Теорема 6. (Ознака Абеля рівном. збіжності НІ 1-го роду)

Нехай f, g:[a, +¥),x:Y®R задовольняють умовам:

 - рівномірно збіжний на Y

g(x,y) монотонна і $M>0 : |g(x,y)|£M "x³a, "yÎY

Тоді  - рівномірно збіжний

Дов Усі мажоранти не залежать від . Тому

16. Формула Тейлора.

Теорема 1 (локальна формула Тейлора).

Нехай функція  і

 – локальна формула Тейлора. (1)

де - залишковий член у формі Пеана.

4Розглянемо дві функції:

;

, ;

,

,

формула (1).3

У випадку х₀=0 формула Тейлора називається формулою Маклорена:

 (2).

Теорема 2 (формула Тейлора).

Якщо f Î Cⁿ[a,b] і $ f⁽ⁿ⁺¹⁾, " x Î (a,b),то для двох довільних точок х та х₀ з [a,b] має місце формула (5), яка називається формулою Тейлора із залишковим членом (6) у формі Шльоміха-Рома.

 (5),

де  (6).

8Розглянемо функцію [a,b] R; fÎCⁿ[a,b] і $ f⁽ⁿ⁺¹⁾, "xÎ(a,b) і , де tÎ[a,b], а х – деяка стала з [a,b], параметр р – довільний, додатній, l – деяка стала.

h(x)=0, x₀Î[a,b] і знайдемо h(x₀): .

Виберемо l таке, щоб h(x₀)=0.

Знайдемо похідну:

.

Þ . Тоді вірні формули (5) та (6).3

Підставляючи різні значення р, можна отримати різні залишкові членів:

1) р=1Þ  –залишк член у формі Коші;

2) р=n+1Þ  – залишковий член у формі Лагранжа.

3) Якщо , тоді  – залишковий член у формі Коші для формули Маклорена.

4)  – залишковий член у формі Лагранжа для формули Маклорена.

5) Якщо h=x-x0, тоді:  – формула Тейлора у диференційованому вигляді.

17. Функції багатьох змінних. Диференціал та частинні похідні.

Арифметичним або -мірним простором будемо називати множину усіх можливих -мірних точок( , де - дійсні числа, які є і координатами точки  в цьому просторі). В цьому просторі вводять понятття відстані між двома точками, норми, метрики, околу точки і т.і..

Приклад норми , відстань визначається як: .

Відображення  називають функцією багатьох змінних і позначається .

 називають відкритою кулею з центром в точці  та радіуса , якщо:

, де  це метрика в просторі .

Кажуть, що послідовність точок , -мірного простору збігається до точки , якщо збіжними є відповідні послідовності координат ,.., .

 – обмежана  коли для неї  коля обмежаного діаметра.

Для функції багатьох змінних виконується адаптована теорема Больцано-Вейштрассе:

З  – можна виділити збіжну підпослідовність

Границя за Гейне має такий вигляд:

,

Подвійна границя позначається

Повторна границя .

Лінійною формою  називається лінійне відображення , -утворюють базис , ,

Озн функція  називається диференційованою в точці , якщо існує

Озн  якщо для  існує диференціал в точці ,то вектор-рядок називається повною похідною  в точці .

Озн  Диференціалом в точці  для диференційованої ф-ї  називається лінійне відображення

Озн Функція диф.  на множині якщо вона диференційована в усіх точках цієї множини

Озн  Частинною похідною ф-ї по змінній  в точці :

Теорема  (Достатні умови диф. вточці)

 – неперервна в  має в ньому усі частинні похідні, які є неперервними в  диференційована в точці .

 

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: