Базисе узловых потенциалов

1. Основная математическая модель

В большинстве современных программ схемотехнического моделирования используется базис узловых потенциалов.

В базисе узловых потенциалов исходная моделирования

имеет вид

,                             (7.1)

где - вектор узловых токов, в то время как теоретическая модель – алгоритм, используемая для расчета схемы, обычно формируется в виде, соответствующим решению (7.1) методом Ньютона.

     (7.2)

Где    - матрица узловых проводимостей, k – индекс ньютоновских итераций;  - вектор поправок. Пусть схема содержит n+1 узлов, при чем узел – это точка соединения двух и более ветвей.

    Для удобства процесса формирования математической модели схемы (ММС), перепишем (7.2) в матричном виде

     (7.3)

 

где ток ветви или полюсный ток многополюсника;  - узловой ток      j-го узла, т.е. алгебраическая сумма токов ветвей или полюсов элементов схемы, соединенных в j-ом узле (инцидентных J-ому узлу);  - собственная (j=m) или взаимная ( ) узловая проводимость  между узлами j и m.

2. Алгоритм формирования модели схемы.

Во всех программах СхМ модель схемы формируется не в виде исходной модели (7.1), а в виде векторов и матриц, используемых в теоретическом методе решения этих уравнений. Для метода Ньютона (7.2) формирование математической модели заключается в построении вектора узловых токов и матрицы узловых проводимостей , при чем и то, и другое формируется при каждом k, т.е. на каждой итерации, как целевой вектор и числовая матрица, соответствующие значениям .

Методика формирования и заключается в последовательном рассмотрении каждого элемента схемы и определении его вклада в и .

Рассмотрим эту методику. Формирование вектора узловых токов состоит в образовании для каждого узла схемы суммы полюсных токов элементов, соединенных с этим узлом. При этом уславливаются считать, что ток втекающий в узел, входит в узловой ток этого узла со знаком «-», а вытекающий – со знаком «+». Например, ток двухполюсника  включенного между узлами p и j, направленный от узла p к узлу j, будет участвовать в формировании P-го компонента вектора узловых токов в качестве слагаемого со знаком «+» и j-го компонента  - со знаком «-»

Рассмотрим методику формирования матрицы проводимостей. Оценим сначала вклад каждого двухполюсника в эту матрицу . если двухполюсник описывается уравнением и его ток, направленный от узла p к узлу j, то его проводимость будет участвовать в качестве слагаемого при формировании четырех элементов матрицы .

Действительно ток двухполюсника будет учтен в двух компонентах вектора узловых токов как слагаемое и в компоненте как слагаемое .

Тогда дифференцирование   в составе элемента и в составе .

    Таким образом, при формировании матрицы Y схемы проводимости каждого двухполюсника i=f(n), включенного между узлами P и j , должна заканчиваться в четырех позициях матрицы Y: со знаком «+» на диагональных позициях pp, jj в составе собственных узловых проводимостей  и со знаком «-« на позициях pj и jp, расположенных симметрично относительно диагонали , в составе взаимных узловых проводимостей .

    Пример 7.1

Сформируем, основываясь на приведенной выше методике, вектор узловых токов и матрицу узловых проводимостей для схемы рис 7.1

Рис 7.1 Диодно-резистивная схема.

        

 

 

Используя для тока диода уравнение , где m – эмпирический коэффициент, - температурный потенциал; - тепловой ток. Получим вектор узловых токов

    Матрица узловых проводимостей этой схемы имеет вид:

Где

Вектор узловых токов для схемы с многополюсниками формируется так же, как и для схемы с двухполюсниками , а матрица формируется по тем же правилам, как и для двухполюсника. Например любой биполярный транзистор можно рассматривать как трёхполюсник с матрицей проводимостей:

Представление элементов схемы в базисе узловых потенциалов

Для включения элемента в модель схемы в методе узловых потенциалов необходимо, чтобы его уравнение имело вид

                                    (7.4)

Наиболее простым элементом является постоянный резистор R. Его уравнение , , поэтому вклад в вектор узловых токов I Будет ,

А в матрицу .Аналогично вклад комплексного двухполюсника с уравнением (7.4) в вектор равен f ( u ), а а в матрицу .

    Однако многие элементы схемы описываются уравнениями, отличными от вида (7.4). Такие элементы считаются неудобными для составления модели схемы в базисе узловых потенциалов. К ним относятся идеальные источники тока и напряжения. Наиболее простым представлением уравнения (7.4) является включением в ветвь с неудобными элементами дополнительных элементов – последовательных малых сопротивлений или параллельных малых проводимостей.

Рис. 7.2

Рис. 7.3

1. Идеальный источник тока I. Его неудобство в том, что при

соединении источников тока в одном узле, его узловая проводимость будет равна нулю, что приводит к вырождению матрицы узловых проводимостей в алгоритме (7.3). Включение параллельно источнику малой проводимости y (рис. 7.2) позволяет описать его уравнением вида

2. Идеальный источник напряжения E. Включение последовательно

малого сопротивления r (рис 7.3) позволяет записать:

                                              Лекция №8-2

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: