Разделы дисциплин и виды занятий. Лабораторные, практикумы

Виды учебной работы	Всего часов	Семестр 1
Общая трудоемкость дисциплины	180	180
Аудиторные занятия (всего)	72	72
В том числе:
Лекции	36	36
Практические занятия	36	36
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)	72	72
В том числе:
Курсовой проект(работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
И(или) другие самостоятельные работы	72	72
Вид промежуточного контроля (зачет, экзамен)		экзамен

Разделы дисциплин и виды занятий

№	Наименование раздела дисциплины	Лекции	Практи-ческие	Лабора-торные	Семи-нары	СРС
Математический анализ
1	Введение в анализ					2
2	Пределы и непрерывность	2	4			4
3	Дифференциальное исчисление	2	4			8
4	Функции нескольких переменных					4
5	Интегральное исчисление	2	4			6
Основы линейной алгебры и аналитической геометрии
6	Аналитическая геометрия на плоскости	2	2			6
7	Линейная алгебра	4	10			18
Теория вероятностей
8	Предмет теории вероятности и основные понятия	2	2			2
9	Основные теоремы теории вероятностей	2	2			6
10	Дискретные и непрерывные случайные величины	2	2			6
11	Модели законов распределения вероятностей	2	2			4
12	Системы случайных величин	2	2			4
13	Закон больших чисел	2	2			2

Лабораторные, практикумы

№	Наименование раздела дисциплины	Наименование лабораторных (практических работ)
1	Пределы и непрерывность	Основные теоремы о пределах. Признаки существования пределов. Замечательные пределы.
2	Пределы и непрерывность	Непрерывность функции. Точки разрыва функции.
3	Дифференциальное исчисление	Определение производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
4	Дифференциальное исчисление	Возрастание и убывания функций. Экстремум функции. Выпуклость функции и точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графиков.
5	Интегральное исчисление	Первообразная функции и неопределенный интеграл. Интегрирование методом подстановки. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование по частям.
6	Интегральное исчисление	Определенный интеграл и его геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенных интегралов. Приложения определенного интеграла.
7	Аналитическая геометрия на плоскости	Прямая на плоскости. Взаимное расположение двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Кривые второго порядка. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.
8	Линейная алгебра	Матрицы и операции над ними. Определители квадратных матриц.
9	Линейная алгебра	Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Ранг матрицы и его свойства.
10	Линейная алгебра	Системы линейных уравнений. Теорема Крамера (система n-линейных уравнений с n- переменными).
11	Линейная алгебра	Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Системы линейных однородных уравнений.
12	Линейная алгебра	Векторы на плоскости и в пространстве. N- мерный вектор и векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
13	Предмет теории вероятности и основные понятия	Понятие опыта, достоверного, невозможного и случайного события. Виды событий. Классическое, аксиоматическое и частотное определения вероятности.
14	Основные теоремы теории вероятностей	Теорема о сложении вероятностей. Условная вероятность. Теорема об умножении вероятностей. Вероятность хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формулы Бернулли и Пуассона.
15	Дискретные и непрерывные случайные величины	Дискретная и непрерывная случайные величины и их характеристики: математическое ожидание и дисперсия. Функция распределения вероятностей и плотность вероятности.
16	Модели законов распределения вероятностей	Законы распределения непрерывных случайных величин: равномерный и нормальный. Показательное распределение.
17	Системы случайных величин	Законы распределения двумерной случайной величины. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Зависимость между случайными величинами.
18	Закон больших чисел	Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствия. Значение теоремы Чебышева для практики. Центральная предельная теорема.

Программа курса

Математический анализ

1. Введение в анализ

Элементы теории множеств. Операции над множествами.

Действительные и комплексные числа. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.

Понятие функции. Основные свойства функции. Основные элементарные функции: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая.

Классификация функций. Преобразование графиков. Применение функций в экономике.

2. Пределы и непрерывность

Предел числовой последовательности. Предел функции в бесконечности и в точке.

Бесконечно малые величины. Свойства бесконечно малых величин. Бесконечно большие величины и их свойства. Основные теоремы о пределах. Признаки существования пределов. Замечательные пределы.

Непрерывность функции. Свойства непрерывной функции. Классификация точек разрыва.

3. Дифференциальное исчисление

Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Схема вычисления производной. Основные правила дифференцирования.

Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций. Производная высших порядков. Экономический смысл производной.

Приложения производной. Основные теоремы дифференциального исчисления. Экстремум функции. Наибольшее значение функции на отрезке. Выпуклость функции. Точки перегиба. Общая схема исследования функции и построения графиков.

Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференциал высших порядков.

4. Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных: основные понятия. Предел и непрерывность. Дифференциал функции. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции.

 

5. Интегральное исчисление

Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Интегралы от основных элементарных функций. Методы интегрирования: замены переменной, интегрирование по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей и тригонометрических функций.

Определенный интеграл и его геометрический смысл. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенных интегралов.

 

Основы линейной алгебры и аналитической геометрии

 

6. Аналитическая геометрия на плоскости

Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов.

Прямая на плоскости. Взаимное расположение двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Кривые второго порядка. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.

7. Линейная алгебра

Матрицы и операции над ними. Определители квадратных матриц.

Свойства определителей. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Ранг матрицы и его свойства.

Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения. Теорема Крамера (система n-линейных уравнений с n- переменными). Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Системы линейных однородных уравнений.

Векторы на плоскости и в пространстве. N- мерный вектор и векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

 

Теория вероятностей

 

8. Предмет теории вероятностей и основные понятия

Сущность и условия применения теории вероятностей. Элементы комбинаторики (n!, сочетания, перестановка).

Понятие опыта, достоверного, невозможного и случайного события. Виды событий. Классическое, аксиоматическое и частотное определения вероятности.

9. Основные теоремы теории вероятностей

Теорема о сложении вероятностей. Условная вероятность. Теорема об умножении вероятностей. Вероятность хотя бы одного события.

Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формулы Бернулли и Пуассона.

 

 

10.Дискретные и непрерывные случайные величины

Дискретная и непрерывная случайные величины и их характеристики: математическое ожидание и дисперсия. Функция распределения вероятностей и плотность вероятности.

11. Модели законов распределения вероятностей

Равномерное распределение. Нормальное распределение. Показательное распределение.

12. Системы случайных величин

Законы распределения двумерной случайной величины. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Зависимость между случайными величинами.

13. Закон больших чисел

Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствия. Значение теоремы Чебышева для практики. Центральная предельная теорема.

 

Вопросы к экзамену

1. Графики и свойства основных элементарных функций.
2. Предел функции.
3. Основные теоремы о пределах. Асимптоты графика функции.
4. Непрерывность функции в точке и на интервале.
5. Точки разрыва первого и второго рода.
6. Производная и дифференциал.

7. Основные теоремы о дифференцируемых функциях: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа.

1. Функции нескольких переменных и их непрерывность.
2. Производные функции нескольких переменных.
3. Дифференциалы функции нескольких переменных.
4. Поиск экстремума функции одной переменной.
5. Поиск экстремума функции двух переменных.
6. Неопределенный интеграл, основные теоремы.
7. Определенный интеграл, основные теоремы.
8. Методы интегрирования: интегрирование подстановкой, интегрирование по частям, интегрирование рациональных функций.
9. Прямая линия на плоскости. Условия перпендикулярности и параллельности двух прямых.
10. Эллипс: определение и вывод канонического уравнения.
11. Гипербола: определение и вывод канонического уравнения.
12. Парабола: определение и вывод канонического уравнения.
13. Прямая и плоскость в пространстве.
14. Системы линейных уравнений.
15. .Матрицы и их классификация.
16. Операции над матрицами.
17. Определители и их свойства. Теорема Лапласа
18. Обратная матрица: определение и алгоритм вычисления.
19. N-мерное линейное векторное пространство.
20. Системы векторов, операции над ними.
21. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
22. Линейные операторы и матрицы.
23. Собственные векторы линейных операторов.
24. Решение системы линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера.
25. Решение системы линейных уравнений в матричной форме.
26. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

34. Сущность и условия применения теории вероятностей.

35. Основные понятия теории вероятностей.

36. Вероятностное пространство.

37. Элементы комбинаторного анализа.

38. Непосредственный подсчет вероятности.

39. Теоремы сложения вероятностей.

40. Теоремы умножения вероятностей.

41.  Формула полной вероятности.

42. Теорема Байеса.

43. Формула Бернулли.

44. Случайные величины, способы их описания.

45. Основные числовые характеристики дискретных случайных величин.

46. Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин.

47. Основные законы распределения вероятностей случайных величин: биномиальный, Пуассона, экспоненциальный, равномерный, нормальный.

48. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Зависимость между случайными величинами.

49. Неравенство Чебышева.

50. Закон больших чисел и его следствие.

 

Самостоятельная работа студентов

 

Задания для самостоятельной работы

Пределы и непрерывность

Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

 

1.

 

2.

 

3.

Вычислить пределы:

Точки разрыва функции

1. Исследовать непрерывность функции в точке х=0

2. Исследовать непрерывность в точке х=0

3. Определить, является ли функция непрерывной, если нет, то выяснить характер точки разрыва:

 

.

 

4. Исследовать на непрерывность функцию

 

 

5. Определить, является ли функция непрерывной, если нет, то выяснить характер точки разрыва:

 

y= (cos 5x)/x.

 

6. Определить, является ли функция непрерывной, если нет, то выяснить характер точки разрыва: y=(2x+1)/x².

 

7. Определить, является ли функция непрерывной в точке х = 1. В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва:

8. Определить, является ли функция непрерывной в точке х = 1. В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва:

9. Определить, является ли функция непрерывной в точке х = 1. В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва:

10. Определить, является ли функция непрерывной в точке х = 1. В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва:

Найти асимптоты графиков функций:

1.	6.
2.	7.
3.	8.
4.	9.
5.	10.

 

Дифференциальное исчисление

1. Найти производную сложной функции:

 

1.	6.
2.	7.
3.	8.y= cos( x3+lnx).
4.	9. y= (sinx +5)3.
5.	10. y= ln(x2+2x).

 

2. Найти производную функции в точке х=1

.

 

3. Объем продукции u, произведенный бригадой рабочих, может быть записан уравнением , где t - рабочее время в часах. Вычислить производительность труда за час до его окончания.

 

4. Найти экстремум функции  

1.

2.

3.

4.

5.

6.

5.Определить интервалы возрастания и убывания функции:

1) ;

2) ;

3)

4)

5)

6)

6. Найти точку перегиба функции:

1)

2)

3)

4)

7. Исследовать функции и построить их графики:

 

Функции нескольких переменных

 

1. Найти частные производные первого порядка и полный дифференциал для функций:

 

 

2. Найти экстремум функции двух переменных:

 

 

Интегральное исчисление

1. Используя метод разложения, вычислить:

2. Используя метод замены переменных, вычислить:

 

3. Вычислить, используя метод интегрирования по частям:

4. Проинтегрировать рациональную функцию:

1.                                    2.

3.                                              4.

5.                                  6.

5. Вычислить определенный интеграл

1.                                            2.

3.                                   4.

5.                                               6.

7.                                           8.

Аналитическая геометрия на плоскости

 

1. Найти  уравнение  множества  точек,  равноудаленных от  точки   А (-4;2) и В(-2; -6).

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А ( 3; -2) и В (0; 1).

3. Дана прямая 2х + 3у +1 =0. Найти прямую, параллельную данной и проходящую через точку А (0; 4).

4. Дана прямая 2х + 3у +1 =0. Найти прямую, перпендикулярную данной и проходящую через точку А (0; 4).

5. Составить уравнение прямой, проходящей через центры окружностей x² + y² =5 и x² +y² +2x +4y -31 =0. Найти отношение радиусов окружностей.

6. Ординаты всех точек окружности x² + y² =36 сокращены втрое. Написать уравнение полученной новой кривой.

7. Эллипс проходит через точки М₁  и М₂(0,6). Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса.

8. Эллипс проходит через точки М₁(2;7) и М₂(7;3). Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса.

9. Определить вид и расположение кривой

10. Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями  и гипербола проходит через точку М(10; -3 ).

11. Определить геометрическое место точек М(x,y), расстояние от которых до прямой x=1 вдвое меньше, чем до точки F(4;0).

12. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2;0)) и от прямой y=2.

 

Линейная алгебра

 

1. Вычислить матрицу D = A−3B, где

2. Вычислить матрицу С=A∙B, где

3. Предприятие выпускает продукцию трех видов P1, P2, P3 и использует сырье двух типов S1,S2. Нормы расходов сырья характеризуются матрицей .

 

План выпуска продукции задан матрицей строкой С=(100 80 130 ), стоимость единицы каждого типа сырья – матрицей-столбцом

Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции.

4. Вычислить матрицу D = (AB)^т – C², где

5. Вычислить матрицу D= ABC -3E, где Е – единичная матрица,

6. Найти произведение матриц АВС, где

 

7. Вычислить А³, если

8. Вычислить определители:

     

9. Определить, имеет ли матрица обратную, и если имеет, то вычислить ее:

10. Найти ранги матриц:

4)

 

11. При каких значениях а матрица А не имеет обратной:

12. Решить системы уравнений методом обратной матрицы и по формулам Крамера:

 

13.Решить системы уравнений методом Гаусса:

 

1)

 

2)

 

3)

14. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение:

1)

2)

3)

 

4)

 

5)

15. Даны векторы и . Найти вектор, длину вектора .

16. Даны векторы и . Найти скалярное произведение двух векторов .

17. Даны векторы и . Найти косинус угла между ними.

18. Выяснить, являются ли векторы А₁, А₂, А₃ линейно зависимыми:

1) А₁=(2; -1; 3), А₂=(1; 4;-1), А₃=(0; -9; 5).

2) А₁=(1; 2; 0),   А₂=(3; -1; 1), А₃=(0; 1; 1).

3) А₁=(1; 3; 1; 3), А₂=(2; 1; 1; 2), А₃=(3; -1; 1, 1).

19. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

 

Предмет теории вероятности и основные понятия

1. В отделе трудятся 6 человек. Поступило распоряжение выдать трем сотрудникам премию в размере 400, 500, 600 руб. Сколькими способами это можно сделать?

2. В ящике 10 шаров разного цвета. Сколько имеется способов выбора 4-х шаров?

3. В отделе трудятся 5 человек. Поступило распоряжение выдать трем сотрудникам премию по 500 рублей. Сколькими способами это можно сделать?

4. В ящике 10 белых шаров. Сколько имеется способов выбора 4-х шаров?

5. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность, что сумма очков равна 8.

6. Бросают две игральные кости. Какова вероятность, что сумма очков равна 6, а произведение 8?

7. В урне имеется 9 шаров, из которых 4 белых и 5 черных. Из урны вынимают наудачу 2 шара. Найти вероятность, что оба черные.

8. В партии 12 деталей, из них 5 бракованных. Наудачу взяты 4 детали, найти вероятность того, что 2 из них бракованные.

9. Группа рабочих из 15 человек состоит из 8 каменщиков, 4 маляров, 3 плотников. Найти вероятность, что наудачу выбранная бригада имеет следующий состав: 3 – каменщика, 2 − маляра, 2 – плотника.

10. На полке 10 учебников, причем 5 из них по теории вероятностей. Наудачу взяты 2 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из учебников по теории вероятностей.

11. В цель стреляют по одному разу независимо друг от друга 3 стрелка. (Введем сразу обозначения А_i, I = 1,2,3 – в цель попал i- й стрелок). Записать через А_i следующие события:

1) в цель попал точно один стрелок (событие В);

2) в цель попали точно два стрелка (событие С);

3) в цель попали все стрелки (событие D);

4) ни один стрелок не попал в цель (событие F);

5) хотя бы один стрелок попал в цель (событие Е).

Найти вероятность событий В, С, D, F, E, если Р(А₁)= 0,7; Р(А₂)=0,8;        Р (А₃) = 0,9.

 

 

Основные теоремы теории вероятностей

 

1. В ящике находятся 3 синих и 4 красных карандаша. Наудачу извлекаются (без возврата) 3 карандаша. Найти вероятность того, что а) один (из трех) карандаш красный; б) хотя бы один карандаш красный.

2. В коробке смешаны нити, среди которых 20 белого цвета и 30 черного цвета. Найти вероятность того, что вынутые наугад две нити будут а) одного цвета; б) разного цвета.

3. Из колоды, содержащей 36 карт, берут 4 карты. Какова вероятность, что это тузы?

4. На склад поступают одинаковые изделия, изготовленные тремя различными фабриками, и произвольно перемешиваются. Первая фабрика поставила 50% ; вторая – 30% ; третья − 20% от общего объема продукции. Комиссия наудачу выбирает на складе единицу продукции. Какова вероятность, что выбранное изделие окажется отличного качества, если для изделий первой фабрики вероятность появления детали отличного качества равна 0,9; для второй фабрики – 0,8, а для третьей − 0,7?

5. В условиях примера 4 предположим, что наудачу выбранное изделие оказалось отличного качества. Какова вероятность, что это изделие изготовлено первой фабрикой?

6. Студент, явившийся на экзамен последним, берет один из оставшихся трех билетов. Вероятность того, что студент получит положительную оценку, отвечая на оставшиеся билеты, следующая: 0,5; 0,7; 0,6. Известно, что студент сдал экзамен. Найти вероятность того, что студент отвечал на второй из оставшихся билетов.

7. Имеются 3 урны с шарами следующего состава: в первой находятся 2 белых и 1 черный , во второй - 3 белых и 1 черный, в третьей – 2 белых и 2 черных. Выбирается наугад одна из урн и из нее вынимается шар. Найти вероятность того, что шар белый.

8. Имеются 3 урны следующего состава: в первой 20 белых, во второй 10 белых, в третьей 20 черных шаров. Из выбранной наугад урны вынули белый шар. Какова вероятность, что он из первой урны?

9. Команда состоит из 5 отличных, 5 хороших и 10 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9 для отличного стрелка; 0,7 для хорошего и 0,6 для посредственного. Наугад выбираемый стрелок стреляет в цель и не попадает. Найти вероятность того, что стрелял хороший стрелок.

10. Найти вероятность того, что при подбрасывании монеты 25 раз орел выпадет 2 раза.

11. Игральную кость бросают семь раз. Какова вероятность, что число очков, кратное трем, выпадет точно два раза.

12. Две игральные кости кидают пять раз Какова вероятность, что сумма очков на обеих костях, кратная четырем, выпадет: а) точно два раза; б) не более одного раза, в) хотя бы один раз?

 

 

Дискретные и непрерывные случайные величины

 

1. Монета подбрасывается наудачу три раза. Для случайного числа появлений герба построить ряд распределения, полигон распределения.

2. Из ящика с семью деталями, среди которых имеется 5 стандартных, наудачу взяты четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Построить полигон распределения.

3. В городе имеется три оптовые базы. Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах, одинакова и равна 0,2. Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.

4. Вычислить основные числовые характеристики (МХ, DХ, σ) дискретной случайной величины, заданной следующим законом распределения:

 

№ варианта
1	xi	- 1	3	4	8
	pi	0,2	0,1	0,4	0,3
2	xi	1	4	7	10
	pi	0,2	0,1	0,4	0,3
3	xi	2	4	6	8
	pi	0,2	0,3	0,1	0,4
4	xi	-2	4	9	10
	pi	0,2	0,3	0,1	0,4

 

5. Для равномерно распределенной на интервале (a,2*b) непрерывной случайной величины Х определить функции f(x) и F(x).

Построить графики обеих функций, а также вычислить основные числовые характеристики (МХ, DХ, σ). Определить вероятность попадания случайной величины в интервал (а+1, 2*b-2).

 

№ варианта	a	b
1	1	4
2	2	5
3	3	4
4	1	3

6. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно 10, среднее квадратичное отклонение равно 1. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (8, 14).

7. Дана плотность распределения случайной величины Х:

 

Найти МХ, DХ, σ.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: