Введение в математический анализ. Числовая последовательность.

Введение в математический анализ. Числовая последовательность.

Числовая последовательность – Функция вида , заданная на множестве N натуральных чисел.
Обозначается в виде {x_n}, . Число x₁ называется первым членом (элементом) последовательности, x_n – общим или n-м членом последовательности.

Задается либо формулой общего члена, либо рекуррентной формулой.

Формула общего члена позволяет вычислить любой член последовательности по номеру n (при помощи этой формулы можно сразу вычислить любой член последовательности).

Пример:

Рекуррентная формула определяет правило, по которому можно найти n-ый член последовательности, зная первый и (n-1)-ый члены (при таком способе для нахождения 100-го члена последовательности придётся сначала посчитать 99 предыдущих).

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство . (если , то последовательность - неограниченная).

Монотонные последовательности.

Последовательность {x_n} называется возрастающей, если для любого выполняется неравенство . (если , то последовательность - убывающая). Если все элементы последовательности {x_n} равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной.

Возрастающие, убывающие и постоянные последовательности – монотонные.

Число е.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Рассмотрим последовательность .

По формуле бинома Ньютона:

Пусть , тогда:

- возрастающая последовательность, причём . Заменим в правой части скобки на 1, а факториалы на степени двойки. По формуле суммы членов прогрессии найдём, что:

Последовательность ограничена, при этом для выполняется неравенство: , следовательно на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемей буквой е.

Число е называется неперовым числом. Число е иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 (е = 2,718281828459045…). Число е принято за основание натуральных логарифмов ( )

Предел функции в точке.

Определение 1 (на “языке последовательностей”, или по Гейне). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящихся к числу (т.е. ), последовательность соответствующих значений , сходится к числу А (т.е. ).

Определение 2 (на “языке ”, или по Коши). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного найдётся такое положительное число , что при всех x, удовлетворяющих неравенству , выполнится неравенство .

Бесконечно малые функции.

Функция называется бесконечно малой при , если .

Б.м.ф. часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами и т.п.

Алгебраическая сумма б.м.ф. есть б.м.ф.

Произведение ограниченной функции на б.м.ф. есть б.м.ф.

Дифференциал функции.

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Свойства дифференциала.

34.Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи.

Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Первый дифференциал функции определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли её аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула Тейлора.

Для многочлена степени n:

Для произвольной функции: Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней производные до -го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка такая, что справедлива формула:

, где

- остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранджа

Формула Лагранжа.

или

Формула Маклорена.

Частный случай формулы Тейлора при .

, где .

Бином Ньютона.

Бином Ньютона – формула, выражающая выражение в виде многочлена.

Теоремы о среднем.

Теорема Ролля.

Если функция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .

Теорема Лагранжа.

Если функция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство

Теорема Коши.

Если функции и непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), причем для , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство .

Исследование функций.

Точки экстремума.

Минимум (максимум) функции называется экстремумом функции.

Точка называется точкой максимума (минимума), если существует такая окрестность точки , что для всех выполняется неравенство .

Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке то ее производная в этой точке равна нулю.

Достаточное условие экстремума. Если непрерывная функция , дифференцируема в некоторой окрестности точки и при переходе через нее производная меняет свой знак, то - точка экстремума.

Критические точки.

Критические точки – точки, подозрительные на экстремум.

Если производная функции в точке равна нулю или не существует, то эта точка – подозрительная на экстремум (критическая точка).

Каждая точка экстремума – критическая (но не наоборот).

Точки перегиба.

Точка, при переходе через которую график функции переходит с одной стороны касательной на другую (вторая производная меняет свой знак) называется точкой перегиба.

Асимптоты.

Асимптота кривой – прямая, расстояние от которой до точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат от этой точки по кривой.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если , или , или

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде y = kx + b. , .

Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной (когда ),

Схема исследования функций.

1. Область определения функции (D(y))

2. Точки пересечения графика с осями координат

3. Интервалы знакопостоянства

4. Четность\нечетность ( - нечетная, - четная)

5. Асимптоты

6. Интервалы монотонности (возрастание\убывание)

7. Экстремумы (минимумы\макимумы)

8. Интервалы выпуклости\вогнутости и точки перегиба

Неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b), если для любого выполняется равенство (или )

Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x) + C, где C – постоянное число.