Теорема 3. (про гран. перехід нер-тей)

Теорема 3. (про гран. перехід нер-тей)

x_n®а, n®¥, "bєR: b>a $n₀єN: x_n<b "n>n₀;

Теорема 4. (x_n®а, n®¥)^(x_n=<b "nєN)=>(a<=b);

Теорема 5. (x_n®а, n®¥)^ (z_n®a, n®¥)^(x_n=<y_n=<z_n "nєN)=>(y_n®а, n®¥);

Монотонні посл-ті:

{x_n}-неспадна, x_n=<x_n+1, "nєN; {x_n}-незростаюча, x_n>=x_n+1, "nєN; {x_n}-зростаюча, x_n<x_n+1, "nєN; {x_n}-спадна, x_n>x_n+1, "nєN;

Теорема (про границю монотонних посл-тей)

1) неспадна (зростаюча) обмежена зверху числ посл. збігається; 2) незростаюча (спадна) обмежена знизу числ посл. збігається.

Теорема 1. lim x_n= a Û x_n= a+o(1), n®¥, aÎR

Необхідність: нехай а - границя послідовності x_n. "e>0 $N; "n>N çx[n]-a÷<e x_n-a=a_n "e>0 $N, n>N ça_n÷<e. a_n -нескінчено мала Þ a_т=о(1) Þ x_n-a=o(1)

Достатність: x_n-a=o(1) доведемо, що Lim x_n=a, n®¥. x_n-a=a_n Þ a_n=o(1) Þ a_n -нескінчено мала. "e>0 $N, n>N ça_nô<e Þ çx_n-aú<e Þ Lim x_n=a, n®¥

Підпослідовності: Посл. {y_n} елементів множ Е визнач рівністю y_n₌x_nk, kєN наз підпосл-тю посл-ті x_n і познач {х_nk}, коротко познач-ся {х_nk}є {х_n}.

Теорема. Посл {х_n}®а, n®¥ ó коли всі її підпосл {х_nk}®а, n®¥ для "{х_nk}є {х_n}.

Озн. Нехай {х_n}– деяка посл-ть, а {х_nk}– її підпосл, яка має границею а при k®¥, тоді а – часткова границя посл {х_n}.

Теорема. Нехай {х_n} ЧП, що прямує до а при n®¥ в R, тоді х_nk також прямує до а при n®¥ в R для "{х_nk}є {х_n}.

Теорема про розклад.

Нехай кусково-гладка на сегменті [-l, l] функція f(x) періодично з періодом 2l продовжена на всю нескінчену вісь. Тоді тригонометричний ряд Фур’є функції f(x) збігається в кожній точці хÎ(-¥,+¥) до значення . Якщо для неперервної і кусково-гладкої на сегменті [-l, l] функції f(x) виконується рівність f(-l)=f(l) , то її тригонометричний ряд Фур’є збігається рівномірно на цьому сегменті і сума ряду рівна функції f(x) в кожній точці xÎ[-l, l].

Формула Гріна.

Якщо функції P(x,y), Q(x,y) – неперервні в замкнутій області D і мають неперервні частинні похідні в цій області і існують невласні інтеграли від кожної з функцій, то має місце формула Гріна: .

Частинні випадки формули Гріна: Q(x,y)=х, P(x,y)=-y. Тоді .

Формула Стокса.

Теорема. Нехай в деякому околі двосторонньої поверхні S функції ) – неперервні разом з своїми частинними похідними першого порядку, замкнений контур, який є межею поверхні S. Тоді має місце формула Стокса: .Орієнтація поверхні повина відповідати орієнтації кривої: .

8x=x, y=y, z=z(x,y), - область, куди проектується. - межа області

вектор нормалі зад поверхні z=z(x,y): =

= . - аналогічно першому, потім знаходимо середнє арифметичне і отримаємо нашу формулу. 8

Ця формула узагальнює формулу Гріна на просторовий випадок.

Формула Остроградського.

Теорема. Функції ) – неперервні в замкнутій області V разом зі своїми похідними , тоді : , S–поверхня, яка обмежує об’єм V, n- вектор нормалі до зовнішньої сторони, - вектор ф-я.

8 - доведемо. Розіб’ємо елем тіло на скінч кількість елем тіл для інтегр по x, y. Всі межі мають Лебегову міру 0, отже на інтеграл не впливають, всі інт по внутр поверхні =0. Достатньо довести формулу для тіла елем для інтегрув по x,y.

, ,

=| =0,s1-верхня основа,s2-нижня основа,s3-бічна поверхня.|= . 8

13.Градієнт, дивергенція та вихор векторного поля.

Озн. Говорять, що задане скалярне поле, якщо кожній точці М простору поставлено у відповідність деяке число f(M). Якщо кожній точці М простору поставлено у відповідність деякий вектор R(M), то говорять, що задане векторне поле.

Поняття градієнту. Нехай j(М) – скалярне поле, визначене в області V простору (x, y, z), (l) – довільна крива, що лежить в V і проходить через фіксовану точку , Dl – довжина дуги кривої (l) від точки M₀ до точки М. Якщо існує скінчена границя відношення при , то вона називається похідною поля j(М) в точці M₀вздовж лінії (l) і позначається символом : . Якщо ф-ція j(М) диференційовна в точці M₀, то її похідна вздовж лінії (l) існує і для всіх ліній, що виходять з точки M₀, з однією і тією ж дотичною величина цієї похідної одна і та ж, а сама похідна називається похідною за даним напрямком t і обраховується за формулою: . Вектор називається градієнтом. Він спрямований із точки M₀в бік найшвидшого зростання ф-ції j(М), а за абсолютною величиною рівний похідній поля j(М) в цьому напрямку.

Поняття дивергенції. Нехай S – скінчена гладка поверхня, а R(M) – довільне векторне поле, задане в деякій області V, що містить всі точки поверхні S. Якщо поверхня S, що обмежує об’єм V, замкнена і існує границя при стягуванні об’єму V в точку Р, (де – потік векторного поля) , то ми називаємо її дивергенцією поля R в точці Р і позначаємо div R(P): . Таким чином за визначенням дивергенцією є щільність адитивної функції областей – потоку векторного поля R через замкнену поверхню S.

Поняття вихора векторного поля. Нехай R(M) – довільне векторне поле, задане в скінченій області V з гладкою границею S, n(M) – одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні S в точці M . Вектор-функція називається циркуляцією поля R(M) по межі області V. Якщо існує границя при стягування об’єму V в точку Р , то вектор q(P) називається вихорем, чи ротором поля R(M) в точці Р і позначається rot R(P): . Таким чином, за визначенням вихор – це щільність адитивної функції областей – циркуляції векторного поля по його межі області.