Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная. (для частного кроме тех случаев, когда значение знаменателя равно нулю)

Пусть функции  и  непрерывны на некотором множестве Х и  - любое значение из этого множества.

2) Пусть функции  непрерывна в точке , а функция  непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .

В силу непрерывности функции , , т.е. при  имеем . В следствии непрерывности функции  имеем :

3) Если функция  непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси Ох, то обратная функция  также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Oy.

Точки разрыва и их классификация.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если  - точка разрыва функции , то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности функции.

1. Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке .
2. Функция  определена в точке  и в ее окрестности, но не существует предела f(x) при

Точка  называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа (односторонние пределы), т.е.  и . При этом:

a) Если , то точка  называется точкой устранимого разрыва.

b) Если , то точка  называется точкой конечного разрыва

Величину  называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка  называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

Функция  называется непрерывной на интервале (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция  называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна на отрезке (a;b) и в точке
x = a непрерывна справа , а в точке x = b непрерывна слева .

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1) Теорема Вейрштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

1’ ) Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

2) Теорема Больцано-Коши. Если функция  непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a) = A и f(b) = B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

2’ ) Следствие. Если функция  непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах разные по знаку значения, то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка с, в которой функция обращается в нуль. F(c) = 0

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: