Колебания систем с двумя степенями свободы.

Связанные маятники.

1) Рассмотрим систему, состоящую из двух математических маятников, которые связаны идеальной, невесомой пружиной. Длина нити обоих маятников , массы  и  соответственно, жесткость пружины .

Каждый маятник совершает движение по окружности, поэтому запишем уравнение моментов.

.

Колебания малы, тогда:

.

.

Переобозначив коэффициенты при углах, получим:

.

Таким образом, колебания связанных маятников описываются системой дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

2) Рассмотрим два индуктивно связанных колебательных контура (аналог связанных маятников).

Получили аналогичную систему уравнений.

.

Решение данной системы будем искать в виде:

Биквадратное уравнение. В общем случае есть четыре решения. Физически реальных решений будет два:  и .

Решений бесконечно много.

Одно из решений системы. Их бесконечно много с точностью до .

Запишем общее решение уравнений.

Движение маятника представляет собой суперпозицию двух гармонических колебаний с разными частотами. Следовательно, колебания негармонические.

Пусть маятники будут одинаковыми

Пусть  мало, тогда

.

То есть, при слабой связи, складываются колебания с очень близкими частотами, получаются биения.

 

Волны.

Основные определения. Виды волн. Кинематика волн.

Пусть у нас есть несколько точек, величин, зарядов, которые могут взаимосвязано колебаться. Т.е. если одна точка колеблется то начинают колебаться и остальные.

Например: если есть много маятников последовательно связанных пружинами то постепенно начнут колебаться все маятники, и при том неодинаково.

Пример: камень, брошенный в воду. Т.к. вода обладает конечной вязкостью, т.е. трением, образуются подъёмы и спады уровня воды – колебания.

В волнах никакого переноса массы в воде не бывает, вода не движется от камня, она движется вверх и вниз.

Опр.: Волной называется распространение в среде колебательного движения.

Обозначим колеблющуюся величину, изменяющуюся во времени, как .

Данная величина может быть двух видов:

- Скаляр: плотность воздуха в окрестности некоторой точки (например при разговоре), заряд и т.д. Т.е. .

- Вектор: радиус вектор некоторой частицы, напряжённость электрического поля, индукция и т.д. Т.е.  или .

В подобной записи можно описать любой процесс. Если функция  - синус или косинус, то такие волны называются гармоническим или синусоидальными.

Будем считать, что аргумент имеет вид   

 или

.

Если волны можно записать в подобной форме, то волны называются линейными.

 и т.д. и т.п. – это линейные гармонические волны.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: