Вычислите значение определителя

 

1)	62;
2)	64;
3)	0 ;
4)	– 44.

 

 

Вопрос 16

Если точка  является решением системы линейных уравнений,  то

1)	;
2)	;
3)	3;
4)	.

Раздел «Теория вероятностей»

Вопрос 1

Вероятность события - это:

1) отношение где число исходов испытаний, благоприятствующих появлению события , -общее число исходов испытаний;

   2) числовая мера появления события  в испытаниях;

3)отношение где число появлений событий А в испытаниях;

   4) число элементарных событий в некотором подмножестве .

Вопрос 2.

Число сочетаний из n элементов по m (m < n) равно:

                                   1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Вопрос 3

Ковариация случайных величин Х и У вычисляется по формуле:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Вопрос 4

Суммой двух событий  и  называют:

1) событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих или событию , или ;

    2) событие , состоящее из элементарных событий,

        принадлежащих или событию , или ;

3) событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию , и ;

4) событие , состоящее из элементарных событий, принадлежащих и событию , и ;

Вопрос 5

Законы распределения случайной дискретной величины представляются в виде:

1) функции распределения  и совокупностью значений ;

2) функции распределения  и функции плотности распределения ;

3) функции распределения  и совокупностью значений ;

4) функции распределения  и рядом распределения ;

Вопрос 6

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно:

1) ;

2) ;

3)

4)

Вопрос 7

В урне 2 белых и 7 черных шара. Из нее вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара черные?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Вопрос 8

Продавец мороженого в солнечный день может заработать 5$, а в дождливый – 2$. Чему равна ожидаемая выручка, если вероятность того, что день окажется дождливым, равна 0,6?

1) 3,8;

2) 3,5;

3) 3,2 ;

4) 3,1.

 

Вопрос 9

В банк 5 фирм подали заявки на получение кредита. Вероятность получить кредит для каждой фирмы равна 0,6. Найти вероятность того, что из пяти фирм кредит получат ровно 2 фирмы?

1) 0,15;

2) 0,17;

3) 0,20;

4) 0,23 .

Вопрос 10.

Случайная величина задана функцией распределения:

          

Вычислить вероятность того, что случайная величина Х будет находиться в интервале (0,1).

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

Вопрос 11.

Дискретная случайная величина задана следующим рядом распределения

xi	-1	0	2
pi	0,2	pi	0,3

 

Вычислить p _i, среднее значение и дисперсию.

p_{i  M(X)     D(X)}

1) 0,3,    0,4,   1,25;

2) 0,5,   0,3,   1,24;

3) 0,3,   0,5,   1,34;

4) 0,5, 0,4, 1,24 .

Вопрос 12

Случайная величина задана функцией распределения:

Найти плотность распределения случайной величины.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

Вопрос 13

Для равномерно распределенной на отрезке [5,9] непрерывной случайной величины Х вычислить основные числовые характеристики (M(X), D(X)).

1) 7, ;

2) 4, ;

3) 7, ;

4) 4, .

 

Вопрос 14

Формула Байеса имеет вид:

1)

 

2)

3)

4)

Вопрос 15

Имеются три урны, со следующим составом. Наугад выбирается урна, из неё выбирается шар. Какова вероятность, что он белый?

I		II		III
2 белых		4 белых		3 белых
4 черных		2 черных		3черных

 

1)   1;

2) ;

3) ;

4) .

 

 

Литература

1. Афонина Т.Н. Приложение элементов линейной алгебры к задачам экономики и управления: Учебно.-метод. пособие по курсу «математика» для спец. 061100. – Орел: Изд-во ОРАГС, 2001.

2. Высшая математика для экономистов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. 3-е изд. - М.: Высшее образование, 2008.

3. Высшая математика для экономистов. Учеб. пособие для вузов.  Серия «Высшее образование». Ростов н/Д: Феникс, 2004.

4. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и практикум / Под ред. Н.Ш.Кремера. - М.: Высшее образование, 2005.

5. Высшая математика. Общий курс / Под ред. А.И.Яблонского. - Минск: Высшая школа, 1993.

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. 12-е изд. М.: Высшее образование, 2007.

7. Грес П.В. Математика для гуманитариев: Учебник для вузов: Рек. Мин. обр. – М.: Логос, 2003.

8. Гусакова В.И. Шепелова Н.С. Математика: Учебно-метод. пособие.- Ростов н/Д:СКАГС, 2008.

9. Гусакова В.И., Кривошлыков В.Н., Шепелова Н.С. Математика: Методические указания для самостоятельной работы студентов. Учебно-метод. пособие.- Ростов н/Д:СКАГС, 2010.

10. Математика и информатика. Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.Д. Будаева. -М.: Высшая школа, 2004.

11. Таха Х. Введение в исследование операций. - М.: Мир, 1985.

12. Тугуз Ю.Р. Математика. Ч.1. Математический анализ и линейная алгебра.- Ростов н/Д: СКАГС, 2005.

Глоссарий

 

Алгебраическим дополнением элемента а_ij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j :

.

Бесконечно малые величины. Функция a(х) называется бесконечно малой величиной при х ® х₀ или при х ® ¥, если её предел равен нулю:

Вектор A_m называется линейной комбинацией векторов A₁,A₂,..,A_m-1 векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа.

Векторы A₁,A₂,..A_m векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ₁,λ₂,…λ_m, не равные одновременно нулю, что λ₁A₁ + λ₂A₂ + … + λ_m A_m =0

В противном случае векторы A₁,A₂,..A_m называются линейно независимыми.

Вектор Х , не равный нулю, называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что АХ = λХ.

Число λ называется собственным значением матрицы А, соответствующим вектору Х.

Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А.

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная ± 2а.

Графиком функции у = f( х ) называется совокупность всех точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента, взятые из области существования функции, а ординаты, соответствующие этим значениям аргумента, - значения функции.

Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0,1, 2,…,m,…,n с вероятностями  где 0 < p <1, q = 1─ р.

Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0,1 2,…,m,…,n с вероятностями  где λ = np.

Дисперсией D(X) непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(Х) = М[Х-а]²,                                         

Дисперсией D(X) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания: D(X) = M[Х-M(X)]² или D(X) = M[X-a]² , где а = М(Х).

Замечательные пределы. Существуют два замечательных предела:

Интегральная функция распределения Пусть дана функция F(x), определённая следующим образом: для каждого х значение F(x) равно вероятности того, что дискретная величина X примет значение, меньшее х, F(x) = Р(Х<х). Эта функция называется интегральной функцией распределения.

Исход называется благоприятным некоторому событию, если появление этого исхода влечет зa собой появление данного события.

Классическое определение вероятности. Вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных событию А исходов (k) к общему числу равновозможных исходов (n):                                      

Математическим ожиданием (средним значением) М(Х) случайной дискретной величины называется сумма произведения всех её значений на соответствующие им вероятности.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью распределения j(х) называется число а = М(Х), определяемое равенством

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А^-1∙А = А ∙А^-1 = Е.

Матрица называется невырожденной, или неособенной; если её определитель отличен от нуля, в противном случае (при │А│=0) – вырожденной, или особенной.

Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n.

Элементы матрицы а_ij, у которых i=j, называются диагональными элементами и образуют главную диагональ. Например, для квадратной матрицы n-го порядка главная диагональ: а₁₁, а₂₂, а₃₃…а_nn.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется диагональной.

Единичной называется диагональная матрица, элементы которой равны единице.

Умножение матриц А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Минором М_ij элемента а_ij называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i –й строки и j-го столбца.

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и s² , если её плотность вероятности имеет вид:

Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если её плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.e.

 

 

Непрерывность функции. Определение 1. Функция ¦(х) называется непрерывной в точке х₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке х₀ (т.е. существует ¦(х₀)); 2) имеет конечный предел функции при х ® х₀; 3) этот предел равен значению функции в этой точке, т. е.

 

Определение 2. Функция у =¦(х) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Определителем матрицы первого порядка А=(а₁₁), или определителем первого порядка, называется элемент а₁₁.

Обозначается Δ₁ = а₁₁ , или│А│= а₁₁.

Определителем матрицы второго порядка  или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле Δ₂ = │А│= а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁.

Определителем матрицы третьего порядка  или определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле

Δ₃ = │А│= а₁₁а₂₂ а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₁+а₂₁а₃₂а₁₃– а₃₁а₂₂а₁₃ – а₁₂а₂₁а₃₃ – а₃₂а₂₃а₁₁.

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Плотностью вероятности (плотностью распределения) j(х) непрерывной случайной величины X называется производная её функции распределения, т. е. j(х) = F¢(x).

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Предел числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности { а_n }, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такой номер N (зависящий от e), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство| а_n – А |<e.

Это неравенство равносильно таким двум неравенствам:

А - e< а_n < А + e.

Предел числовой последовательности обозначается:

.

Предел функции в точке. Число А называется пределом функции у = f(х) при х, стремящемся к х₀, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такое положительное число d (зависящее от e), что для всех х , не равных х₀ и удовлетворяющих условию | х- х₀ | < d, верно неравенство  | f(x)– А | < e.

Этот предел функции обозначается:    

Производной функции у = ¦(х) называется предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх при стремлении Dх к нулю. Если функция в точке х₀ имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

Случайным событием (событием) называется всякий факт, который может произойти или не произойти при определенных условиях.

Теорема Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы А, а Δ_j – определитель матрицы, полученный из матрицы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если Δ не равен нулю, то система имеет единственное решение, определённое по формулам Крамера: , где j=1,…n.

Теорема о существовании обратной матрицы. Обратная матрица А^-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Теорема сложения. Если А и В несовместны, то

Р(А + В) = Р(А) +Р(В).

Если и  - противоположные события, то

.

Теорема умножения. Если А и В - независимые события, то

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Если А и В совместны, то теорема сложения принимает вид: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ). 

Теорема.  Если функция a(х) является  бесконечно  малой  величиной  при х ® х₀ или при х ® ¥, то функция f (x)=1/a(х) есть величина бесконечно большая при х ® х₀  или при х ® ¥. И обратно, если функция   f (x) есть величина  бесконечно большая при х ® х₀  или при х ® ¥ ,  то  функция   a(х) = 1/f(x)  является  бесконечно  малой  величиной  при х ® х₀  или  при  х ® ¥ .

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна в интервале [a,b] и F(x) –любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) в этом интервале, т. е. Это и есть  формула Ньютона-Лейбница.

Точка х₀ называется точкой разрыва функции ¦(х), если эта функция не является непрерывной.

Различают точки разрыва: первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева или справа при х ® х₀, не равные друг другу) и

второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует).

К точкам разрыва первого рода относят также точки устранимого разрыва, когда предел функции при х ® х₀ существует, но не равен значению функции в этой точке.

Формула Байеса. Предположим, что в результате испытания событие А произошло. Какова вероятность, что событие А произошло в результате реализации гипотезы Н_k , т.е. P(H_k/A) = ? (происходит переоценка вероятностей гипотез).

Формула Бернулли. Проводится серия n независимых повторных испытаний, в каждом из которых вероятность интересующего нас события А равна р, 0 <р <1,  (т. е. ). Какова вероятность,_что_ при n испытаниях coбытие А произойдет ровно k раз? (Обозначается P_n(k)).        

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии реализации одной из гипотез Н₁, Н₂, ..., Н_n, образующих полную группу событий. Тогда

 

 

Функция F(х) называется первообразной функции f (х) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка F ¢(х) = f (х).

Совокупность всех первообразных для функции f (х) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f (х).

Функция у = f(х) называется периодической с периодом Т ¹ 0, если для любых х из области определения функции f(х+Т) = f(х).

Функция у = f(х) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-х)= f(х), и нечетной, если f(-х) = - f(х). В противном случае функция у = f(х) называется функцией общего вида.

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, равная 2а.

 

Учебное-издание

 

 

 к.т.н., доц. Гусакова Валентина Ивановна

 

Математика

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: