Правила Кирхгофа для разветвлённой цепи.

Рассмотрим три узла в которых сходятся по три провода.

 - узлы,  - ветви. Пусть в любой из трёх ветвей находятся сопротивления, ёмкости, катушки и ЭДС. Узлы обладают нулевой ёмкостью, т.е. 1-ое правило Кирхгофа для постоянных токов справедливо и для переменных токов, т.е. . Но из равенство нулю суммы мгновенных токов следует равенство нулю суммы их комплексных амплитуд:

 -

первое правило Кирхгофа для переменных токов.

Аналогично доказывается второе правило Кирхгофа для переменных токов:

.

Запись законов Кирхгофа в комплексной форме аналогична обычным.

Метод контурных токов.

Элементарный контур – контур, который нельзя получить наложением других контуров.

Рассмотрим схему:

В данной схеме можно выделить три элементарных контура. Будем считать, что по каждому элементарному контуру течёт одинаковый ток. Будем также считать, что все токи текут в одном направлении.

Метод контурных токов позволяет сократить число уравнений на количество узлов.

Составим следующую систему:

.

Где:  - полный импеданс данного контура – сумма импедансов входящих в данный контур ( );  - импеданс на соприкасающихся ветвях взятый с обратным знаком ( ).

Тогда решением этой системы уравнений относительно неизвестных токов будут:

.

Тогда ток через конкретный импеданс будет равен сумме токов в элементарных контурах в которые он входит взятые с учётом выбора направления обхода, т.е.:

, .

Резонансы в цепях переменного тока.

Резонанс напряжений. Рассмотрим схему:

Найдём ток текущий в цепи. По закону Ома для цепей с переменным током имеем:

.

Откуда имеем следующее выражение для амплитуды тока: .

Очевидно, что максимальная амплитуда тока будет при минимальности знаменателя, т.е. при . Т.о.  - резонансная частота. При резонансной частоте , а .

При .

При .

Т.о. при  ток будет отставать от ЭДС, но при  ток будет опережать ЭДС.

Вид зависимости амплитуды тока от частоты вынуждающей силы.

Резонанс токов.

Рассмотрим контур.

Пусть . Тогда Имеем для тока текущего через ЭДС:

,

.

Мнимая часть амплитуды тока будет равна нулю при . При этом условии данная катушка обладает чисто омическим сопротивлением т.е.  и  находятся в фазе, т.е. имеет место быть резонанс (так говорят в схемотехнике).

.

При резонансе токов ток через генератор минимален.

В очередной раз рассмотрим следующий контур

Стрелка указывает направления ЭДС в начальный момент времени.

Изобразим на одном графике зависимости напряжений на сопротивлении, катушке и конденсаторе в зависимости от частоты подаваемого напряжения .

На всех трех графиках возникает максимум при частоте близкой к резонансной .

Теперь рассмотрим следующую схему:

Ранее нами уже было получено выражение для комплексной амплитуды силы тока в цепи .

Видим, что при условии  данная цепочка будет обладать чисто омическим сопротивлением. Ток и ЭДС находятся в фазе. В этом случае говорят о резонансе токов. В случае  эту резонансную частоту можно приближенно считать равной . Но истинная резонансная частота зависит от добротности , где . Найдем значения токов в ветвях контура при резонансной частоте. .

Рассмотрим случай , тогда . Полный ток в цепи равен нулю. При этом ток в цепи с конденсатором не нулевой. и опережает ЭДС по фазе на . Ток в ветви с катушкой  отстает от ЭДС на . Токи через катушку и конденсатор совпадают по амплитуде, но противоположно направлены.

В идеальном контуре токи в ветвях с конденсатором и индуктивностью достигают достаточно больших значений и протекают в противоположных направлениях. Начальная энергия, которой обладает колебательный контур при резонансе, была получена сразу после замыкания ключа в процессе установления.

Проиллюстрируем на векторных диаграммах случаи резонанса напряжений.

Подаваемое на цепочку напряжение равно сумме напряжений на конденсаторе, сопротивлении и индуктивности . Каждой из этих комплексных величин ставится в соответствие вектор на комплексной плоскости , , . Цепь не разветвленная,  значит, во всех элементах цепи течет одинаковый ток.

Пусть начальная фаза тока равна нулю и . Если величина  достаточно мала, то величина  тоже мала. При увеличении  вектор  будет разворачиваться, и при совпадении с направлением  наступит резонанс.

Построим векторную диаграмму токов при нулевом сопротивлении. За нуль возьмем фазу ЭДС . Учтем, что по первому правилу Кирхгофа, сумма токов равна нулю .

При резонансе .

 

 

Если сопротивление не равно нулю, то получим следующую диаграмму токов.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: