Теорема (умови рівномірної збіжності тригонометричного ряду).

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

Якщо ф-я f(x) , x Î[-l, l], кусково-гладка на [-l, l] і на кінцях відрізку приймає рівні значення, то сума її тригонометричного ряду збігається рівномірно і , "x Î[-l, l].

Теорема Нехай f є і . Тоді тригонометричний ряд Фур’є на .

Теорему доведемо, якщо покажемо, що збігається.

збігається збігається рівномірно.

10. Інтеграл Рімана на компакті. Подвійний, потрійний інтеграл Рімана.

Позначимо , , .

Озн. Верхньою (нижньою) інтегральною сумою Дарбу для функції f:[a,b]®R і розбиття Р називається і позначається сума ( ) .

Озн. Верхнім (нижнім) інтегралом Дарбу для функції f на [a,b] називається і позначається вираз: ( ).

Озн. Функція назив-ся інтегровною за Ріманом на [a,b], якщо її = , при цьому спільне значення цих інтегралів називається інтегралом Рімана на [a,b].

До класів інтегровних функцій можна віднести:

1. неперервні ф-ції, інтегровні на [a,b].

2. Ф-ції, що мають злічене (скінчене) число точок розриву 1-го роду.

3. Всі монотонні ф-ції на [a,b].

Властивості кратних інтегралів:

1. Якщо відрізок [a,b] рівний 0, то .

2. .

3. .

6. Якщо ф-ції f,g – інтегровні, то добуток цих ф-цій теж інтегровний.

8. .

Правила інтегрування:

Як правило використовується формула Ньютона-Лейбніца: (Ф – первісна).

Є 2 методи інтегрування:

1. метод інтегрування частинами ;

2. метод підстановки . φ(t) – диференційовна і неперервна, a≤φ(t)≤ b.

Застосування інтегралів Рімана:

1) Обчислення площи криволінійної трапеції.

Нехай , накладаються умову . Ці умови задають криволінійну трапецію, площа для якої обчислюється за формулою

2) Площа криволінійного сектора:

- криволінійний сектор. Площа дорівнює .

3) Параметрично задана крива:

, сама крива не має самоперетинів та розривів при обході за годинниковою стрілкою.

4) Обьєм тіла при обертанні навколо вісі :

, , , - тіло утворене при обертанні.

5) При обертанні навколо так само, лише додаткова умова - монотонна.

6) Довжина параметрично заданої кривої:

, крива задається за 3) плюс ,

Подвйний інтеграл.(обчислення кратних інтегралів Рімана для паралелепідальних областей)

Нехай потрібно обчислити інтеграл: (D – прямокутник: . Інтегрування кратних інтегралів зводиться до обчислення повторних інтегралів) = . Це основна формула зведення кратного інтегралу до повторного. Коли обчислюємо внутрішній інтеграл по якійсь змінній, то інша змінна виступає як параметр (стала).

Потрійний інтеграл .

Нехай V –якийсь об’єкт, кубоване тіло. Потрібно по V обчислити інтеграл.

11.Криволінійні інтеграли Умови незалежності криволінійних інтегралів від шляху інтегрування.

- проста гладка крива(траекторія), якщо існує непер.-диф. де - параметричне зображення і - похідна не рівна 0.

Нехай - інше параметричне зображення. Тоді і . Отже існує композиція , причому

Озн Якщо то параметричне зображення та - еквівалентні. При цьому множину усіх еквівал. зображень простої гладкої кривої позначимо

Озн Упорядкована пара - орієнтована проста гладка крива Г.

утворюють - протилежно орієнтована Г.

Озн Криволінійний інтеграл I роду де dl - диференціал довжини дуги .

Розуміємо:

Озн Множина - проста гладка крива, якщо існує неперервне і де - параметричне зображення .

Озн Якщо - інше параметричне зображення, то і якщо то параметричне зображення та - еквівалентні. При цьому множину усіх еквівал. зображень простої гладкої кривої позначимо

Озн Упорядкована пара - орієнтована проста гладка крива Г. - протилежно орієнтована Г.

Озн Криволінійний інтеграл I роду

Розуміємо:

Нехай - орієнтована гладка проста крива. .

Озн Криволінійний інтеграл II роду

Теорема Нехай - непер. разом із у замкненій однозв’язній області G. Тоді наступні умови еквівалентні:

1. для довільного замкнутого контура .

2. не залежить від вибору шляху інтегрування ( тобто визнач. початкові і кінцеві точки інтегрування).

3. W=Pdx+Qdy є повним диференціалом деякої ф-ції.

4. ,

81 2. Розглянемо 2 шляхи ( ) і покажемо ,що . Утворимо контур

0= .

2 . Зафіксуємо і визначимо . З умови 2 функція u визначена однозначно , покажемо, що задовольняє умову3. Розглянемо

за теор про середнє , , . , аналогічно .

3 . З теореми про рівність мішаних похідних ,

. З того,що вони існують і неперервні вони рівні між собою, отже .

4 . Розглянемо довільний замкнений контур

(з властивості 4). 8

Теорема: (незал крив інт від шляху інтегрування в )

Нехай V – замкнена, поверхневооднозв’язна область в , на V визначена функція f , , що є неперервною на V разом з похідними , тоді наступні умови еквівалентні:

Інтеграл по замкненому контуру =0.
Інтеграл не залежить від шляху інтегрування.
- неперервна диф-на ф-я : .
.

12. Поверхневі інтеграли. Формула Гріна, Стокса, Остроградського.

Нехай Ф – гладка обмежена двостороння поверхня (якщо нормаль поверхні не змінює напрямку, то поверхня наз-ся двосторонньою). Нехай на цій поверхні задана ф-ція f(M), і крім того в кожній точці М задана функція і нормаль. Поверхню Ф розіб’ємо на n частин і в кожній частині виберемо точку М_і і складемо суму: , де – елемент площіі поверхні (величина площі і-тої ячейки розбиття Ф). Перейдемо до границі при n®¥, тоді, якщо , то називається поверхневим інтегралом 1-го роду. Поняття поверхневого інтегралу 1-го роду поширюється і на замкнуті поверхні.

Нехай Ф – гладка двостороння поверхня. Зафіксуємо одну із сторін цієї поверхні і розглянемо вектор-функцію , задану на Ф. Позначимо через проекцію вектора F на напрямок нормалі в точці . Інтеграл називається поверхневим інтегралом 2-го роду від вектор-функції F за вибраною стороною поверхні і записують його так: . Отже, за визначенням = . При переході до іншої сторони поверхні цей інтеграл змінює свій знак на протилежний.

Формула Гріна.

Якщо функції P(x,y), Q(x,y) – неперервні в замкнутій області D і мають неперервні частинні похідні в цій області і існують невласні інтеграли від кожної з функцій, то має місце формула Гріна: .

Частинні випадки формули Гріна: Q(x,y)=х, P(x,y)=-y. Тоді .

Формула Стокса.

Теорема. Нехай в деякому околі двосторонньої поверхні S функції ) – неперервні разом з своїми частинними похідними першого порядку, замкнений контур, який є межею поверхні S. Тоді має місце формула Стокса: .Орієнтація поверхні повина відповідати орієнтації кривої: .

8x=x, y=y, z=z(x,y), - область, куди проектується. - межа області

вектор нормалі зад поверхні z=z(x,y): =

= . - аналогічно першому, потім знаходимо середнє арифметичне і отримаємо нашу формулу. 8

Ця формула узагальнює формулу Гріна на просторовий випадок.

Формула Остроградського.

Теорема. Функції ) – неперервні в замкнутій області V разом зі своїми похідними , тоді : , S–поверхня, яка обмежує об’єм V, n- вектор нормалі до зовнішньої сторони, - вектор ф-я.

8 - доведемо. Розіб’ємо елем тіло на скінч кількість елем тіл для інтегр по x, y. Всі межі мають Лебегову міру 0, отже на інтеграл не впливають, всі інт по внутр поверхні =0. Достатньо довести формулу для тіла елем для інтегрув по x,y.

, ,

=| =0,s1-верхня основа,s2-нижня основа,s3-бічна поверхня.|= . 8

13.Градієнт, дивергенція та вихор векторного поля.

Озн. Говорять, що задане скалярне поле, якщо кожній точці М простору поставлено у відповідність деяке число f(M). Якщо кожній точці М простору поставлено у відповідність деякий вектор R(M), то говорять, що задане векторне поле.

Поняття градієнту. Нехай j(М) – скалярне поле, визначене в області V простору (x, y, z), (l) – довільна крива, що лежить в V і проходить через фіксовану точку , Dl – довжина дуги кривої (l) від точки M₀ до точки М. Якщо існує скінчена границя відношення при , то вона називається похідною поля j(М) в точці M₀вздовж лінії (l) і позначається символом : . Якщо ф-ція j(М) диференційовна в точці M₀, то її похідна вздовж лінії (l) існує і для всіх ліній, що виходять з точки M₀, з однією і тією ж дотичною величина цієї похідної одна і та ж, а сама похідна називається похідною за даним напрямком t і обраховується за формулою: . Вектор називається градієнтом. Він спрямований із точки M₀в бік найшвидшого зростання ф-ції j(М), а за абсолютною величиною рівний похідній поля j(М) в цьому напрямку.

Поняття дивергенції. Нехай S – скінчена гладка поверхня, а R(M) – довільне векторне поле, задане в деякій області V, що містить всі точки поверхні S. Якщо поверхня S, що обмежує об’єм V, замкнена і існує границя при стягуванні об’єму V в точку Р, (де – потік векторного поля) , то ми називаємо її дивергенцією поля R в точці Р і позначаємо div R(P): . Таким чином за визначенням дивергенцією є щільність адитивної функції областей – потоку векторного поля R через замкнену поверхню S.

Поняття вихора векторного поля. Нехай R(M) – довільне векторне поле, задане в скінченій області V з гладкою границею S, n(M) – одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні S в точці M . Вектор-функція називається циркуляцією поля R(M) по межі області V. Якщо існує границя при стягування об’єму V в точку Р , то вектор q(P) називається вихорем, чи ротором поля R(M) в точці Р і позначається rot R(P): . Таким чином, за визначенням вихор – це щільність адитивної функції областей – циркуляції векторного поля по його межі області.