|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Учебно-методический комплекс. В.И. ГусаковаСтр 1 из 5Следующая ⇒
В.И. Гусакова Математика Учебно-методический комплекс По направлению «Государственное и муниципальное управление» (бакалавр)
Ростов-на-Дону 2011 Северо-Кавказская академия государственной службы
Кафедра информационных технологий
Гусакова В.И. Математика: Учебно-метод. комплекс. Ростов н/Д.: Изд-во СКАГС, 2011. 56 с.
Рекомендуется для подготовки бакалавров по направлению 081100.62 «Государственное и муниципальное управление».
Печатается по решению кафедры. Протокол № 9 от 27 мая 2010г.
СОДЕРЖАНИЕ
Общие сведения о курсе Цель данного курса – систематизировать знания студентов по математике и подготовить базу для изучения дисциплин, использующих математические модели и методы в управлении. Задачей изучения дисциплины «Математика» является формирование у студентов теоретических знаний, необходимых для изучения других дисциплин, и практических навыков в решении управленческих и прикладных задач с применением математического аппарата. В результате изучения курса «Математика» студенты должны знать основы:
уметь:
Учебно – тематический план
Очная форма обучения Объем дисциплины и виды учебной работы
Разделы дисциплин и виды занятий
Лабораторные, практикумы
Программа курса Математический анализ 1. Введение в анализ Элементы теории множеств. Операции над множествами. Действительные и комплексные числа. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки. Понятие функции. Основные свойства функции. Основные элементарные функции: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая. Классификация функций. Преобразование графиков. Применение функций в экономике. 2. Пределы и непрерывность Предел числовой последовательности. Предел функции в бесконечности и в точке. Бесконечно малые величины. Свойства бесконечно малых величин. Бесконечно большие величины и их свойства. Основные теоремы о пределах. Признаки существования пределов. Замечательные пределы. Непрерывность функции. Свойства непрерывной функции. Классификация точек разрыва. 3. Дифференциальное исчисление Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Схема вычисления производной. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций. Производная высших порядков. Экономический смысл производной. Приложения производной. Основные теоремы дифференциального исчисления. Экстремум функции. Наибольшее значение функции на отрезке. Выпуклость функции. Точки перегиба. Общая схема исследования функции и построения графиков. Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференциал высших порядков. 4. Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных: основные понятия. Предел и непрерывность. Дифференциал функции. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции.
5. Интегральное исчисление Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Интегралы от основных элементарных функций. Методы интегрирования: замены переменной, интегрирование по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей и тригонометрических функций. Определенный интеграл и его геометрический смысл. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенных интегралов.
Основы линейной алгебры и аналитической геометрии
6. Аналитическая геометрия на плоскости Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Прямая на плоскости. Взаимное расположение двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Кривые второго порядка. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы. 7. Линейная алгебра Матрицы и операции над ними. Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Ранг матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения. Теорема Крамера (система n-линейных уравнений с n- переменными). Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Системы линейных однородных уравнений. Векторы на плоскости и в пространстве. N- мерный вектор и векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Теория вероятностей
8. Предмет теории вероятностей и основные понятия Сущность и условия применения теории вероятностей. Элементы комбинаторики (n!, сочетания, перестановка). Понятие опыта, достоверного, невозможного и случайного события. Виды событий. Классическое, аксиоматическое и частотное определения вероятности. 9. Основные теоремы теории вероятностей Теорема о сложении вероятностей. Условная вероятность. Теорема об умножении вероятностей. Вероятность хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формулы Бернулли и Пуассона.
10.Дискретные и непрерывные случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины и их характеристики: математическое ожидание и дисперсия. Функция распределения вероятностей и плотность вероятности. 11. Модели законов распределения вероятностей Равномерное распределение. Нормальное распределение. Показательное распределение. 12. Системы случайных величин Законы распределения двумерной случайной величины. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Зависимость между случайными величинами. 13. Закон больших чисел Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствия. Значение теоремы Чебышева для практики. Центральная предельная теорема.
Вопросы к экзамену
7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа.
34. Сущность и условия применения теории вероятностей. 35. Основные понятия теории вероятностей. 36. Вероятностное пространство. 37. Элементы комбинаторного анализа. 38. Непосредственный подсчет вероятности. 39. Теоремы сложения вероятностей. 40. Теоремы умножения вероятностей. 41. Формула полной вероятности. 42. Теорема Байеса. 43. Формула Бернулли. 44. Случайные величины, способы их описания. 45. Основные числовые характеристики дискретных случайных величин. 46. Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин. 47. Основные законы распределения вероятностей случайных величин: биномиальный, Пуассона, экспоненциальный, равномерный, нормальный. 48. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Зависимость между случайными величинами. 49. Неравенство Чебышева. 50. Закон больших чисел и его следствие.
Самостоятельная работа студентов
Задания для самостоятельной работы Пределы и непрерывность Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:
1.
2.
3. Вычислить пределы:
Точки разрыва функции 1. Исследовать непрерывность функции в точке х=0
2. Исследовать непрерывность в точке х=0
3. Определить, является ли функция непрерывной, если нет, то выяснить характер точки разрыва:
4. Исследовать на непрерывность функцию
5. Определить, является ли функция непрерывной, если нет, то выяснить характер точки разрыва:
y= (cos 5x)/x.
6. Определить, является ли функция непрерывной, если нет, то выяснить характер точки разрыва: y=(2x+1)/x2.
7. Определить, является ли функция непрерывной в точке х = 1. В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва:
8. Определить, является ли функция непрерывной в точке х = 1. В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва:
9. Определить, является ли функция непрерывной в точке х = 1. В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва:
10. Определить, является ли функция непрерывной в точке х = 1. В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва:
Найти асимптоты графиков функций:
Дифференциальное исчисление 1. Найти производную сложной функции:
2. Найти производную функции в точке х=1
3. Объем продукции u, произведенный бригадой рабочих, может быть записан уравнением
4. Найти экстремум функции 1. 2. 3. 4. 5. 6. 5.Определить интервалы возрастания и убывания функции: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 6. Найти точку перегиба функции: 1) 2) 3) 4)
7. Исследовать функции и построить их графики:
Функции нескольких переменных
1. Найти частные производные первого порядка и полный дифференциал для функций:
2. Найти экстремум функции двух переменных:
Интегральное исчисление 1. Используя метод разложения, вычислить:
2. Используя метод замены переменных, вычислить:
3. Вычислить, используя метод интегрирования по частям:
4. Проинтегрировать рациональную функцию: 1. 3. 5. 5. Вычислить определенный интеграл 1. 3. 5. 7. Аналитическая геометрия на плоскости
1. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точки А (-4;2) и В(-2; -6). 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А ( 3; -2) и В (0; 1). 3. Дана прямая 2х + 3у +1 =0. Найти прямую, параллельную данной и проходящую через точку А (0; 4). 4. Дана прямая 2х + 3у +1 =0. Найти прямую, перпендикулярную данной и проходящую через точку А (0; 4). 5. Составить уравнение прямой, проходящей через центры окружностей x2 + y2 =5 и x2 +y2 +2x +4y -31 =0. Найти отношение радиусов окружностей. 6. Ординаты всех точек окружности x2 + y2 =36 сокращены втрое. Написать уравнение полученной новой кривой. 7. Эллипс проходит через точки М1 8. Эллипс проходит через точки М1(2;7) и М2(7;3). Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса. 9. Определить вид и расположение кривой 10. Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями 11. Определить геометрическое место точек М(x,y), расстояние от которых до прямой x=1 вдвое меньше, чем до точки F(4;0). 12. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2;0)) и от прямой y=2.
Линейная алгебра
1. Вычислить матрицу D = A−3B, где
2. Вычислить матрицу С=A∙B, где
3. Предприятие выпускает продукцию трех видов P1, P2, P3 и использует сырье двух типов S1,S2. Нормы расходов сырья характеризуются матрицей  .
План выпуска продукции задан матрицей строкой С=(100 80 130 ), стоимость единицы каждого типа сырья – матрицей-столбцом
Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции. 4. Вычислить матрицу D = (AB)т – C2, где
5. Вычислить матрицу D= ABC -3E, где Е – единичная матрица,
6. Найти произведение матриц АВС, где
7. Вычислить А3, если
8. Вычислить определители:
9. Определить, имеет ли матрица обратную, и если имеет, то вычислить ее:
10. Найти ранги матриц:
4)
11. При каких значениях а матрица А не имеет обратной:
12. Решить системы уравнений методом обратной матрицы и по формулам Крамера:
13.Решить системы уравнений методом Гаусса:
1)
2)
3) 14. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение: 1) 2) 3)
4)
5) 15. Даны векторы 16. Даны векторы 17. Даны векторы 18. Выяснить, являются ли векторы А1, А2, А3 линейно зависимыми: 1) А1=(2; -1; 3), А2=(1; 4;-1), А3=(0; -9; 5). 2) А1=(1; 2; 0), А2=(3; -1; 1), А3=(0; 1; 1). 3) А1=(1; 3; 1; 3), А2=(2; 1; 1; 2), А3=(3; -1; 1, 1). 19. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:
Предмет теории вероятности и основные понятия 1. В отделе трудятся 6 человек. Поступило распоряжение выдать трем сотрудникам премию в размере 400, 500, 600 руб. Сколькими способами это можно сделать? 2. В ящике 10 шаров разного цвета. Сколько имеется способов выбора 4-х шаров? 3. В отделе трудятся 5 человек. Поступило распоряжение выдать трем сотрудникам премию по 500 рублей. Сколькими способами это можно сделать? 4. В ящике 10 белых шаров. Сколько имеется способов выбора 4-х шаров? 5. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность, что сумма очков равна 8. 6. Бросают две игральные кости. Какова вероятность, что сумма очков равна 6, а произведение 8? 7. В урне имеется 9 шаров, из которых 4 белых и 5 черных. Из урны вынимают наудачу 2 шара. Найти вероятность, что оба черные. 8. В партии 12 деталей, из них 5 бракованных. Наудачу взяты 4 детали, найти вероятность того, что 2 из них бракованные. 9. Группа рабочих из 15 человек состоит из 8 каменщиков, 4 маляров, 3 плотников. Найти вероятность, что наудачу выбранная бригада имеет следующий состав: 3 – каменщика, 2 − маляра, 2 – плотника. 10. На полке 10 учебников, причем 5 из них по теории вероятностей. Наудачу взяты 2 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из учебников по теории вероятностей. 11. В цель стреляют по одному разу независимо друг от друга 3 стрелка. (Введем сразу обозначения Аi, I = 1,2,3 – в цель попал i- й стрелок). Записать через Аi следующие события: 1) в цель попал точно один стрелок (событие В); 2) в цель попали точно два стрелка (событие С); 3) в цель попали все стрелки (событие D); 4) ни один стрелок не попал в цель (событие F); 5) хотя бы один стрелок попал в цель (событие Е). Найти вероятность событий В, С, D, F, E, если Р(А1)= 0,7; Р(А2)=0,8; Р (А3) = 0,9.
Основные теоремы теории вероятностей
1. В ящике находятся 3 синих и 4 красных карандаша. Наудачу извлекаются (без возврата) 3 карандаша. Найти вероятность того, что а) один (из трех) карандаш красный; б) хотя бы один карандаш красный. 2. В коробке смешаны нити, среди которых 20 белого цвета и 30 черного цвета. Найти вероятность того, что вынутые наугад две нити будут а) одного цвета; б) разного цвета. 3. Из колоды, содержащей 36 карт, берут 4 карты. Какова вероятность, что это тузы? 4. На склад поступают одинаковые изделия, изготовленные тремя различными фабриками, и произвольно перемешиваются. Первая фабрика поставила 50% ; вторая – 30% ; третья − 20% от общего объема продукции. Комиссия наудачу выбирает на складе единицу продукции. Какова вероятность, что выбранное изделие окажется отличного качества, если для изделий первой фабрики вероятность появления детали отличного качества равна 0,9; для второй фабрики – 0,8, а для третьей − 0,7? 5. В условиях примера 4 предположим, что наудачу выбранное изделие оказалось отличного качества. Какова вероятность, что это изделие изготовлено первой фабрикой? 6. Студент, явившийся на экзамен последним, берет один из оставшихся трех билетов. Вероятность того, что студент получит положительную оценку, отвечая на оставшиеся билеты, следующая: 0,5; 0,7; 0,6. Известно, что студент сдал экзамен. Найти вероятность того, что студент отвечал на второй из оставшихся билетов. 7. Имеются 3 урны с шарами следующего состава: в первой находятся 2 белых и 1 черный , во второй - 3 белых и 1 черный, в третьей – 2 белых и 2 черных. Выбирается наугад одна из урн и из нее вынимается шар. Найти вероятность того, что шар белый. 8. Имеются 3 урны следующего состава: в первой 20 белых, во второй 10 белых, в третьей 20 черных шаров. Из выбранной наугад урны вынули белый шар. Какова вероятность, что он из первой урны? 9. Команда состоит из 5 отличных, 5 хороших и 10 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9 для отличного стрелка; 0,7 для хорошего и 0,6 для посредственного. Наугад выбираемый стрелок стреляет в цель и не попадает. Найти вероятность того, что стрелял хороший стрелок. 10. Найти вероятность того, что при подбрасывании монеты 25 раз орел выпадет 2 раза. 11. Игральную кость бросают семь раз. Какова вероятность, что число очков, кратное трем, выпадет точно два раза. 12. Две игральные кости кидают пять раз Какова вероятность, что сумма очков на обеих костях, кратная четырем, выпадет: а) точно два раза; б) не более одного раза, в) хотя бы один раз?
Дискретные и непрерывные случайные величины
1. Монета подбрасывается наудачу три раза. Для случайного числа появлений герба построить ряд распределения, полигон распределения. 2. Из ящика с семью деталями, среди которых имеется 5 стандартных, наудачу взяты четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Построить полигон распределения. 3. В городе имеется три оптовые базы. Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах, одинакова и равна 0,2. Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент. 4. Вычислить основные числовые характеристики (МХ, DХ, σ) дискретной случайной величины, заданной следующим законом распределения:
5. Для равномерно распределенной на интервале (a,2*b) непрерывной случайной величины Х определить функции f(x) и F(x). Построить графики обеих функций, а также вычислить основные числовые характеристики (МХ, DХ, σ). Определить вероятность попадания случайной величины в интервал (а+1, 2*b-2).
6. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно 10, среднее квадратичное отклонение равно 1. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (8, 14). 7. Дана плотность распределения случайной величины Х:
Найти МХ, DХ, σ. Системы случайных величин 1. Имеется таблица распределения двумерной случайной величины (X,Y)
Составить таблицы распределения вероятностей для каждой из величин Х и Y.
2. Задана дискретная случайная величина.
Найти условный закон распределения Х при Y=0,8.
3. Задан закон распределения двумерной случайной величины (X,Y).
Найти условное математическое ожидание M(Y / X=1).
4. Для заданного закона распределения вероятностей двумерной случайной величины (X,Y) найти коэффициент корреляции между величинами Х и Y.
5. Для заданного закона распределения вероятностей двумерной случайной величины (X,Y) найти коэффициент корреляции между величинами Х и Y и написать уравнение линейной средней квадратической регрессии Y на X.
6. Задан закон распределения двумерной случайной величины.
Найти уравнение линейной средней квадратической регрессии X на Y.
7. Задан закон распределения двумерной случайной величины.
Найти уравнение линейной средней квадратической регрессии Y на X.
Закон больших чисел 1. Средний размер вклада в отделении банка равен 6000 руб. Оценить вероятность, что случайно взятый вклад не превысит 10 000 руб. 2 В продукции цеха детали отличного качества составляют 50%. Детали укладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, что число деталей отличного качества в коробке отличается от 100 не более чем на 5? 3. В продукции цеха детали отличного качества составляют 80%. В каких пределах будет находиться с вероятностью 0,99 число деталей отличного качества, если взять 10 000 деталей? Дать оценку с помощью неравенства Чебышева и с помощью теоремы Муавра-Лапласа. 4. Доходы (в месяц) жителей города имеют математическое ожидание 10 тыс. руб. и среднее квадратическое отклонение 2 тыс. руб. Найти вероятность того, что средний доход 100 случайно выбранных жителей составит от 9,5 до 10,5 тыс. руб. 5. Срок службы электрической лампы имеет показательное распределение с математическим ожиданием 1000 час. Найти вероятность того, что средний срок службы для 100 ламп составит не менее 900 час. 6. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона – безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10 000 работоспособных жителей города составит от 9 до 11% (включительно). 7. Число посетителей магазина (в день) имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием 289. Найти вероятность того, что за 100 рабочих дней суммарное число посетителей составит от 28 550 до 29 250 человек. Тесты Найти разность А и В. 1) А \ В={5}; 2) А \ В={6}; 3) А \ В= {0; 3; 6}; 4) А \ В={7}.
Вопрос 4 Общего вида. Вопрос 8
Вычислите предел
1) 0; 2) ∞; 3) 1 ; 4) 2.
Вопрос 9 Вычислите предел
1) 0 ; 2) ∞; 3) 1; 4) 3/4.
Вопрос 10 Вычислите предел
1) - 2) ∞; 3) 4)
Вопрос 11 Вычислите предел
1) 2; 2) 3 ; 3) 0,3; 4) 0. Вопрос 12 Вычислите предел
1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 4 . Вопрос 13 Вычислите предел
1) 0; 2) 0,5; 3) 2,5; 4) 3 .
Вопрос 14 Вычислите предел
1) 0; 2) 1/2; 3) 4/9; 4) 1/3. Вопрос 15 Вычислите предел
1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) ∞.
Вопрос 16 Что называется матрицей?
1) число; 2) вектор; 3) число, составленное из элементов таблицы чисел по некоторому правилу; 4) прямоугольная таблица чисел, действия с которыми производятся по некоторым правилам.
Вопрос 6 Верно ли записана расширенная матрица 1) да; 2) записана матрица системы уравнений; 3) нет. Вопрос 7 Какой геометрический смысл линейного уравнения от
Вопрос 8 4) 0,23 . Вопрос 10. Случайная величина задана функцией распределения: 4) 0,5, 0,4, 1,24 . Вопрос 12 Случайная величина задана функцией распределения:
Литература 1. Афонина Т.Н. Приложение элементов линейной алгебры к задачам экономики и управления: Учебно.-метод. пособие по курсу «математика» для спец. 061100. – Орел: Изд-во ОРАГС, 2001. 2. Высшая математика для экономистов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. 3-е изд. - М.: Высшее образование, 2008. 3. Высшая математика для экономистов. Учеб. пособие для вузов. Серия «Высшее образование». Ростов н/Д: Феникс, 2004. 4. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и практикум / Под ред. Н.Ш.Кремера. - М.: Высшее образование, 2005. 5. Высшая математика. Общий курс / Под ред. А.И.Яблонского. - Минск: Высшая школа, 1993. 6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. 12-е изд. М.: Высшее образование, 2007. 7. Грес П.В. Математика для гуманитариев: Учебник для вузов: Рек. Мин. обр. – М.: Логос, 2003. 8. Гусакова В.И. Шепелова Н.С. Математика: Учебно-метод. пособие.- Ростов н/Д:СКАГС, 2008. 9. Гусакова В.И., Кривошлыков В.Н., Шепелова Н.С. Математика: Методические указания для самостоятельной работы студентов. Учебно-метод. пособие.- Ростов н/Д:СКАГС, 2010. 10. Математика и информатика. Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.Д. Будаева. -М.: Высшая школа, 2004. 11. Таха Х. Введение в исследование операций. - М.: Мир, 1985. 12. Тугуз Ю.Р. Математика. Ч.1. Математический анализ и линейная алгебра.- Ростов н/Д: СКАГС, 2005.
Глоссарий
Алгебраическим дополнением
Бесконечно малые величины. Функция a(х) называется бесконечно малой величиной при х ® х0 или при х ® ¥, если её предел равен нулю:
Вектор Am называется линейной комбинацией векторов A1,A2,..,Am-1 векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа. Векторы A1,A2,..Am векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ1,λ2,…λm, не равные одновременно нулю, что λ1A1 + λ2A2 + … + λm Am =0 В противном случае векторы A1,A2,..Am называются линейно независимыми. Вектор Х , не равный нулю, называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что АХ = λХ. Число λ называется собственным значением матрицы А, соответствующим вектору Х. Уравнение Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная ± 2а. Графиком функции у = f( х ) называется совокупность всех точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента, взятые из области существования функции, а ординаты, соответствующие этим значениям аргумента, - значения функции. Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0,1, 2,…,m,…,n с вероятностями Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0,1 2,…,m,…,n с вероятностями Дисперсией D(X) непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(Х) = М[Х-а]2,
Замечательные пределы. Существуют два замечательных предела:
Исход называется благоприятным некоторому событию, если появление этого исхода влечет зa собой появление данного события. Классическое определение вероятности. Вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных событию А исходов (k) к общему числу равновозможных исходов (n):
Математическим ожиданием (средним значением) М(Х) случайной дискретной величины называется сумма произведения всех её значений на соответствующие им вероятности. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью распределения j(х) называется число а = М(Х), определяемое равенством
Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А-1∙А = А ∙А-1 = Е. Матрица называется невырожденной, или неособенной; если её определитель отличен от нуля, в противном случае (при │А│=0) – вырожденной, или особенной. Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n. Элементы матрицы аij, у которых i=j, называются диагональными элементами и образуют главную диагональ. Например, для квадратной матрицы n-го порядка главная диагональ: а11, а22, а33…аnn. Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется диагональной. Единичной называется диагональная матрица, элементы которой равны единице. Умножение матриц А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Минором Мij элемента аij называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i –й строки и j-го столбца.
Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и s2 , если её плотность вероятности имеет вид: Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если её плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.e.
Непрерывность функции. Определение 1. Функция ¦(х) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке х0 (т.е. существует ¦(х0)); 2) имеет конечный предел функции при х ® х0; 3) этот предел равен значению функции в этой точке, т. е.
Определителем матрицы первого порядка А=(а11), или определителем первого порядка, называется элемент а11. Обозначается Δ1 = а11 , или│А│= а11. Определителем матрицы второго порядка Определителем матрицы третьего порядка Δ3 = │А│= а11а22 а33+а12а23а31+а21а32а13– а31а22а13 – а12а21а33 – а32а23а11. Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус). Плотностью вероятности (плотностью распределения) j(х) непрерывной случайной величины X называется производная её функции распределения, т. е. j(х) = F¢(x). Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. Предел числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности { аn }, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такой номер N (зависящий от e), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство| аn – А |<e. Это неравенство равносильно таким двум неравенствам: А - e< аn < А + e. Предел числовой последовательности обозначается:
Предел функции в точке. Число А называется пределом функции у = f(х) при х, стремящемся к х0, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такое положительное число d (зависящее от e), что для всех х , не равных х0 и удовлетворяющих условию | х- х0 | < d, верно неравенство | f(x)– А | < e. Этот предел функции обозначается:
Производной функции у = ¦(х) называется предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх при стремлении Dх к нулю. Если функция в точке х0 имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Теорема. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы. Случайным событием (событием) называется всякий факт, который может произойти или не произойти при определенных условиях. Теорема Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы А, а Δj – определитель матрицы, полученный из матрицы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если Δ не равен нулю, то система имеет единственное решение, определённое по формулам Крамера: Теорема о существовании обратной матрицы. Обратная матрица А-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная. Теорема сложения. Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) +Р(В). Если
Теорема умножения. Если А и В - независимые события, то Р(АВ) = Р(А)Р(В). Если А и В совместны, то теорема сложения принимает вид: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ). Теорема. Если функция a(х) является бесконечно малой величиной при х ® х0 или при х ® ¥, то функция f (x)=1/a(х) есть величина бесконечно большая при х ® х0 или при х ® ¥. И обратно, если функция f (x) есть величина бесконечно большая при х ® х0 или при х ® ¥ , то функция a(х) = 1/f(x) является бесконечно малой величиной при х ® х0 или при х ® ¥ . Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна в интервале [a,b] и F(x) –любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) в этом интервале, т. е. Точка х0 называется точкой разрыва функции ¦(х), если эта функция не является непрерывной. Различают точки разрыва: первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева или справа при х ® х0, не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует). К точкам разрыва первого рода относят также точки устранимого разрыва, когда предел функции при х ® х0 существует, но не равен значению функции в этой точке. Формула Байеса. Предположим, что в результате испытания событие А произошло. Какова вероятность, что событие А произошло в результате реализации гипотезы Нk , т.е. P(Hk/A) = ? (происходит переоценка вероятностей гипотез). Формула Бернулли. Проводится серия n независимых повторных испытаний, в каждом из которых вероятность интересующего нас события А равна р, 0 <р <1, (т. е. Формула полной вероятности. Пусть событие А может наступить при условии реализации одной из гипотез Н1, Н2, ..., Нn, образующих полную группу событий. Тогда
Функция F(х) называется первообразной функции f (х) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка F ¢(х) = f (х). Совокупность всех первообразных для функции f (х) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f (х). Функция у = f(х) называется периодической с периодом Т ¹ 0, если для любых х из области определения функции f(х+Т) = f(х). Функция у = f(х) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-х)= f(х), и нечетной, если f(-х) = - f(х). В противном случае функция у = f(х) называется функцией общего вида. Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, равная 2а.
Учебное-издание
к.т.н., доц. Гусакова Валентина Ивановна
Математика В.И. Гусакова Математика Учебно-методический комплекс По направлению «Государственное и муниципальное управление» (бакалавр)
Ростов-на-Дону 2011 Северо-Кавказская академия государственной службы
Кафедра информационных технологий
Гусакова В.И. Математика: Учебно-метод. комплекс. Ростов н/Д.: Изд-во СКАГС, 2011. 56 с.
Рекомендуется для подготовки бакалавров по направлению 081100.62 «Государственное и муниципальное управление».
Печатается по решению кафедры. Протокол № 9 от 27 мая 2010г.
СОДЕРЖАНИЕ
Общие сведения о курсе Цель данного курса – систематизировать знания студентов по математике и подготовить базу для изучения дисциплин, использующих математические модели и методы в управлении. Задачей изучения дисциплины «Математика» является формирование у студентов теоретических знаний, необходимых для изучения других дисциплин, и практических навыков в решении управленческих и прикладных задач с применением математического аппарата. В результате изучения курса «Математика» студенты должны знать основы:
уметь:
Учебно – тематический план
Очная форма обучения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-19; Просмотров: 259; Нарушение авторского права страницы
.
.
, где t - рабочее время в часах. Вычислить производительность труда за час до его окончания.
;
;
2. 
4. 
6. 
2. 
4. 
6. 
8. 
и М2(0,6). Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса.
и гипербола проходит через точку М(10; -3 
).
и 
. Найти вектор, длину вектора 
.
и 
. Найти скалярное произведение двух векторов 
.
и 
. Найти косинус угла между ними.
;
.
системы уравнений 
в двумерном пространстве?
элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j :
.
называется характеристическим уравнением матрицы А.
где 0 < p <1, q = 1─ р.
или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле Δ2 = │А│= а11а22 – а12а21.
или определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле
.
, где j=1,…n.
и 
- противоположные события, то
.
Это и есть формула Ньютона-Лейбница.
). Какова вероятность,_что_ при n испытаниях coбытие А произойдет ровно k раз? (Обозначается Pn(k)). 
