Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Плотность потока энергии.
Рассмотрим продольную волну в твердом теле. Равновесные характеристики: . – смещение. – скорость смещения. – относительная деформация.
- плотность кинетической энергии. Растянутый стержень обладает упругой энергией: - плотность энергии, локализованной в данном элементе: Энергия может переноситься. Найдем выражение для плотности потока энергии.
За время силы и совершают работу. – плотность потока энергии. – вектор Умова. Стоячие волны. Принцип суперпозиции: Если одно и тоже вещество колеблется одновременно по двум различным законам, то в итоге суммарное колебание будет равно сумме различных колебаний. Пусть распространяются две волны в одной и той же среде: . Т.е. у них одинаковы модули но противоположны направления волновых скоростей. По принципу суперпозиции: . Построим изображение данной волны в некоторые моменты времени (сфотографируем волну). Попробуем найти такие , что , это будут . Фазовая скорость такой волны будет равна нулю. Выберем поверхность равной фазы в некотором , где или , но эти точки не подвижны. Опр.: Такая волна, фазовая скорость которой равна нулю, называется стоячей. Вопрос: Но ведь фазовая скорость определяется формулой , почему же она равна нулю? Ответ: Это выражение справедливо для волн вида , а у нас другой вид волн, поэтому фазовую скорость мы находим по определению. Упругие волны в среде. Пусть у нас есть гитарная струна, мы возбуждаем в ней некоторые колебания (щипком или ударом). В струне возбуждаются волны. Запишем для струны волновое уравнение. Пусть выбран малый кусок струны (малый настолько, что его можно аппроксимировать куском прямой). Пусть струна однородна и её плотность равна . Запишем волновое уравнение как второй закон Ньютона. (т.к. в колебании нет переноса массы, то колебание идёт вдоль оси ). . На кусочек свободно колеблющейся струны действуют три силы: две со стороны других кусков и сила тяжести. Если гитару положить плашмя на колени, то сила тяжести будет перпендикулярна колебаниям. - силы со стороны других кусков равны по модулю. Тогда: , , где - длина колеблющегося кусочка струны. Пусть величина отклонения струны мала по сравнению с длиной всей струны. Тогда можно записать следующие выражения: , - дифференциал длины дуги, т.к. то мала и . В силу того предположения имеем, что угол мал, откуда имеем: . Т.о. при подстановке имеем: , - уравнение движения кусочка струны, откуда . Будем считать, что оба конца струны зафиксированы, т.е. . Попробуем найти решения имеющие вид стоячих волн: Подставим эти выражения в волновое уравнение, тогда: , откуда имеем . Получили линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами: Где - константы интегрирования. Найдем их из начальных условий: . Т.к. не равно нулю (т.к. тогда не будет никаких волн вообще), то имеем, что . Это означает, что не может быть каким угодно, а они существуют только при определённых дискретных . Запишем различные колебания при различных : . Т.о. общий вид подобного частного решения: , т.к. сумма частных решений тоже решение, то просуммируем подобные решения и посмотрим, что получится. Зададим некоторое Н.У. . - сфотографировали при , это уравнение показывает начальное положение струны, её начальную форму. - скорость по кусочка струны, показывает силу приложенную в начале. Запишем начальные условия в следующем виде: Где Откуда Т.е. зная найдём . Волновое уравнение имеет бесконечное множество решений. Ранее нами было получено волновое уравнение для стоячей волны. Пусть функция определяет форму струны в начальный момент времени. Итак, нам известны две функции , где - фазовая скорость. Нам необходимо найти и . Умножим слева и справа (1) на и проинтегрируем от до . В правой части суммирование и интегрирование идет по разным переменным, поэтому можно преобразовать выражение. Все интегралы равны нулю кроме случая . аналогично можно найти и . Теперь, зная и , из системы можно легко найти и . Пример: струну оттянули и отпустили, так что ее начальная форма имеет следующий вид: , при . Функции и - линейные, причем , , . Теперь вычислим Проинтегрировав по частям, получим . В нашем случае , , . Введем обозначения и рассмотрим несколько первых членов . , , , , , , … Теперь запишем общее решение: Величины слагаемых убывают, как . Если струну оттянули слабо, то мало, и можно ограничиться первым слагаемым: . Мы видим, что не зависит от . Это можно объяснить тем, что . Электромагнитные волны. Преобразуем уравнения Максвелла так, чтобы они приняли вид волнового уравнения. Запишем уравнения Максвелла в системе единиц СГСЕ Рассмотрим случай, когда есть поле, но нет токов, и нет свободных зарядов. Пусть среда линейная и изотропная, тогда и уравнения Максвелла теперь выглядят так: Учитывая, что можно записать следующее соотношение: Но с другой стороны сравнивая эти два соотношения, видим, что . Для вектора можно провести те же самые рассуждения . Итак, у нас получилось, что в пространстве, где нет токов, и нет свободных зарядов, может существовать волновое поле, даже в вакууме, где . Из полученных нами волновых уравнений для векторов и видно, что фазовая скорость электромагнитной волны равна . В вакууме фазовая скорость равна . Получается, что поле может существовать в виде электромагнитной волны, даже когда нет ничего. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-19; Просмотров: 213; Нарушение авторского права страницы