Теорема Больцана-Вейєрштрасса.

З довільної обмеженої посл-ті можна виділити збіжну підпос-ть.

Теорема 2 (дії над символами Ландау).

1.O(1)+O(1)=O(1)

2.o(1)+o(1)=o(1)

a_n, b_n -неск. малі "e>0 $N₁: n>N₁ ça_n÷<e/2 (1); "e>0 $N₂: n>N₂ çb_n÷<e/2 (2) N=max{N₁;N₂} n>N виконується (1) і (2) ça_n±b_n÷£ça_n÷+çb_n÷<e/2+e/2=e n>N Þ o(1)+o(1)=o(1)

3.O(1)*O(1)=O(1)

4.O(1)*o(1)=o(1)

x_n -обмежена величина, a_n -неск. мала $C>0: çx_n÷£C для "n=1,2,... "e (e/C) $N, n>N ça_n÷<e/C çx_n*a_n÷=çx_n÷*êa_n÷<C*(e/C)=e, n>N Þ O(1)*o(1)=o(1)

a) _n÷<C*(e/C)=e, n>N Þ O(1)*o(1)=o(1)û

Наслідок.

 

Якщо x_n®a, y_n®b при n®¥, (x_n±y_n)®a±b, то (x_n*y_n)®a*b, (x_n/y_n)®a/b (якщо "nÎN y_n¹0 & b¹0).

Теорема 3 (критерій Коші).

Послідовність (x_n) збіжна тоді і тільки тоді, коли вона фундаментальна, тобто "e>0 $n₀(e)єN: "n³n₀, "pÎN Þ |x_n+p-x_n|<e.

Верхня та нижня границя ЧП: а*-верхня границя {x_n}, а*= ; -нижня границя {a_n}, ;

Теорема. 1) а*є Е, є Е; 2) якщо а*є R, то "x>a* $n₀єN: a_n<x,"n>n₀, якщо є R, то "x<  $n₀єN: a_n>x,"n>n₀. При цьму а*( ) є ! елем для якого викон умови 1) та 2).

Теорема (критерій збіжності ЧП)

(ЧП {a_n}-збігається)ó(({a_n}- обмежена)^(а*= ))

Теорема Тьопліца Нехай 1) x_n®а, n®¥ (aєR) 2) х_nk>=0, nєN, k=1,…,n 3) "nєN 4) х_nk®0, n®¥ "kєN Тоді .

Теорема Штольца Нехай {x_n},{y_n}-ЧП 1) y_n<y_n+1 "nєN 2) y_n®¥, n®¥ 3) $ lim (x_n-x_n-1/y_n-y_n-1)=l при n®¥ в R Тоді $ lim (x_n/y_n)=l при n®¥.

2. Границя і неперервність функції у розумінні Коші та Гейне.

Нехай ХÌR деяка числова множ-на, pєR наз гран-ною точкою множ-ни Х, якщо "U(p) $qÎX: q не=p, qєU(p).

Функція f:Х®R має границю при x®p (або в точці p), якщо $aÎR: для довільної послідовності {x_n}ÌX\{p}: x_n®p при n®¥ відповідна послідовність значень функції f(x_n)®a при n®¥ при цьому записують lim f(x)=a, x®p (границя за Гейне).

Функція f:R®R має границю при x®p (або в т. p), якщо $aÎR: "e>0 $ d(e)>0: "xÎX: 0<çx-p÷<d Þ êf(x) - aô<e (границя за Коші).

Теорема 1. Означення границі функції за Коші та за Гейне еквівалентні.

8К Г:

 внаслідок довільності вибору послідовності .

Г К Від супротивного, припустимо, що означення Коші не виконується, тоді

 . Знайдемо і зафіксуємо. Розглянемо послід. , тобто не прямує до , а це протирічить означенню Гейне. 3

Нехай ХÌR деяка числова множ-на, pєR гран-на точка множ-ни Х, $q>0: [p-q;p]ÌX. Будемо говорити функція f:Х®R має границю зліва в точці p, якщо $aÎR: викон одне з еквівал-них тверджень: 1)для довільної послідовності {x_n}ÌX : x_n<p, nєN, x_n®p, n®¥ відповідна послідовність значень функції f(x_n)®a при n®¥ при цьому записують lim f(x)=a, x®p-0 (границя зліва за Гейне).

2)"e>0 $ d(e)>0: "xÎX: 0<çp-х÷<d Þ êf(x) - aô<e (границя зліва за Коші).

Функція f:Х®R має границю +¥ (-¥) в R,якщо викон одне з еквівал-них тверджень:

1)для довільної послідовності {x_n}ÌX \{p}: x_n®p, n®¥ відповідна послідовність значень функції f(x_n)®+¥(-¥) при n®¥ при цьому записують lim f(x)=+¥(-¥), x®p (границя за Гейне).

2)"e>0 $ d(e)>0: "xÎX: 0<çх-p÷<d Þ f(x)>e (f(x)<-e) (границя за Коші).

Функція f:X®R наз. неперервною в точці pÎX, якщо lim f(x)=f(p), x®p, маючи два означення границі функції в точці можемо записати неперервність функції за Гейне та Коші:

(за Гейне): функція f:X®R неперервна в точці pÎX, якщо для довільної послідовності {x_n}ÌX: x_n®p, n®¥ виконується умова f(x_n)®f(p), n®¥;

(за Коші): функція f:X®R неперервна в точці pÎX, якщо "e>0 $d(e)>0: "xÎX: çx-p÷<d Þ êf(x) - f(p)ô<e

Теорема 2: Означення неперервності функції за Коші та за Гейне еквівалентні.

 

3.Властивості неперервної функції на компакті.

Множина KÌR називається компактною в собі, або компактом, якщо з будь-якої послідовності (x_n)ÌK можна виділити підпослідовність (x_nk), збіжну до деякої точки x₀ÎK.

Теорема 1. (Критерій компакту)

Множина KÌR є компактом Û коли вона одночасно замкнена і обмежена.

8 Необх. Обмеженість слідує з теореми обмеженість компакту(якщо - компакт, то це обмежена множина).Замкненість від супротивного: - не замкнена, - точка дотику , (з означення точки дотику). Будь-яка підпослідовність  теж , тому вилучити підпослідовність, що збігається до елемента з неможливо.

Дост. Розгл.  послід. точок з  , - обмежена (бо X- обмежена), тоді з неї можна виділити збіжну підпослідовність. - точка дотику (з замкненості), тому - компакт. 3

Теорема 2. (неперервний образ компакту)

Нехай f:R®R неперервна на D_f функція і D_f - компакт. Тоді множина E_f - компакт.

8Розглянемо з того, що - компакт , з неперервності  (фактично) .   3

Теорема 3. (Вейєрштрасса)

Нехай f:R®R неперервна на компакті D_f функція. Тоді вона має найбільше та найменьше значення.

8 з теореми про неперервний образ компакту - компакт, з наслідка про найб і найм значення компакту (якщо X компакт, то він має найб і найм значення) має найб і найм значення. 3

Теорема 4. (Коші)

Нехай f:[a,b]®R неперервна на Df, і на кінцях проміжку [a,b] приймає значення різних знаків, тобто f(a)*f(b)<0 тоді $cÎ(a,b): f(c)=0

8від супротивного,нехай f або додатня, або від’ємна, тому . В цьому околі функція не змінює знака. Об’єднання буде покриттям компакту [a,b] . З леми Бореля-Лебега слідує, що можна виділити скінчене під покриття , але інтервали перетинаються і їх скінчена кількість, функція в інтервалі має один знак, тому і на кінці того ж знаку. 3

Теорема 5. (Коші) Нехай функція [a,b]-^f®R неперервна на D_f і приймає в точках a і b різні значення A і B. Тоді для довільного числа С між A i B $ cÎ(a,b): f(c)=C.

8Виберемо довільне C між A і B. Позначимо  . (в деякій точці)         3

 

4. Диференційованість функціі. Критерій диференційованості.

Функція f:Х®R називається диференційованою в точці x₀ÎD_f (x₀ - гр. т D_f) , якщо існує таке лінійне відображення L:R®R, що Lim (f(x)-f(x₀)-L(x-x₀))/(x-x₀))=0, x®x₀ (1 озн.)®¥

якщо f(x)-f(x₀)=A(x-x₀)+ o(x-x₀) A=const є R (2 озн)

якщо $Lim ((f(x)-f(x₀))/(x-x₀))=f¢(x₀), x®x₀ де f¢(x₀) - похідна функції в точці x₀ (3 озн)

Теорема 1.(н і д умови диф-ті) f диференційована в точці x₀ тоді і тільки тоді коли функція має похідну в цій точці (тобто $f¢(x₀)).

Теорема 2.(н умови диф-ті) f диференційована в точці x₀ тоді коли функція f неперервна в точці x₀.

Операцію знаходження похідної ф-ції f наз-мемо диференціюванням f.

Нехай ХÌR, x₀ÎX, $ g>0: ]x₀-g,x₀]ÌX([x₀,g+x₀[ÌX). Функція f:X®R диференційована в точці x₀Î ]x₀-g,g+x₀[ зліва (зправа), якщо її звуження на проміжок ]x₀-g,x₀]([x₀,g+x₀[) є диференційованим в точці x₀, значення похідної цього звуження в точці x0 називається лівою (правою) похідною функції f в точці x0 і позначається f¢-(x₀) (f¢+(x₀)). (Рублев)

x₀ - гр. т. D_f, x₀ÎD_f , $Lim ((f(x)-f(x₀))/(x-x₀))=f¢-(x₀), x®x₀-o; f¢-(x₀) - ця скінчена границя наз. лівою похідною функції в т. x₀. $Lim ((f(x)-f(x₀))/(x-x₀))=f¢+(x₀), x®x₀+o; f¢+(x0) ця скінчена границя наз правою похідною. (Олександрович)

Теорема 3. (Критерій диференційованості) Для того, щоб функція f:X®R((a,b)-^f®R ) була диференційованою в точці x₀ÎX(x₀Î(a,b)) Û (при )

= (при ).

8слідує з теореми критерію існування границі в точці.  має скінчену границю в точці , але 3

 

5. Локальний екстремум. Необхідні та достатні умови екстремуму.

Функція f: (a,b)®R має локальний максимум (мінімум) в точці x₀Î(a,b), якщо існує окіл (x₀-d, x₀+d)Ì(a,b) такий, що "xÎ(x₀-d,x₀+d) f(x)£f(x₀) (f(x)³f(x₀)).

Якщо останні нерівності будуть строгими ("x¹x₀), тобто f(x)<f(x₀) (f(x)>f(x₀)), то локальний максимум (мінімум) називається строгим.

Необхідна умова екстремуму:

Теорема1. Якщо ф-ція f(x) диф-на в т с та має в цій точці локальний екстремум, тоді f'(с)=0.

 

Теорема Ферма.

Нехай функція f: (a,b)®R має локальний максимум (мінімум) в точці x₀ Î(a,b) і має в цій точці як праву так і ліву похідну, тоді .

8З означення диференційованості функції в точці .

Припустимо, що в точці  є екстремум, а похідна не дорівнює 0, то  або >0 або <0, алн внаслідок неперервності , то з стійкості нерівності в деякому околі  зберігає знак, з чого слідує, що права частина не зберігає знак при переході через точку . В одному з менших околів , де  одночасно виконується знакосталість і знакозмінність, а це неможливо. Отже . 3

Т2. (Перша достатня умова екстремуму).

1) Нехай f: (a,b)®R - неперервна на (a,b) функція і $ d>0: f' існує в кожній точці деякого околу точки x₀ (x₀-d,x₀+d)Ì(a,b). Якщо при переході через точку x₀ f' змінює знак, то в цій точці функція має локальний екстремум.

2) Нехай f: (a,b)®R хє(a,b) $ d>0: f' існує в кожній точці деякого околу точки x₀(x₀-d,x₀+d)Ì(a,b) і f'(х0)=0. Якщо при переході через точку x₀ f' змінює знак, то в цій точці функція має локальний екстремум.

Т3. (Друга достатня умова екстремума).

Якщо функція f: (a,b)®R задовольняє в точці x₀ Î(a,b) умовам :1) $f"(x₀)¹0 (скінчена) і 2) f'(x₀)=0, то f має локальний екстремум в точці x₀ (f"(x₀)>0 –min i f"(x₀)<0 - max).

Т4. (Третя достатня умова екстремума).

Нехай функція f: (a,b)®R задовольняє в точці x₀ Î(a,b) умовам: 1)$ d>0: f n-раз диф-на в околі деякої точки x₀ (x₀-d,x₀+d)Ì(a,b);  2) $f^(k)(x₀)=0, k=1,...,n-1; 3) $f⁽ⁿ⁾(x₀)¹0. Тоді при парному n f має екстремум в точці x₀, а при непарному n екстремуму в точці x₀ не має.

 

 

6.Інтеграл Рімана. Критерій інтегровності функції за Ріманом.

Озн. Назвемо Р=Р_[a,b] розбиттям сегмента [a,b], якщо ця мн-на складається з точок, що задовольняють умову , .

Озн. Діаметром або нормою розбиття Р назив-ся .

Озн. Мн-на  назив-ся сукупністю проміжних точок.

Озн. називається інтегральною сумою Рімана для функції f:[a,b]®R, що відповідає розбиттю Р та сукупності проміжних точок .

Озн. (1-ше озн-ня інтегралу Рімана): Якщо , то функція f назив-ся інтегровною за Ріманом на сегменті [a,b], а значення І назив-ся інтегралом Рімана від функції f на [a,b] і позначається  (це означення можна використовувати як критерій інтегровності ф-ції за Ріманом).

Позначимо , , .

Озн. Верхньою (нижньою) інтегральною сумою Дарбу для функції f:[a,b]®R і розбиття Р називається і позначається сума ( ) .

Озн. Верхнім (нижнім) інтегралом Дарбу для функції f на [a,b] називається і позначається вираз:  ( ).

Озн. (2-ге озн-ня інтегралу Рімана (для обмежених функцій)): Функція назив-ся інтегровною за Ріманом на [a,b], якщо її = , при цьому спільне значення цих інтегралів називається інтегралом Рімана на [a,b].

Теорема. 1-ше та 2-ге означення інтегралу Рімана еквівалентні.

Теорема: критерій інтегровності функції за Ріманом.

Функція f є інтегровною за Ріманом на [a,b] тоді і тільки тоді, коли .

8Необх. , аналогічно для верхньої межі : . Розглянемо p, яке є спільним розбиттям :

Дост. .Верх. і нижн. інт. є сталими, різниця між сталими , отже вони співпадають, отже функція інтегрована за Ріманом.     8

Теорема: Нехай - замкнена множина, - обмежена, тоді , E- замкнена.

Теорема Лебега.

Для того, щоб обмежена на сегменті функція була інтегровна за Ріманом на ньому, необхідно і достатньо, щоб мн-на точок її розриву мала Лебегову міру 0. (Мн-на CÌR має Лебегову міру 0, якщо існує злічене покриття ( ={(a_i, b_i)½iÎN }) Х деяким інтервалом, сумарна довжина якого не перевищує ε).

8Необх. Нехай .

Критерій неперервності Бера якщо  , то ці точки попадають в E при - множина точок розриву.

Покажемо, що  , за попередньою теоремою множина - замкнена , отже компактна, оскільки ще й обмежена   за лемою Бореля-Лебега можна покрити скінченим покриттям інтервалів. Оскільки , то фіксоване.  - проміжки розбиття , .  покриває .  .

За властивістю Лебегової міри 0 .

Дост. Нехай  розглянемо  і за властивістю Лебегової міри 0  злічене покриття інтервалу  за Германською теоремою - замкнена , вона ще й обмежена  компактна   скінчене під покриття  . Нехай P таке розбиття , в яке входять всі краї , тоді P має скінч кількість точок , так як  скінчена.    з обмеженості функції її коливання <2M (тобто )                    8

Наслідки. Якщо функція неперервна чи монотонна на сегменті [a,b], то вона інтегровна за Ріманом на цьому сегменті.

 

7. Числові ряди. Ознаки збіжності.

 

Нехай задано послідовність {x_n} дійсних чисел. Числовим рядом (1) називається послідовність чисел {S_n}={ }. Числа x_n та S_n називаються відповідно n-м членом та n-ю частковою сумою ряду. Границя послідовності часткових сум ряду, якщо вона існує, називається сумою ряду і позначається символом . Ряд із скінченною сумою називається збіжним. Не збіжний ряд називається розбіжним.

Т1. (Необхідна ознака збіжності ряду). Якщо ряд (1) збігається, то lim_n®µx_n=0, тобто посл-ть членів збіжного числового ряду збігається до 0.

Т2. (Критерій Коші). Ряд (1) збігається тоді і тільки тоді, коли "e > 0 $n₀(e)єN: "n ³ n₀ "pÎN Þ ½S_n+p-S_n½=½ x_i ½< e.

Тепер розглянемо декілька достатніх ознак збіжності знакосталих рядів åx_n, тобто рядів, у яких "nÎN x_n>0.

T3. Для довільного рєN твердження (ряд  збігається) і (ряд збігається) еквівалентні.

Т4. Ряд утворений з ряду  шляхом заміни скінченого числа членів останнім збігається óколи збігається .

T5. 1)Нехай збігається тоді " d є R збігається ; 2) Нехай і  збігаються тоді збігається .

Т7. Числовий ряд з невід’ємними членами ( , а_k>=0 "kєN) збігається óколи посл-ть його часткових сум обмежена зверху.

Т8. (Ознака порівняння). Якщо є два ряда åx_n, åy_n i "nєN 0£x_n 0£y_n:

1) Нехай x_n £y_n "n>=n₀  тоді якщо åy_n збігається => то ряд åx_n збігається; 2) Із розбіжності ряду åx_n випливає розбіжність ряду åy_n.

2) Нехай $ lim(x_n /y_n)=Lє[0,+¥] при n®¥, y_n>0 "n>=n₀. Тоді при L<+¥ i åy_n – збігається => åx_n збігається; при L>0 якщо åy_n розбігається => åx_n розбігається.

3) Нехай викон. x_k+1/x_k=<y_k+1/y_k "k>=k₀ при цьому x_k>0,y_k>0 тоді якщо åy_n збігається=>åx_n збіг-ться; якщо åx_n розбігається => åy_n розбігається.

(скрізь сума від n=1 до нескінченності)

Т9. (Ознака порівняння із степеневим). Якщо при n®¥ x_n=O(1/n^p), то ряд åx_n при p>1збігається, а при p£1- розбігається.

Т10. (Ознака Коші). Якщо для ряду , а_k>0 "kєN (2) $qє]0,1[: (a_k)^1/k =<q<1, то ряд (2) збігається, а при (a_k)^1/k >=1- розбігається.

Т11. (Ознака д' Аламбера). Якщо для ряду (2) $qє]0,1[: (a_k+1 /a_k)=<q<l, то ряд (2) збігається, а при (a_k+1 /a_k)>1 - розбігається.

Наслідок. (Узагальнена ознака д' Аламбера). Якщо для ряду (2) $ lim_k®¥ (a_{k +1} /a_k)=q, то якщо q<1, то (2) збігається, якщо q>1, то (2) розбігається.

Т12. (Ознака Раабе). Якщо для ряду (2) $ r>0: k((a_k/a_k+1) - 1)>=r>1, то ряд (2) збігається, а при k((a_k/a_k+1) - 1)=<1- розбігається.

Т13. (Ознака Гауса). Нехай для ряду (2) a_k/a_k+1= =l+m/k+q_k/k^1+E , де l,m,E- сталі і E>0, |q_k|=<C - додатня постійна "kєN, тоді при l>1 (2) збігається; при l<1 (2) розбігається; при l=1 якщо m>1 (2) збігається, якщо m=<1 (2) розбігається.

Т14. (Інтегральна ознака Коші). Нехай mєN ф-ція f:[m,+¥[®R - невід’ємна і незростає на [m,+¥[, тоді ряд åf(k) (k=m,..,+¥) збігається коли збігається числова пос-ть{ò_Gf(t)dt},де G:=[m,m+n], xє[m,+¥[.

Тепер розглянемо ряди з довільними членами. Якщо для ряду åx_n(скрізь n:=1,..,+¥) (3) збігається ряд å|x_n | (4), то ряд åx_n називається абсолютно збіжним.

Т15. Якщо ряд åx_n абсолютно збіжний, то він збігається, тобто якщо (4) збіг-ся, то (3) теж збігається.

Якщо ряд åx_n збігається, але не абсолютно ( тобто ряд å½x_n ½розбіжний ), то він називається умовно збіжним.

Т16. (Ознака Лейбн і ц я). Знакопочередний ряд å(-1)^n-1x_n ( " nєN x_n ³0 ) збігається, якщо послідовність {x_n} не зростаюча, тобто 0<x_n+1=<x_n "nєN i монотонно прямує до нуля, тобто x_n®0, n®¥.

Т17. (Ознака Абеля). Ряд åu_n v_n збігається, якщо ряд åu_n збігається, а послідовність {v_n} монотонна і обмежена.

Т18. (Ознака Діріхле). Ряд åu_nv_n збігається, якщо посл-ть часткових сум {U_n}ряду åu_n-обмежена, тобто $ M>0: |U_n|=<M "nєN, а послідовність {v_n} є монотонною та збігається до 0, тобто v_n®0, n®¥.

 

 

 

8. Функціональні ряди. Ознаки рівномірної збіжності.

Озн. Відображення , де Ф – сукупність всіх функцій дійсного аргументу, називається функціональною послідовністю і позначається (f_n). f_n  називається n–тим членом функціональної послідовності. (приклади: всі ф-ції, що залежать від х і від n: .)

Озн. Функціональним рядом називається функціональна послідовність ( ) , де S_n(x)=  називається n-тою частковою сумою функціональної послідовності.

Озн. Нехай для функціональної послідовності (f_n) існує функція f така, що виконуються умови: "n Df_n =Df=XÌR, "xÎX f_n(х)®f(x) при n®¥. Тоді функція f(x) називається поточковою границею функціональної послідовності (f_n). Аналогічно функціональний ряд , Df_n =X поточково збігається до деякої ф-ції S(x), xÎX, якщо "xÎX S_n (x)= →S(x) при n®¥.

Озн. Функціональний ряд å f_n (послідовність (f_n) ), у якого (якої) "nÎN Df_n =X – спільна область визначення рівномірно збігається на Df=X до функції f з тою самою областю визначення, якщо       ||S_n-f||®0, n®¥ (||f_n-f||®0, n®¥ ) і позначається åf_n ®f. (f_n ®f). (Число sup _xÎDf |f(x)| називається рівномірною нормою функції f і позначається ||f||).

Т0. (Про збіжн. Норм. Збіжного ф.р.)

Якщо - нормал. Збіг. На х, то він збігається рівномірно.

Д. , використовуючи два критерія Коші для числ. Посл. І рівном. Збіжн.

Т1. (Ознака Вейєрштраса рівномірної збіжності функц. рядів).

Нехай для функціонального ряду å f_n існує додатня числова послідовність (a_n), що є мажорантою úú f_núú ("nÎN úú f_núú £a_n або úú f_núú =О(a_n)) і ряд å a_n - збіжний. Тоді функціональний ряд å f_n рівномірно збіжний.

Доведення: зі збіжн. використ. Мажор. ознаку - нормал. Збіжн і застосовуємо теорему 0.

Озн. Символи Ландау: х_n=о(1) означає, що х_n збігається до 0 (є нескінченно малою); х_n=О(1) означає, що х_n обмежена.

Т(про рівномірну збіжн. Рядів пов’язаних перетворенням Абеля)

якщо збігається рівномірно або нерівном. Одночасно

Д. перший доданок рівномірно збіж., а другий збіг і розб одночасно.

Т2. (Ознака рівномірної збіжності)

Якщо "xÎX послідовність (f_n(х)) монотонна по n, а послідовність (f_ng_n) рівномірно збігається на Х і виконується , то функц. ряди  рівномірно збігаються на Х.

Д. ,

, Так як х довільн. перейдемо до супремуму

зад. Умову Коші

функц. Ряд рівном. Збіжн.

Т3. (Ознака Абеля)

Якщо для функц. ряду виконуються такі умови:

1. ряд рівномірно збіжний;

2. "xÎX послідовність ( fn(x) ) монотонна по n;

3. úú f_núú = O(1) – послідовність úú f_núú є обмеженою по х і по n.

то ряд  рівномірно збігається.

Д. 1) рівномірно збіг до нуля, бо перший та другий доданки збігаються до f(x).

2) , тому, що пеший супремум =о(х), а другий = О(х). Таким чином з теореми 2 рівном. Збіж. =

=

Т4. (Ознака Діріхле)

Якщо для функц. ряду виконуються такі умови:

1. – обмеженість часткових сум;

2. "xÎX послідовність (f_n(x)) монотонна;

3. úúf_núú = o(1),

то ряд – рівномірно збіжний.

Д. монотон. Викон. за теоремою 2

рівном. Збіж. Щоб збігався ряд повинно збігатися  рівномірно.  рівномірно збіг. До 0. З теореми з перетворенням Абеля слідує, що рівном. Збіг, а за побудовою це означає, що рівномірно збігається.

Озн. Функц. ряд вигляду назив-ся степеневим рядом (це поліном n-го степеня).

 

 

9.Ряди Фур’є. Рівномірна збіжність рядів Фур’є.

Озн. Функція j(х), яка задовольняє умову j(х)=j(х+Т) (Т – константа) і визначена на всій числовій осі називається періодичною функцією.

0 функції називаємо точки її неперервності, де вона = 0.

Якщо f = 0 на всій області С, за винятком, можливо, множини точок лебегової міри 0, то вона = 0 майже всюди.

Теорема: =0  f = 0 майже всюди.

E = (R([c,d]), +, , <,>)

1)  майже всюди.

2)

3)

4)

- нормований простір.

- метрика

- середнє квадратичне відхилення функції f від функції g на сегменті [a,b]

Послідовність  в середньому на [a,b], якщо   при  .

Це записують  на [a,b]

Нехай  на [a,b].

- функціональний ряд, S в середньому, тоді

 його можна почленно інтегрувати:

Теорема  Нехай f_n - неперервно-дпфер. на [a,b]. Причому (f - неперервна);  в середньому (або ) Тоді границя {f_n} f(x) є диференційовною та

Нехай f,gÎR([a,b])

Ф-ї f,g ортогональні, якщо .

Маємо систему ф-й

ортогональна, якщо

Нехай ортогональна система ф-й, f(x)ÎR([a,b]), f(x)= . Припустимо, що ряд Þ або збігається в середньому на сегменті [a,b]. Тоді його можна почленно інтегрувати:

a_k-коеф. Фур’є функції f по ортогональній системі . - ряд Фур’є функції f по .

= , [a,b]=

, ,

- тригонометричний ряд Фур’є по основній тригонометричній системі.

Нехай  - клас куск.-гладких ф-цій, визначених на .

Озн. Дві функції j(х) і y(х) назив-ся ортогональними на відрізку хÎ[a, b], якщо .

В залежності від того, якою є ф-ція f(x) (парною чи непарною) ряд Фур’є може мати різний вигляд. Якщо функція f(x) – парна, то її ряд Фур’є має вигляд: .

Якщо функція f(x) – непарна, то її ряд Фур’є має вигляд: .

Умови рівномірної збіжності тригонометричного ряду (ряду Фур’є).

Озн. Функція f(x) називається кусково-неперервною на сегменті [-l, l], якщо вона неперервна в кожній точці xÎ[-l, l], за виключенням, можливо, скінченої кількості точок, де вона має розриви першого роду.

Озн. Функція f(x) називається кусково-гладкою (кусково-диференційовною) на сегменті [-l, l], якщо вона кусково-неперервна і має неперервну похідну на цьому сегменті, за виключенням, можливо, скінченої кількості точок, в кожній з яких похідна має скінчені односторонні граничні значення.

Теорема про розклад.

Нехай кусково-гладка на сегменті [-l, l] функція f(x) періодично з періодом 2l продовжена на всю нескінчену вісь. Тоді тригонометричний ряд Фур’є функції f(x) збігається в кожній точці хÎ(-¥,+¥) до значення . Якщо для неперервної і кусково-гладкої на сегменті [-l, l] функції f(x) виконується рівність f(-l)=f(l) , то її тригонометричний ряд Фур’є збігається рівномірно на цьому сегменті і сума ряду рівна функції f(x) в кожній точці xÎ[-l, l].

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: