ЗАДАЧА  9. Изгиб с кручением

Пространственный ломаный стержень круглого поперечного сечения (рис. 25), имеющий прямые углы в точках А и В, нагружен силой F или равномерно распределенной нагрузкой q.

Требуется подобрать диаметр стержня из условия прочности по четвёртой теории прочности.

Исходные данные взять из табл. 11.

П о р я д о к   р а с ч ё т а

1. Вычертить расчетную схему стержня и его поперечное сечение.

2. Построить в аксонометрии шесть эпюр внутренних усилий: , , , , , .

3. Указать вид сопротивления для каждого участка стержня.

4. Установить опасное сечение и записать для него приведённый момент по четвёртой теории прочности.

5. Определить диаметр стержня из условия прочности, приняв допускаемое напряжение для материала стержня МПа.

Таблица11

Номер строки	Схема стержня по рис. 25	a, м	F, кН	q, кН/м
1	1	1,0	1	1
2	2	1,1	2	2
3	3	1,2	3	3
4	4	1,3	4	4
5	5	1,4	5	5
6	6	1,5	6	3
7	7	1,6	7	1
8	8	1,7	8	2
9	9	1,8	4	4
0	0	1,9	9	6

 

Пример 9 . Пространственный ломаный стержень круглого поперечного сечения, имеющий прямые углы в точках А и В, нагружен равномерно распределённой нагрузкой q (рис. 26).

Т р е б у е т с я:

1. Построить в аксонометрии шесть эпюр внутренних усилий: , , , , , .

2. Указать вид сопротивления для каждого участка стержня.

3. Установить опасное сечение и записать для него приведённый момент по четвёртой теории прочности.

4. Определить диаметр стержня из условия прочности.

Д а н о: м; кН/м; допускаемое напряжение для материала МПа.

Решение

1. Построение эпюр.

Разобьём стержень на три участка и на каждом покажем систему координат Oxyz; ось z совмещаем с продольной осью каждого участка, а оси х и у совмещаем с плоскостью поперечного сечения. Эпюры изгибающих моментов  и  изображаем со стороны растянутых волокон в плоскости действия момента (  – в плоскости yOz,  - в хО z).

Построение эпюр начинаем с участка D А. Проводя мысленно сечение, каждый раз будем отбрасывать часть ломаного стержня с защемлением.

Участок D А ( ),

; , ;

, ; .

Участок АВ ( ),

; , ;

, ; .

Участок ВС ( ),

; , ;

, ; .

По найденным значениям строим эпюры продольной ; поперечной силы ; изгибающих моментов  и , совмещенных на одном чертеже; крутящего момента  (рис. 27).

Рис. 27

3. Устанавливаем вид сопротивления стержня на каждом участке по эпюрам (рис. 27).

Участок D А – чистый изгиб в одной плоскости и сдвиг;

участок АВ – чистый изгиб в одной плоскости, кручение и сдвиг;

участок ВС – чистый изгиб в двух плоскостях и сжатие.

4. Находим опасное сечение.

Анализируя эпюры (рис. 27), выявляем два вероятно опасных сечения:

· в конце участка АВ - точка В, где моменты:

 кНм, кНм;

· на участке ВС – все сечения равноопасны, для точки С имеем:

кНм,  кНм,  кН.

Вычислим в сечениях В и С приведённые моменты по IY теории прочности по формуле:

;

 кНм;

 кНм.

Опасным является сечение С, где  кНм.

5. Определим диаметр стержня из условия прочности:

,

где  - осевой момент сопротивления поперечного сечения. Тогда:

,

откуда необходимый диаметр стержня:

м см.

Ответ:  диаметр ломаного стержня см.

 

ЗАДАЧА  10. Устойчивость стержней (стоек)*

Стальной стержень сжимается нормативной силой .

Т р е б у е т с я:

- найти размер поперечного сечения стержня из расчета на устойчивость;

- найти величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Исходные данные, схему закрепления стержня и форму поперечного сечения взять из табл. 12.

П о р я д о к   р а с ч ё т а

1. Вычертить схему стержня и его поперечное сечение.

2. Вычислить расчетное значение силы, приняв коэффициент надёжности по нагрузке .

3. Найти геометрические характеристики сечения и гибкость стержня, выразив их через размер сечения (а или d).

4. Определить размер сечения из условия устойчивости путём последовательных приближений, предварительно задавших величиной коэффициента . Принять расчётное сопротивление материала сжатию МПа, коэффициент условий работы .

5. Для полученного сечения стержня определить критическую силу. В зависимости от гибкости стержня расчёт вести либо по формуле Эйлера, либо по формуле Ясинского.

Принять предельную гибкость для данного материала , модуль продольной упругости МПа; коэффициенты  МПа,  МПа (для формулы Ясинского).

6. Найти величину коэффициента запаса устойчивости по отношению к нормативной нагрузке.

Таблица 12

№ строки	, кН	, м	Схема закрепле-ния концов стержня	Форма сечения стержня
1	100	2,1
2	200	2,2
3	300	2,3
4	400	2,4
5	500	2,5
6	600	2,6
7	700	2,7
8	800	2,8
9	900	2,9
0	1000	3,0
	г	д	д	е

 

Пример 10 . Стальная стойка заданного поперечного сечения (рис. 28, а, б), одинаково закрепленная в обеих плоскостях потери устойчивости, центрально сжато силой F.

Т р е б у е т с я:

1. Вычислить расчетное значение силы.

2. Определить геометрические характеристики сечения и гибкость стержня, выразив их через размер сечения а.

3. Найти размер а поперечного сечения из условия устойчивости, путем последовательных приближений.

4. Определить значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Д а н о: м; коэффициент приведения длины стержня ; нормативное значение силы кН; коэффициент надежности по нагрузке  расчетное сопротивление материала сжатию МПа; предельная гибкость ; модуль продольной упругости МПа; коэффициент условий работы .

Рис.28

Решение

1. Вычислим расчетное значение силы:

кН.

2. Определим геометрические характеристики сечения и гибкость стержня.

Площадь поперечного сечения:

,

тогда размер сечения .

Осевые моменты инерции относительно главных осей сечения:

,

.

Сопоставляя моменты инерции находим, что , т.е. потеря устойчивости произойдет в плоскости, совпадающей с осью у. Минимальный радиус инерции:

,

а наибольшая гибкость стойки:

.

Данная стойка может потерять устойчивость (изогнуться) на длине  как шарнирно-опёртый стержень (рис. 28, а).

3. Найдем размер поперечного сечения из условия устойчивости:

,

откуда необходимая площадь поперечного сечения стержня может быть найдена из выражения:

 м²,

где  - коэффициент продольного изгиба, величиной которого мы будем задаваться.

Первое приближение. Задаемся ,  тогда:

 м²,

 м,

.

По табл. 13 для стали имеем:

     ;

   

Таблица 13

Коэффициенты  продольного изгиба центрально сжатых стержней по СНиП 11-23-81*
Гибкость	Сталь с расчётным сопротивлением МПа	Гибкость	Сталь с расчётным Сопротивле-нием МПа
10	0,988	120	0,479
20	0,967	130	0,425
30	0,939	140	0,376
40	0,906	150	0,328
50	0,869	160	0,290
60	0,827	170	0,259
70	0,782	180	0,233
80	0,734	190	0,210
90	0,665	200	0,191
100	0,599	210	0,174
110	0,537	220	0,160

Применяя линейную интерполяцию, найдем коэффициент  соответствующий гибкости :

.

Коэффициенты  и  существенно отличаются друг от друга, следовательно, выбор неудачен. Действительное расчётное напряжение в стойке:

 МПа.

Допускаемое напряжение на устойчивость:

 МПа.

Недогрузка составляет , следовательно, нужно уменьшить площадь.

Второе приближение. Принимаем:

.

Тогда:             м²;

 м²;

.

Используя линейную интерполяцию, по табл. 13 находим:

.

В этом случае:

 МПа,

 МПа,

т.е. недогрузка составляет 5,13% .

Третье приближение. Задаёмся:

;

 м²,

 м,

.

Тогда коэффициент (см. табл. 13):

.

Проверим выполнение условия устойчивости:

 МПа.

Условие устойчивости выполняется, недогрузка составляет 0,18% . Окончательно принимаем:  м²; размер  м; момент инерции м⁴; гибкость стойки .

4. Определим критическую силу и коэффициент запаса устойчивости.

Для данной стойки: ,

следовательно, применима формула Эйлера для вычисления критической силы:

 кН.

Стойка будет работать с коэффициентом запаса устойчивости:

,

что находится в пределах рекомендуемых значений.

 

ЗАДАЧА  11. Ударное нагружение*

На плоскую раму (рис. 29) с высоты h падает груз G.

Подобрать из условия прочности диаметр круглого поперечного сечения стержня рамы.

Исходные данные взять из табл. 14.

П о р я д о к  р а с ч ё т а

1. Вычертить в масштабе расчётную схему рамы.

2. Раскрыть статическую неопределимость.

3. Построить эпюру изгибающего момента М от статически приложенной силы, равной весу падающего груза, и выявить опасное сечение.

4. Найти перемещение точки соударения по направлению падения груза от статически приложенной силы, равной весу груза G.

5. Записать условие прочности для опасного сечения при динамическом нагружении. Принять расчётное сопротивление материала изгибу  МПа, коэффициент условий работы .

Таблица 14

Номер строки	Схема стержня по рис.29	G, Н	h, м	a, м
1	1	400	0,2	1,2
2	2	100	0,6	1,0
3	3	700	0,3	1,6
4	4	200	0,4	1,3
5	5	800	0,8	1,7
6	6	300	0,2	1,4
7	7	900	0,5	1,8
8	8	500	0,3	2,0
9	9	600	0,7	1,5
0	0	1000	0,4	1,7

 

 

Рис.29

Пример 11 . На плоскую раму (рис. 30), стержни которой имеют круглое поперечное сечение, с высоты h падает груз G.

Т р е б у е т с я:

1. Записать условие прочности, из которого нужно определить диаметр поперечного сечения стержня рамы.

2. Раскрыть статическую неопределимость рамы, построить эпюру изгибающего момента  от статически приложенной силы, равной весу падающего груза, и выявить опасное сечение.

3. Найти перемещение точки соударения по направлению падения груза от статически приложенной силы, равной весу груза G.

4. Определить диаметр поперечного сечения стержня рамы из условия прочности.

Д а н о: размер  м; высота падения груза  м;  Н; расчётное сопротивление материала изгибу  МПа; модуль продольной упругости  МПа, коэффициент условий работы .

Решение

1. Условие прочности при ударном нагружении для опасного сечения:

,

где  - напряжение в опасном сечении от статически приложенной силы, равной весу G падающего груза;  – осевой момент сопротивления сечения стержня рамы;  - динамический коэффициент при ударе;  - линейное перемещение точки соударения от статически приложенной силы, равной весу падающего груза, по направлению его движения. С учётом сказанного, перепишем условие прочности:

2. Раскроем статическую неопределимость, построим эпюру  и найдем опасное сечение рамы.

Пусть на раму действует сила G, равная весу падающего груза (рис. 31, а).

1) Определяем степень статической неопределимости:

.

Рама один раз статически неопределима (одна «лишняя» связь).

2) Выбираем основную систему отбросив одну связь – опору А (рис. 31, б).

3) Составляем эквивалентную систему. Для этого основную систему загружаем силой G и лишней неизвестной  (рис. 31, в).

Рис. 31

4) Составляем каноническое уравнение метода сил:

5) Для определения коэффициентов канонического уравнения нагружаем основную систему поочередно единичной неизвестной  и строим эпюру , затем силой G и строим эпюру  (рис. 32, г, д).

6) Вычисляем коэффициенты канонического уравнения перемножением эпюр по правилу Верещагина. Для определения  умножаем эпюру  на  (саму на себя):

Рис. 32

На участке СВ перемножение выполнено по формуле Симпсона:

.

Свободный член уравнения найдём перемножением эпюры  на :

.

Здесь на участке СВ перемножение выполнено по формуле трапеций:

.

7) Подставляем найденные коэффициенты в каноническое уравнение и решаем его относительно неизвестной :

, .

8) Строим окончательную (суммарную эпюру) изгибающих моментов М, воспользовавшись методом сложения эпюры  с эпюрой  (рис. 33, е), предварительно умноженной на значение , т.е. в соответствии с выражением:

.

Для точки А:  .

Для точки : .

Для точки : .

Для точки С:  .

Для точки В:  .

Рис. 33

Окончательная эпюра М изображена на (рис. 33, е). Из эпюры находим опасное сечение в точке В:

.

3. Найдем перемещение  точки соударения  по направлению падения груза от статически приложенной силы G, равной весу груза.

К основной системе в точке  прикладываем единичную силу и строим эпюру момента  (рис. 33, ж). Перемножая по способу Верещагина эпюры М и , найдём искомое перемещение:

,

где  - осевой момент инерции поперечного сечения.

При перемножении эпюр М и  на участках  и СВ использована формула перемножения трапеций.

4. Определим диаметр сечения стержня рамы из условия прочности:

,

 м.

Ответ : искомый диаметр стержня рамы равен  м.

ЗАДАЧА  12. Колебания систем*

На балке из двух двутавров установлен электромотор весом G (рис. 34). Частота вращения ротора мотора n; вес неуравновешенных частей ротора Р; эксцентриситет их .

Определить требуемый номер профиля двутавра, исходя из условия «отстройки» от резонанса, чтобы частота собственных колебаний балки была на 30% выше частоты возмущающей силы, возникающей от неуравновешенности ротора мотора. Проверить прочность и жёсткость балки с учётом возникших колебаний. Массой балки пренебречь. Исходные данные взять из табл. 15.

