Логарифмическое дифференцирование.

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать.

Производная показательно – степенной функции.

Производная обратной функции.

Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Дифференциал функции.

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции  в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение

Свойства дифференциала.

34.Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи.

Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Первый дифференциал функции  определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли её аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула Тейлора.

Для многочлена  степени n:

Для произвольной функции: Если функция  определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней производные до -го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка  такая, что справедлива формула:

, где

 - остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранджа

Формула Лагранжа.

 или

Формула Маклорена.

Частный случай формулы Тейлора при .

, где .

Представление функций по формуле Тейлора.

Если функция  определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней производные до -го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка  такая, что справедлива формула:

Бином Ньютона.

Бином Ньютона – формула, выражающая выражение в виде многочлена.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

, причем это равенство тем точнее, чем меньше

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Теоремы о среднем.

Теорема Ролля.

Если функция  непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .

Теорема Лагранжа.

Если функция  непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство

Теорема Коши.

Если функции  и  непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), причем для , то найдется хотя бы одна точка  такая, что выполняется равенство .

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: