение эпюр и . Разобьём балку на три участка и составим аналитические выражения изгибающего момента и поперечной силы .

Рис.16

I участок ( ),

( ),

II участок ( ),

(квадратичная парабола),

- при , ,

- при , ;

(линейный закон),

- при , ,

- при , .

При изгибающий момент принимает наибольшее значение:

, ;

II участок ( ),

(линейный закон),

- при , ,

- при , ;

( ).

По найденным значениям и строим эпюры (рис. 16, б, в). По эпюрам находим:

, .

3. Определение несущей способности балки.

Запишем условие прочности по нормальным напряжениям:

, или ,

откуда Н/м к Н/м.

4. Проверка прочности балки по касательным напряжениям.

Условие прочности:

Па МПа.

Подставляем в условие прочности:

МПа МПа,

т.е. прочность балки по касательным напряжениям обеспечена.

Ответ : несущая способность балки к Н/м; прочность по касательным напряжениям в опасном сечении обеспечена.

ЗАДАЧА 7. Косой изгиб бруса*

Для стальной балки АВ (рис. 17), загруженной в главных плоскостях силами и , т р е б у е т с я:

1. Определить размеры поперечного сечения

(табл. 9).

2. Найти значение полного прогиба и указать его направление:

· для консольной балки – в середине её длины;

· для балки на двух опорах – в середине её пролета.

Исходные данные взять из табл. 9.

П о р я д о к р а с ч ё т а

1. Вычертить в масштабе расчётную схему балки и её поперечное сечение.

2. Построить эпюры изгибающих моментов и в главных плоскостях инерции.

3. Установить по эпюрам и опасное сечение балки.

4. Определить размеры поперечного сечения из условия прочности. Принять расчетное сопротивление материала изгибу МПа; коэффициент условий работы .

5. Вычислить для указанного сечения прогибы и в главных плоскостях. Принять модуль продольной упругости МПа.

6. Найти величину полного прогиба f и указать его направление.

Таблица 9

Номер строки	Схема балки, рис. 17		, м	, кН		, кН	Форма сечения балки
1	1		3,0	30		20	h = 3b
2	2		3,2	40		30
3	3		3,4	50		20	h = 4b
4	4		3,6	60		40
5		5	3,8		50	30	h = 1,8b
6		6	4,0		70	40
7		7	4,2		30	60	h = 0,5b
8		8	4,2		40	50

Продолжение таблицы 9

9	9	4,6	80	40
0	0	4,8	90	60
	д	е	г	а	е

Пример 7 . Балка АВ заданного поперечного сечения (рис. 18 а, б), загружена силами , , , направленными по главным центральным осям поперечного сечения.

Т р е б у е т с я:

1. Построить эпюры изгибающих моментов и в главных плоскостях инерции.

2. Определить геометрические характеристики поперечного сечения балки.

3. По эпюрам и найти опасное сечение балки.

4. Определить размеры поперечного сечения из условия прочности.

5. Определить прогиб балки в середине её пролета С и указать его направление.

Д а н о: длина пролёта балки м; кН, кН, кН. Расчётное сопротивление материала изгибу МПа; модуль продольной упругости МПа; коэффициент условий работы .

а	б

Рис. 18

Решение

1. Построение эпюр изгибающих моментов и .

Вертикальная плоскость (рис. 19, а). Определяем реакции опор:

, , кН;

, , кН.

Рис. 19

Изгибающие моменты в сечениях и :

кНм,

кНм.

Строим эпюру (рис. 19, б).

Горизонтальная плоскость (рис. 19, в). Определяем реакции опор:

, , кН;

, , кН.

Изгибающие моменты в сечениях и :

кНм,

кНм.

Строим эпюру (рис. 19, г).

2. Определение геометрических характеристик поперечного сечения балки (рис. 18, б).

Осевые моменты инерции сечения:

; .

Осевые моменты сопротивления сечения:

, .

Отношение моментов сопротивления:

3. Найдем опасное сечение балки.

Для этого в сечениях и определим приведенные моменты:

кНм;

кНм.

Сопоставляя моменты в точках и , находим, что опасным является сечение .

4. Определение размеров сечения балки.

Условие прочности при косом изгибе для опасного сечения балки:

откуда расчётный момент сопротивления сечения:

, или ,

тогда размер сечения в будет равен:

см см.

Осевые моменты инерции сечения будут равны:

см⁴; см⁴.

5. Определение прогиба сечения С.

Вертикальная плоскость (рис. 19, а). Универсальное уравнение прогиба:

Для определения начального параметра используем условие :

, откуда [кН × м²].

Уравнение прогиба для сечения С при м имеет вид:

[кН × м³];

м см.

Прогиб направлен в отрицательном направлении оси у (рис. 19, а).

Горизонтальная плоскость (рис. 19, в).

Универсальное уравнение прогиба:

Для определения начального параметра используем условие :

, откуда

[кН × м²].

Уравнение прогиба для сечения С при м имеет вид:

[кН × м³];

м см.

Прогиб направлен в отрицательном направлении оси х (рис. 19, в).

Полный прогиб в заданном сечении вычислим по формуле:

, см.

Рис.20

Линия полного прогиба отклонена от главной оси на угол:

ЗАДАЧА 8. Внецентренное сжатие бруса*

Чугунный короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рис. 21, сжимается продольной силой F, приложенной в точке Д. Требуется определить несущую способность стержня (силу F) и построить ядро сечения.

Исходные данные взять из табл. 10.

П о р я д о к р а с ч ё т а

1. Вычертить заданное поперечное сечение в масштабе и указать на чертеже все размеры в числах.

2. Определить положение центра тяжести сечения и провести на чертеже главные центральные оси. Вычислить осевые моменты инерции и радиусы инерции заданного сечения.

3. Найти положение нейтральной линии и показать её на чертеже. Выявить опасные точки сечения и их координаты.

4. Вычислить напряжения в опасных точках сечения, выразив их через силу F.

5. Из условия прочности на сжатие найти величину силы , на растяжение – . По найденным значениям сил и определить несущую способность стержня. Принять коэффициент условий работы при заданных значениях расчетного сопротивления материала сжатию и растяжению .

6. Построить ядро сечения.

Таблица10

Номер строки	Тип сечения, рис. 21	а (см)	в (см)	, МПа	, МПа
1	1	6	6	110	21
2	2	2	2	120	22
3	3	3	3	130	23
4	4	4	4	140	24
5	5	5	5	150	25
6	6	6	6	60	26
7	7	2	2	70	27
8	8	3	3	80	28
9	9	4	4	90	29
0	0	5	5	100	30
	е	д	г	д	г

Рис. 21

Пример 8 . Чугунный короткий стержень, заданного поперечного сечения (рис. 22), сжимается продольной силой F, приложенной в точке .

Т р е б у е т с я:

1. Определить геометрические характеристики поперечного сечения (положение центра тяжести, осевые моменты инерции и радиусы инерции).

2. Найти положение нейтральной линии и положение опасных точек сечения.

3. Вычислить напряжения в опасных точках, выразив их через силу F.

4. Из условий прочности на сжатие и растяжение найти значения сил и . Определить несущую способность стержня.

5. Построить ядро сечения.

Д а н о:

см,

см; расчётное сопротивление материала сжатию

МПа, растяжению

МПа. Коэффициент условий работы

Рис. 22

Решение

1. Определение геометрических характеристик поперечного сечения.

Найдём положение центра тяжести сечения. Данное сечение имеет ось симметрии (ось х), поэтому центр тяжести находится на этой оси, и она является одной из главных центральных осей. Положение второй оси у найдём, вычислив одну координату центра тяжести С - .

Для этого дополняем площадь сечения до полного прямоугольника , а затем вычитаем из полученной площади площадь вырезанного прямоугольника . Тогда площадь сечения равна:

см².

В качестве вспомогательной оси возьмем ось , тогда координата центра тяжести С будет равна:

см.

Рис. 23

Вычислим моменты инерции относительно главных центральных осей х и у. Через точки и проведём собственные центральные оси каждой фигуры (рис. 23), и воспользуемся формулами параллельного переноса:

см⁴,

здесь , т.к. оси и совпадают с главной центральной осью х;

см⁴;

здесь см и см - расстояния между собственными осями первой и второй фигур ( и соответственно) и главной осью у (рис. 23).

Вычислим квадраты радиусов инерции относительно главных центральных осей х и у:

см²; см².

2. Найдем положение нейтральной линии данного сечения.

По рис. 23 определяем координаты силовой точки : см, см.

Тогда отрезки и , отсекаемые нейтральной линией от осей х и у, будут равны:

см; см.

По найденным отрезкам и строим нейтральную линию (н.л.). Точки сечения и , наиболее удаленные от нейтральной линии, являются опасными и имеют следующие координаты:

см, см;

см, см.

3. Вычислим напряжения в опасных точках и , выразив их через силу F и площадь сечения:

;

Перед формулами взять знак «минус», так как заданная сила F является сжимающей.

4. Определение несущей способности стержня.

Запишем условия прочности для опасных точек, имея ввиду, что точка работает на растяжение, а точка на сжатие. Из условия прочности на растяжение найдем значение силы , на сжатие - .

, откуда

кН;

, откуда

кН.

Из двух найденных значений и в качестве несущей способности, выбираем меньшую, т.е. кН.

5. Построение ядра сечения.

Проведём четыре касательных линии к контуру поперечного сечения: I-I, II-II, III-III, IY-IY (рис. 24).

Для касательной I-I отрезки, отсекаемые от осей координат, равны , см.

Координаты соответствующей точки ядра сечения:

, см.

Откладываем на оси Оу отрезок см и получаем точку 1 ядра сечения.

Для касательной III-III: , см. Координаты точки 3:

, см.

Для касательной II-II: см, . Координаты точки 2:

см,

Для касательной IY-IY: см, . Координаты точки 4:

см,

Т.к. контуры данного сечения прямолинейные, то, соединяя точки 1, 2, 3 и 4 прямыми линиями, получим ядро сечения (рис. 24).

Решение

1. Построение эпюр.

Разобьём стержень на три участка и на каждом покажем систему координат Oxyz; ось z совмещаем с продольной осью каждого участка, а оси х и у совмещаем с плоскостью поперечного сечения. Эпюры изгибающих моментов и изображаем со стороны растянутых волокон в плоскости действия момента ( – в плоскости yOz, - в хО z).

Построение эпюр начинаем с участка D А. Проводя мысленно сечение, каждый раз будем отбрасывать часть ломаного стержня с защемлением.

Участок DА ( ),

; , ;

, ; .

Участок АВ ( ),

; , ;

, ; .

Участок ВС ( ),

; , ;

, ; .

По найденным значениям строим эпюры продольной ; поперечной силы ; изгибающих моментов и , совмещенных на одном чертеже; крутящего момента (рис. 27).

Рис. 27

3. Устанавливаем вид сопротивления стержня на каждом участке по эпюрам (рис. 27).

Участок D А – чистый изгиб в одной плоскости и сдвиг;

участок АВ – чистый изгиб в одной плоскости, кручение и сдвиг;

участок ВС – чистый изгиб в двух плоскостях и сжатие.

4. Находим опасное сечение.

Анализируя эпюры (рис. 27), выявляем два вероятно опасных сечения:

· в конце участка АВ - точка В, где моменты:

кНм, кНм;

· на участке ВС – все сечения равноопасны, для точки С имеем:

кНм, кНм, кН.

Вычислим в сечениях В и С приведённые моменты по IY теории прочности по формуле:

;

кНм;

кНм.

Опасным является сечение С, где кНм.

5. Определим диаметр стержня из условия прочности:

где - осевой момент сопротивления поперечного сечения. Тогда:

откуда необходимый диаметр стержня:

м см.

Ответ: диаметр ломаного стержня см.

ЗАДАЧА 10. Устойчивость стержней (стоек)*

Стальной стержень сжимается нормативной силой .

Т р е б у е т с я:

- найти размер поперечного сечения стержня из расчета на устойчивость;

- найти величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Исходные данные, схему закрепления стержня и форму поперечного сечения взять из табл. 12.

П о р я д о к р а с ч ё т а

1. Вычертить схему стержня и его поперечное сечение.

2. Вычислить расчетное значение силы, приняв коэффициент надёжности по нагрузке .

3. Найти геометрические характеристики сечения и гибкость стержня, выразив их через размер сечения (а или d).

4. Определить размер сечения из условия устойчивости путём последовательных приближений, предварительно задавших величиной коэффициента . Принять расчётное сопротивление материала сжатию МПа, коэффициент условий работы .

5. Для полученного сечения стержня определить критическую силу. В зависимости от гибкости стержня расчёт вести либо по формуле Эйлера, либо по формуле Ясинского.

Принять предельную гибкость для данного материала , модуль продольной упругости МПа; коэффициенты МПа, МПа (для формулы Ясинского).

6. Найти величину коэффициента запаса устойчивости по отношению к нормативной нагрузке.

Таблица 12

№ строки	, кН	, м	Схема закрепле-ния концов стержня	Форма сечения стержня
1	100	2,1
2	200	2,2
3	300	2,3
4	400	2,4
5	500	2,5
6	600	2,6
7	700	2,7
8	800	2,8
9	900	2,9
0	1000	3,0
	г	д	д	е

Пример 10 . Стальная стойка заданного поперечного сечения (рис. 28, а, б), одинаково закрепленная в обеих плоскостях потери устойчивости, центрально сжато силой F.

Т р е б у е т с я:

1. Вычислить расчетное значение силы.

2. Определить геометрические характеристики сечения и гибкость стержня, выразив их через размер сечения а.

3. Найти размер а поперечного сечения из условия устойчивости, путем последовательных приближений.

4. Определить значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Д а н о: м; коэффициент приведения длины стержня ; нормативное значение силы кН; коэффициент надежности по нагрузке расчетное сопротивление материала сжатию МПа; предельная гибкость ; модуль продольной упругости МПа; коэффициент условий работы .

Рис.28

Решение

1. Вычислим расчетное значение силы:

кН.

2. Определим геометрические характеристики сечения и гибкость стержня.

Площадь поперечного сечения:

тогда размер сечения .

Осевые моменты инерции относительно главных осей сечения:

Сопоставляя моменты инерции находим, что , т.е. потеря устойчивости произойдет в плоскости, совпадающей с осью у. Минимальный радиус инерции:

а наибольшая гибкость стойки:

Данная стойка может потерять устойчивость (изогнуться) на длине как шарнирно-опёртый стержень (рис. 28, а).

3. Найдем размер поперечного сечения из условия устойчивости:

откуда необходимая площадь поперечного сечения стержня может быть найдена из выражения:

м²,

где - коэффициент продольного изгиба, величиной которого мы будем задаваться.

Первое приближение. Задаемся , тогда:

м²,

м,

По табл. 13 для стали имеем:

;

Таблица 13

Коэффициенты продольного изгиба центрально сжатых стержней по СНиП 11-23-81^*
Гибкость	Сталь с расчётным сопротивлением МПа	Гибкость	Сталь с расчётным Сопротивле-нием МПа
10	0,988	120	0,479
20	0,967	130	0,425
30	0,939	140	0,376
40	0,906	150	0,328
50	0,869	160	0,290
60	0,827	170	0,259
70	0,782	180	0,233
80	0,734	190	0,210
90	0,665	200	0,191
100	0,599	210	0,174
110	0,537	220	0,160

Применяя линейную интерполяцию, найдем коэффициент соответствующий гибкости :

Коэффициенты и существенно отличаются друг от друга, следовательно, выбор неудачен. Действительное расчётное напряжение в стойке:

МПа.

Допускаемое напряжение на устойчивость:

МПа.

Недогрузка составляет , следовательно, нужно уменьшить площадь.

Второе приближение. Принимаем:

Тогда: м²;

м²;

Используя линейную интерполяцию, по табл. 13 находим:

В этом случае:

МПа,

т.е. недогрузка составляет 5,13% .

Третье приближение. Задаёмся:

;

м²,

м,

Тогда коэффициент (см. табл. 13):

Проверим выполнение условия устойчивости:

МПа.

Условие устойчивости выполняется, недогрузка составляет 0,18% . Окончательно принимаем: м²; размер м; момент инерции м⁴; гибкость стойки .

4. Определим критическую силу и коэффициент запаса устойчивости.

Для данной стойки: ,

следовательно, применима формула Эйлера для вычисления критической силы:

кН.

Стойка будет работать с коэффициентом запаса устойчивости:

что находится в пределах рекомендуемых значений.

ЗАДАЧА 11. Ударное нагружение*

На плоскую раму (рис. 29) с высоты h падает груз G.

Подобрать из условия прочности диаметр круглого поперечного сечения стержня рамы.

Исходные данные взять из табл. 14.

П о р я д о к р а с ч ё т а

1. Вычертить в масштабе расчётную схему рамы.

2. Раскрыть статическую неопределимость.

3. Построить эпюру изгибающего момента М от статически приложенной силы, равной весу падающего груза, и выявить опасное сечение.

4. Найти перемещение точки соударения по направлению падения груза от статически приложенной силы, равной весу груза G.

5. Записать условие прочности для опасного сечения при динамическом нагружении. Принять расчётное сопротивление материала изгибу МПа, коэффициент условий работы .

Таблица 14

Номер строки	Схема стержня по рис.29	G, Н	h, м	a, м
1	1	400	0,2	1,2
2	2	100	0,6	1,0
3	3	700	0,3	1,6
4	4	200	0,4	1,3
5	5	800	0,8	1,7
6	6	300	0,2	1,4
7	7	900	0,5	1,8
8	8	500	0,3	2,0
9	9	600	0,7	1,5
0	0	1000	0,4	1,7

Рис.29

Пример 11 . На плоскую раму (рис. 30), стержни которой имеют круглое поперечное сечение, с высоты h падает груз G.

Т р е б у е т с я:

1. Записать условие прочности, из которого нужно определить диаметр поперечного сечения стержня рамы.

2. Раскрыть статическую неопределимость рамы, построить эпюру изгибающего момента от статически приложенной силы, равной весу падающего груза, и выявить опасное сечение.

3. Найти перемещение точки соударения по направлению падения груза от статически приложенной силы, равной весу груза G.

4. Определить диаметр поперечного сечения стержня рамы из условия прочности.

Д а н о: размер м; высота падения груза м; Н; расчётное сопротивление материала изгибу МПа; модуль продольной упругости МПа, коэффициент условий работы .

Решение

1. Условие прочности при ударном нагружении для опасного сечения:

где - напряжение в опасном сечении от статически приложенной силы, равной весу G падающего груза; – осевой момент сопротивления сечения стержня рамы; - динамический коэффициент при ударе; - линейное перемещение точки соударения от статически приложенной силы, равной весу падающего груза, по направлению его движения. С учётом сказанного, перепишем условие прочности:

2. Раскроем статическую неопределимость, построим эпюру и найдем опасное сечение рамы.

Пусть на раму действует сила G, равная весу падающего груза (рис. 31, а).

1) Определяем степень статической неопределимости:

Рама один раз статически неопределима (одна «лишняя» связь).

2) Выбираем основную систему отбросив одну связь – опору А (рис. 31, б).

3) Составляем эквивалентную систему. Для этого основную систему загружаем силой G и лишней неизвестной (рис. 31, в).

Рис. 31

4) Составляем каноническое уравнение метода сил:

5) Для определения коэффициентов канонического уравнения нагружаем основную систему поочередно единичной неизвестной и строим эпюру , затем силой G и строим эпюру (рис. 32, г, д).

6) Вычисляем коэффициенты канонического уравнения перемножением эпюр по правилу Верещагина. Для определения умножаем эпюру на (саму на себя):

Рис. 32

На участке СВ перемножение выполнено по формуле Симпсона:

Свободный член уравнения найдём перемножением эпюры на :

Здесь на участке СВ перемножение выполнено по формуле трапеций:

7) Подставляем найденные коэффициенты в каноническое уравнение и решаем его относительно неизвестной :

, .

8) Строим окончательную (суммарную эпюру) изгибающих моментов М, воспользовавшись методом сложения эпюры с эпюрой (рис. 33, е), предварительно умноженной на значение , т.е. в соответствии с выражением:

Для точки А: .

Для точки : .

Для точки С: .

Для точки В: .

Рис. 33

Окончательная эпюра М изображена на (рис. 33, е). Из эпюры находим опасное сечение в точке В:

3. Найдем перемещение точки соударения по направлению падения груза от статически приложенной силы G, равной весу груза.

К основной системе в точке прикладываем единичную силу и строим эпюру момента (рис. 33, ж). Перемножая по способу Верещагина эпюры М и , найдём искомое перемещение:

где - осевой момент инерции поперечного сечения.

При перемножении эпюр М и на участках и СВ использована формула перемножения трапеций.

4. Определим диаметр сечения стержня рамы из условия прочности:

м.

Ответ : искомый диаметр стержня рамы равен м.

ЗАДАЧА 12. Колебания систем*

На балке из двух двутавров установлен электромотор весом G (рис. 34). Частота вращения ротора мотора n; вес неуравновешенных частей ротора Р; эксцентриситет их .

Определить требуемый номер профиля двутавра, исходя из условия «отстройки» от резонанса, чтобы частота собственных колебаний балки была на 30% выше частоты возмущающей силы, возникающей от неуравновешенности ротора мотора. Проверить прочность и жёсткость балки с учётом возникших колебаний. Массой балки пренебречь. Исходные данные взять из табл. 15.

П о р я д о к р а с ч ё т а

1. Определить статический прогиб сечения балки, где установлен мотор, и наибольшие статические напряжения.

2. Определить частоту возмущающей силы и частоту собственных колебаний балки.

3. Определить требуемый номер профиля двутавра, исходя из условия «отстройки» от резонанса.

4. Вычислить коэффициент нарастания колебаний и динамический коэффициент.

5. Записать условия прочности и жёсткости балки с учётом возникших колебаний и проверить их выполнение. Принять МПа, МПа, допускаемый прогиб .

Таблица 15

Номер строки	, м	G, кН	Р, Н	е, см	n, об/мин
1	2,2	8	800	0,10	500
2	2,4	9	1000	0,12	550
3	2,6	10	1200	0,14	600
4	2,8	11	1400	0,16	650
5	3,0	12	1500	0,18	700
6	3,2	13	1600	0,20	800
7	3,4	14	1800	0,22	850

Продолжение таблицы 15

8	3,6	15	2000	0,25	900
9	3,8	16	2200	0,28	950
10	4,0	17	2400	0,30	980
	а	г	д	е	д

1	6
2	7
3	8
4	9
5	0

Рис. 34

Пример 12 . На балке из двух двутавров установлен электромотор весом G (рис. 35). Частота вращения ротора мотора n; вес неуравновешенных частей ротора Р; эксцентриситет их е (плечо вращения веса Р).

Т р е б у е т с я:

1. Найти статический прогиб сечения балки С, где установлен мотор, и наибольшие статические напряжения. Массой балки пренебречь.

2. Определить частоту возмущающей силы и частоту собственных колебаний балки.

3. Определить требуемый номер профиля двутавра, исходя из условия «отстройки» от резонанса, т.е. чтобы частота собственных колебаний балки была на 30% выше частоты возмущающей силы, возникающей от неуравновешенности ротора мотора.

4. Определить коэффициент нарастания колебаний и динамический коэффициент.

5. Проверить прочность и жёсткость балки с учётом возникающих колебаний.

Д а н о: м; вес двигателя кН; Н; см; об/мин; расчётное сопротивление материала балки изгибу МПа, модуль продольной упругости МПа; допускаемый прогиб балки .

Рис. 35

Решение

1. Статический расчёт.

Найдём статический прогиб сечения С балки. Для грузового состояния (рис. 36, а) находим реакции опор и строим эпюру (рис. 36, б). Составляем единичную схему, прикладывая силу равную единице в точке С балки, освобожденной от нагрузки (рис. 36, в). Определяем реакции опор и строим эпюру (рис. 36, г).