П о р я д о к   р а с ч ё т а

1. Определить статический прогиб сечения балки, где установлен мотор, и наибольшие статические напряжения.

2. Определить частоту возмущающей силы и частоту собственных колебаний балки.

3. Определить требуемый номер профиля двутавра, исходя из условия «отстройки» от резонанса.

4. Вычислить коэффициент нарастания колебаний и динамический коэффициент.

5. Записать условия прочности и жёсткости балки с учётом возникших колебаний и проверить их выполнение. Принять  МПа,  МПа, допускаемый прогиб .

Таблица 15

Номер строки	, м	G, кН	Р, Н	е, см	n, об/мин
1	2,2	8	800	0,10	500
2	2,4	9	1000	0,12	550
3	2,6	10	1200	0,14	600
4	2,8	11	1400	0,16	650
5	3,0	12	1500	0,18	700
6	3,2	13	1600	0,20	800
7	3,4	14	1800	0,22	850

Продолжение таблицы 15

8	3,6	15	2000	0,25	900
9	3,8	16	2200	0,28	950
10	4,0	17	2400	0,30	980
	а	г	д	е	д

1	6
2	7
3	8
4	9
5	0

Рис. 34

Пример 12 . На балке из двух двутавров установлен электромотор весом G (рис. 35). Частота вращения ротора мотора n; вес неуравновешенных частей ротора Р; эксцентриситет их е (плечо вращения веса Р).

Т р е б у е т с я:

1. Найти статический прогиб сечения балки С, где установлен мотор, и наибольшие статические напряжения. Массой балки пренебречь.

2. Определить частоту возмущающей силы и частоту собственных колебаний балки.

3. Определить требуемый номер профиля двутавра, исходя из условия «отстройки» от резонанса, т.е. чтобы частота собственных колебаний балки была на 30% выше частоты возмущающей силы, возникающей от неуравновешенности ротора мотора.

4. Определить коэффициент нарастания колебаний и динамический коэффициент.

5. Проверить прочность и жёсткость балки с учётом возникающих колебаний.

Д а н о:  м; вес двигателя  кН;  Н;  см;  об/мин; расчётное сопротивление материала балки изгибу  МПа, модуль продольной упругости  МПа; допускаемый прогиб балки .

Рис. 35

Решение

1. Статический расчёт.

Найдём статический прогиб сечения С балки. Для грузового состояния (рис. 36, а) находим реакции опор и строим эпюру  (рис. 36, б). Составляем единичную схему, прикладывая силу равную единице в точке С балки, освобожденной от нагрузки (рис. 36, в). Определяем реакции опор и строим эпюру  (рис. 36, г).

 

Рис.36

Перемножая эпюры  и  по способу Верещагина, найдём прогиб в точке С:

.

Найдём наибольшее статическое напряжение. Опасное сечение балки в точке В, где :

.

2. Определим частоту возмущающей силы и частоту собственных колебаний балки.

При работе мотора ротор из-за неуравновешенности создает возмущающую силу, и балка испытывает вынужденные колебания с частотой:

 (1/с).

Частота собственных колебаний балки зависит от ее жесткости и определяется выражением .

В соответствии с условием задачи принимаем частоту собственных колебаний:

, или .

3. Определим требуемый номер двутавра. Запишем условие «отстройки» от резонанса:

,   или .

Преобразуем полученное неравенство и, подставляя выражение , определим необходимый момент инерции двутавра:

, ,  отсюда

 см⁴.

Из сортамента выбираем двутавр №22 с  см⁴,  см³.

Определим частоту собственных колебаний балки, соответствующую выбранному сечению двутавру №22:

 (1/с).

Т.е. условие  выполняется. Действительно:

.

4. Определим коэффициент нарастания колебаний:

.

Наибольшее значение возмущающей силы (вертикальная составляющая центробежной силы инерции):

.

Динамический коэффициент будет равен:

.

5. Динамический расчёт.

Запишем условие прочности балки и проверим его выполнение:

.

Динамическое напряжение в опасном сечении балки:

МПа,

МПа  МПа,

т.е. условие прочности выполняется.

Запишем условие жёсткости балки:

.

Динамический прогиб балки в сечении С:

м.

Допускаемый прогиб м, тогда:

м м.

т.е. условие жёсткости балки выполняется.

Ответ : требуемый номер профиля двутавра №22; коэффициент нарастания колебаний ; динамический коэффициент ; прочность и жёсткость балки обеспечена.

 

 

 

 

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться: