Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

 или

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Физический смысл. Производная – скорость протекания процесса.

Геометрический смысл. Производная  в точке х равна угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла наклона) к графику функции  в точке, абсцисса которой равна х.

Уравнение касательной и нормали к кривой.

Уравнениекасательной.

Уравнениенормали.

Односторонние производные функции в точке.

Возьмем функцию y = |x| в точке х=0. , .

В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные(или «производные слева и справа»), и обозначают соответственно  и .

Если , значит, производная в точке не существует.

Основные правила дифференцирования.

Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций. .

Производная произведения двух функций равна произведению первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: .

Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведения знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: . Выполняется, когда .

Производные основных функций.

Степенная функция.

Дадим аргументу x приращение . Функция  получит приращение . По формуле бинома Ньютона имеем

Тогда ,

Показательна функция.

Для начала найдем формулу для . Дадим аргументу x приращение . Функция  получит приращение , . Формулу для  найдем как для сложной функции

Логарифмическаяфункция.

Аналогично предыдущему докажем сначала, что , далее как для сложной функции найдем, что

Тригонометрическаяфункция.

Пользуясь первым замечательным пределом  докажем, что .

Дли косинуса найдем производную как для сложной функции .

Аналогично и для тангенса (катангенса).

1.

2.

3.

4.

5.

6.  

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Производная сложной функции.

Пусть  и , тогда  - сложная функция

Если функция  имеет производную  в точке х, а функция  имеет производную  в соответствующей точке , то сложная функция  имеет производную  в точке х, которая находится по формуле

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: