ЗАДАЧА 5. Прямой изгиб бруса

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 7Следующая ⇒

Для консольной балки (рис. 10) требуется из расчёта на прочность определить размеры поперечных сечений для трёх вариантов (рис. 11) и вычислить перемещения: прогиб свободного конца балки и угол поворота сечения, находящегося на расстоянии 2а от заделки.

Исходные данные взять из табл. 7.

П о р я д о к р а с ч е т а

1. Вычислить расчётные значения нагрузок, приняв коэффициенты надёжности по нагрузке:

- постоянной ( , ) – ;

- временной ( ) – .

Вычислить расчётное сопротивление материала , приняв нормативное сопротивление МПа, коэффициент надёжности по материалу взять из табл. 7.

2. Определить реакции жёсткой заделки от расчётных и нормальных нагрузок.

3. Вычертите расчётную схему балки, указав числовые значения размеров и расчётных нагрузок.

4. Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента , и выявить опасное сечение балки.

5. Из условия прочности по первому предельному состоянию определить расчётный момент сопротивления балки .

6. По найденному моменту сопротивления определить размеры поперечного сечения балки для трёх вариантов. Вычертить полученные сечения в масштабе. Найти характеристики рациональности сечений и сделать соответствующие выводы.

7. Записать для данной балки универсальные уравнения прогибов и углов поворота по методу начальных параметров.

8. Вычислить от нормативных нагрузок величину прогиба свободного конца балки и угол поворота сечения, находящегося на расстоянии 2а от заделки. Принять модуль продольной упругости материала МПа.

Таблица 7

Номер строки	Схема балки, рис. 10	Варианты попереч- ных сечений, рис. 11	а, м	, кН/м	, кН	,
1	1	1, 14, 17	1,0	14	16	20	1,05
2	2	2, 8, 6	1,2	12	14	30	1,10
3	3	3, 10, 12	1,4	16	24	24	1,15
4	4	4, 14, 18	1,8	20	18	26	1,05
5	5	5, 8, 17	1,1	10	12	22	1,15
6	6	7, 9, 12	1,3	24	20	32	1,1
7	7	13, 11, 6	2,0	18	26	34	1,05
8	8	8, 16, 18	1,6	22	22	36	1,15
9	9	15, 2, 17	1,5	15	28	28	1,1
0	0	11, 1, 6	1,7	26	30	40	1,05
	е	д	г	е	д	б	а

Рис. 10

Рис. 11

Пример 5 . Консольная балка (рис. 13) нагружена постоянной нагрузкой и и временной равномерно распределённой нагрузкой .

Т р е б у е т с я:

1. Определить расчётные значения нагрузок и расчётное сопротивление материала.

2. Определить реакции жёсткой заделки.

3. Построить эпюры и .

4. Определить размеры поперечных сечений для трёх вариантов (рис. 12).

5. Вычислить удельный момент сопротивления полученных сечений и выбрать из них наиболее рациональное.

6. Вычислить величину прогиба свободного конца балки и угол поворота сечения, находящегося на расстоянии 2а от заделки.

Д а н о: м; нормативные нагрузки и соответствующие коэффициенты надёжности по нагрузке:

кН; ; ;

кН/м; .

Нормативное сопротивление материала изгибу МПа и коэффициент надёжности по материалу , коэффициент условий работы . Модуль продольной упругости материала МПа. Варианты поперечных сечений балки:

а)	б)	в)

Рис. 12

Решение

1. Определение расчётных значений нагрузок и расчётного сопротивления материала R :

кН,

кНм,

кН/м,

МПа.

2. Определение реакций жёсткой заделки:

, , ;

, , .

Вычислим реакции от расчётных нагрузок:

кНм;

кН.

Реакции от нормативных нагрузок:

кНм;

кН.

3. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил от расчётных нагрузок.

Разобьём балку на три участка. Запишем аналитические выражения и для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.

I участок (

(линейный закон), - при

; - при

кНм.

Поперечную силу найдём, исследуя дифференциальную зависимость:

кН .

II участок (

(квадратичная парабола), - при

кНм;

-при , кНм.

(линейный закон),

- при , кН,

- при , кН.

III участок (

(квадратичная парабола),

- при , кНм;

(линейный закон),

- при , при кН,

- при , кН.

По найденным значениям и на каждом участке строим эпюры (рис. 13). Опасное сечение балки находится возле заделки, где кНм.

4. Определение размеров поперечных сечений. Запишем условие прочности для опасного сечения по первому предельному состоянию:

откуда расчётный (требуемый) момент сопротивления сечения:

м³ см³.

Найдём размеры сечений для трёх вариантов:

а) Осевой момент инерции и момент сопротивления данного сечения вычисляются по формулам:

, .

Приравняв см³, найдём размер сечения:

см;

тогда площадь данного сечения см², осевой момент сопротивления см³.

б) Для данного сечения ,

Приравняв см³, найдём диаметр:

см.

Площадь сечения см², осевой момент сопротивления см³.

в) Требуемый момент сопротивления одного швеллера:

см³.

Из сортамента (ГОСТ 8240–89) выбираем швеллер № 30, для которого см³, см², см⁴. Для данного профиля , в опасном сечении возникнет перенапряжение, величина которого составит:

следовательно, прочность не будет обеспечена. Окончательно принимаем швеллер № 33, для которого см³, см², см⁴.

5. Вычисление удельных моментов сопротивления полученных сечений:

а) (см),

б) (см),

в) (см).

Наиболее рациональным является сечение балки из двух швеллеров (вариант в), у которого при наименьшей площади осевой момент сопротивления имеет наибольшее значение.

6. Определение прогиба и угла поворота сечения методом начальных параметров.

Заметим, что перемещения определяются от нормативной нагрузки.

Помещаем начало координат на левом конце балки в заделке (рис. 14). Распределённая нагрузка не доходит до правого конца балки; продолжаем её пунктиром до правого конца и прикладываем компенсирующую.

Рис.14

Очевидно, начальные параметры равны нулю: , .

Запишем для участка CD универсальные уравнения прогибов и углов поворота, учитывая все нагрузки, расположенные левее сечения :

, (1)

. (2)

Полагая в уравнении (1) , найдём прогиб свободного конца D балки, состоящей из двух швеллеров № 33:

(кН × м³);

м.

Знак минус означает, что точка D переместится вниз.

Полагая в (2) , и учитывая в уравнении слагаемые, соответствующие нагрузкам от начала координат до точки С, найдём угол поворота сечения:

(кН × м²);

рад .

Знак минус означает, что сечение С повернётся по часовой стрелке.

ЗАДАЧА 6. Прямой изгиб (шарнирная балка)*

Для шарнирно-опёртой двутавровой балки (рис. 15), требуется определить несущую способность и проверить прочность балки по касательным напряжениям. Принять для нагрузок соотношения , . Исходные данные взять из табл. 8.

П о р я д о к р а с ч ё т а

1. Вычертить в масштабе расчётную схему балки и её поперечное сечение.

2. Выразить нагрузки в долях qa, с учётом значений коэффициентов и , и проставить на расчётной схеме.

3. Определить реакции опор и проверить их.

4. Составить аналитические выражения и для каждого участка.

5. Построить эпюры поперечной силы и изгибающих моментов и найти их расчётные (наибольшие) значения.

6. Из условия прочности по нормальным напряжениям определить расчётную нагрузку q (несущую способность балки). Принять расчётное сопротивление материала изгибу МПа; коэффициент условий работы .

7. По найденной нагрузке q выполнить проверку прочности балки по касательным напряжениям. Принять расчётное сопротивление материала сдвигу МПа; .

Таблица 8

Номер строки	Схема балки, рис. 15	, м	Расстояние в долях пролета		Двутавр ГОСТ 8239-89
Номер строки	Схема балки, рис. 15	, м			Двутавр ГОСТ 8239-89
1	1	3	1	1	24	1,2	2,0
2	2	4	2	2	33	1,3	2,1
3	3	5	3	3	40	1,4	2,2
4	4	6	4	4	50	1,5	2,3
5	5	7	5	5	55	1,6	2,4
6	6	4	6	1	30	1,7	2,5
7	7	3	7	2	27	1,8	2,2
8	8	6	8	3	45	1,9	2,4
9	9	8	9	4	60	2,0	2,3
0	0	5	10	5	36	1,6	2,5
	д	е	г	д	е	г	д

1)	6)
2)	7)
3)	8)
4)	9)
5)	10)

Рис.15

Пример 6 . Шарнирно-опёртая двутавровая балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой q, силой и моментом .

Т р е б у е т с я:

1. Определить реакции опор в долях qa и проверить их.

2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и найти их расчетные (наибольшие) значения.

3. Определить несущую способность балки q из условия прочности по нормальным напряжениям.

4. Проверить прочность балки по касательным напряжениям при найденной нагрузке q.

Д а н о: длина пролета балки м, , . Сечение балки двутавр №30а. Расчетное сопротивление материала на изгиб МПа, на срез МПа; коэффициент условий работы .

Из сортамента (ГОСТ 8239-89) для двутавра №30а находим: см³, см⁴, статический момент полусечения см³, толщина стенки мм.

Решение

Вычерчиваем расчетную схему (рис. 16, а).

1. Определение реакций опор. Запишем уравнения равновесия:

, ,

;

, ,

Проверка: ,

2. Построение эпюр и . Разобьём балку на три участка и составим аналитические выражения изгибающего момента и поперечной силы .

Рис.16

I участок ( ),

( ),

II участок ( ),

(квадратичная парабола),

- при , ,

- при , ;

(линейный закон),

- при , ,

- при , .

При изгибающий момент принимает наибольшее значение:

, ;

II участок ( ),

(линейный закон),

- при , ,

- при , ;

( ).

По найденным значениям и строим эпюры (рис. 16, б, в). По эпюрам находим:

, .

3. Определение несущей способности балки.

Запишем условие прочности по нормальным напряжениям:

, или ,

откуда Н/м к Н/м.

4. Проверка прочности балки по касательным напряжениям.

Условие прочности:

Па МПа.

Подставляем в условие прочности:

МПа МПа,

т.е. прочность балки по касательным напряжениям обеспечена.

Ответ : несущая способность балки к Н/м; прочность по касательным напряжениям в опасном сечении обеспечена.

ЗАДАЧА 7. Косой изгиб бруса*

Для стальной балки АВ (рис. 17), загруженной в главных плоскостях силами и , т р е б у е т с я:

1. Определить размеры поперечного сечения

(табл. 9).

2. Найти значение полного прогиба и указать его направление:

· для консольной балки – в середине её длины;

· для балки на двух опорах – в середине её пролета.

Исходные данные взять из табл. 9.

П о р я д о к р а с ч ё т а

1. Вычертить в масштабе расчётную схему балки и её поперечное сечение.

2. Построить эпюры изгибающих моментов и в главных плоскостях инерции.

3. Установить по эпюрам и опасное сечение балки.

4. Определить размеры поперечного сечения из условия прочности. Принять расчетное сопротивление материала изгибу МПа; коэффициент условий работы .

5. Вычислить для указанного сечения прогибы и в главных плоскостях. Принять модуль продольной упругости МПа.

6. Найти величину полного прогиба f и указать его направление.

Таблица 9

Номер строки	Схема балки, рис. 17		, м	, кН		, кН	Форма сечения балки
1	1		3,0	30		20	h = 3b
2	2		3,2	40		30
3	3		3,4	50		20	h = 4b
4	4		3,6	60		40
5		5	3,8		50	30	h = 1,8b
6		6	4,0		70	40
7		7	4,2		30	60	h = 0,5b
8		8	4,2		40	50

Продолжение таблицы 9

9	9	4,6	80	40
0	0	4,8	90	60
	д	е	г	а	е

Пример 7 . Балка АВ заданного поперечного сечения (рис. 18 а, б), загружена силами , , , направленными по главным центральным осям поперечного сечения.

Т р е б у е т с я:

1. Построить эпюры изгибающих моментов и в главных плоскостях инерции.

2. Определить геометрические характеристики поперечного сечения балки.

3. По эпюрам и найти опасное сечение балки.

4. Определить размеры поперечного сечения из условия прочности.

5. Определить прогиб балки в середине её пролета С и указать его направление.

Д а н о: длина пролёта балки м; кН, кН, кН. Расчётное сопротивление материала изгибу МПа; модуль продольной упругости МПа; коэффициент условий работы .

а	б

Рис. 18

Решение

1. Построение эпюр изгибающих моментов и .

Вертикальная плоскость (рис. 19, а). Определяем реакции опор:

, , кН;

, , кН.

Рис. 19

Изгибающие моменты в сечениях и :

кНм,

кНм.

Строим эпюру (рис. 19, б).

Горизонтальная плоскость (рис. 19, в). Определяем реакции опор:

, , кН;

, , кН.

Изгибающие моменты в сечениях и :

кНм,

кНм.

Строим эпюру (рис. 19, г).

2. Определение геометрических характеристик поперечного сечения балки (рис. 18, б).

Осевые моменты инерции сечения:

; .

Осевые моменты сопротивления сечения:

, .

Отношение моментов сопротивления:

3. Найдем опасное сечение балки.

Для этого в сечениях и определим приведенные моменты:

кНм;

кНм.

Сопоставляя моменты в точках и , находим, что опасным является сечение .

4. Определение размеров сечения балки.

Условие прочности при косом изгибе для опасного сечения балки:

откуда расчётный момент сопротивления сечения:

, или ,

тогда размер сечения в будет равен:

см см.

Осевые моменты инерции сечения будут равны:

см⁴; см⁴.

5. Определение прогиба сечения С.

Вертикальная плоскость (рис. 19, а). Универсальное уравнение прогиба:

Для определения начального параметра используем условие :

, откуда [кН × м²].

Уравнение прогиба для сечения С при м имеет вид:

[кН × м³];

м см.

Прогиб направлен в отрицательном направлении оси у (рис. 19, а).

Горизонтальная плоскость (рис. 19, в).

Универсальное уравнение прогиба:

Для определения начального параметра используем условие :

, откуда

[кН × м²].

Уравнение прогиба для сечения С при м имеет вид:

[кН × м³];

м см.

Прогиб направлен в отрицательном направлении оси х (рис. 19, в).

Полный прогиб в заданном сечении вычислим по формуле:

, см.

Рис.20

Линия полного прогиба отклонена от главной оси на угол:

ЗАДАЧА 8. Внецентренное сжатие бруса*

Чугунный короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рис. 21, сжимается продольной силой F, приложенной в точке Д. Требуется определить несущую способность стержня (силу F) и построить ядро сечения.

Исходные данные взять из табл. 10.

П о р я д о к р а с ч ё т а

1. Вычертить заданное поперечное сечение в масштабе и указать на чертеже все размеры в числах.

2. Определить положение центра тяжести сечения и провести на чертеже главные центральные оси. Вычислить осевые моменты инерции и радиусы инерции заданного сечения.

3. Найти положение нейтральной линии и показать её на чертеже. Выявить опасные точки сечения и их координаты.

4. Вычислить напряжения в опасных точках сечения, выразив их через силу F.

5. Из условия прочности на сжатие найти величину силы , на растяжение – . По найденным значениям сил и определить несущую способность стержня. Принять коэффициент условий работы при заданных значениях расчетного сопротивления материала сжатию и растяжению .

6. Построить ядро сечения.

Таблица10

Номер строки	Тип сечения, рис. 21	а (см)	в (см)	, МПа	, МПа
1	1	6	6	110	21
2	2	2	2	120	22
3	3	3	3	130	23
4	4	4	4	140	24
5	5	5	5	150	25
6	6	6	6	60	26
7	7	2	2	70	27
8	8	3	3	80	28
9	9	4	4	90	29
0	0	5	5	100	30
	е	д	г	д	г

Рис. 21

Пример 8 . Чугунный короткий стержень, заданного поперечного сечения (рис. 22), сжимается продольной силой F, приложенной в точке .

Т р е б у е т с я:

1. Определить геометрические характеристики поперечного сечения (положение центра тяжести, осевые моменты инерции и радиусы инерции).

2. Найти положение нейтральной линии и положение опасных точек сечения.

3. Вычислить напряжения в опасных точках, выразив их через силу F.

4. Из условий прочности на сжатие и растяжение найти значения сил и . Определить несущую способность стержня.

5. Построить ядро сечения.

Д а н о:

см,

см; расчётное сопротивление материала сжатию

МПа, растяжению

МПа. Коэффициент условий работы

Рис. 22

Решение

1. Определение геометрических характеристик поперечного сечения.

Найдём положение центра тяжести сечения. Данное сечение имеет ось симметрии (ось х), поэтому центр тяжести находится на этой оси, и она является одной из главных центральных осей. Положение второй оси у найдём, вычислив одну координату центра тяжести С - .

Для этого дополняем площадь сечения до полного прямоугольника , а затем вычитаем из полученной площади площадь вырезанного прямоугольника . Тогда площадь сечения равна:

см².

В качестве вспомогательной оси возьмем ось , тогда координата центра тяжести С будет равна:

см.

Рис. 23

Вычислим моменты инерции относительно главных центральных осей х и у. Через точки и проведём собственные центральные оси каждой фигуры (рис. 23), и воспользуемся формулами параллельного переноса:

см⁴,

здесь , т.к. оси и совпадают с главной центральной осью х;

см⁴;

здесь см и см - расстояния между собственными осями первой и второй фигур ( и соответственно) и главной осью у (рис. 23).

Вычислим квадраты радиусов инерции относительно главных центральных осей х и у:

см²; см².

2. Найдем положение нейтральной линии данного сечения.

По рис. 23 определяем координаты силовой точки : см, см.

Тогда отрезки и , отсекаемые нейтральной линией от осей х и у, будут равны:

см; см.

По найденным отрезкам и строим нейтральную линию (н.л.). Точки сечения и , наиболее удаленные от нейтральной линии, являются опасными и имеют следующие координаты:

см, см;

см, см.

3. Вычислим напряжения в опасных точках и , выразив их через силу F и площадь сечения:

;

Перед формулами взять знак «минус», так как заданная сила F является сжимающей.

4. Определение несущей способности стержня.

Запишем условия прочности для опасных точек, имея ввиду, что точка работает на растяжение, а точка на сжатие. Из условия прочности на растяжение найдем значение силы , на сжатие - .