Принцип дискримінації і порівняльних думок

Даний принцип реалізується на другому етапі МАІ. Суть його полягає в тому, що, використовуючи думки ОПР/експерту і певні алгоритми їх обробки, встановлюються ваги J_ij дуг (i,j) Î W і ваги Z_j об'єктів першого рівня ( j Î V 1 ). Якщо на першому рівні один об'єкт, то вага його приймається за 1 ( Z₁ = 1).

Думки ОПР/експерта є результатом дослідження його структури переваг. При цьому дослідженні застосовується метод парних порівнянь, зміст якого полягає в наступному. Хай задана деяка фіксована безліч об'єктів , які порівнюються попарно з погляду їх переваги, бажаності, важливості і т.п. Результати записуються у вигляді матриці парних порівнянь .

Результат порівняння відображає не тільки факт, але і ступінь (силу, інтенсивність і т.п.) переваги. При цьому використовується шкала відносної важливості, вибір якої залежить від наступних вимог:

§ шкала повинна давати можливість сприймати відмінності у відчуттях людей, коли вони проводять порівняння;

§ діапазон вимірюваної інтенсивності шкали повинен відповідати результатам когнітивної психології.

Задовольняє цим вимогам шкала, приведена табл. 1

 

Таблиця 1. Шкала відносної важливості

 

Кількісна оцінка інтенсивності відносної важливості	Якісна оцінка інтенсивності відносної важливості	Пояснення
1	Рівна важливість	Рівний внесок двох об'єктів
3	Помірна перевага одного над іншим	Досвід і думки дають легку перевагу одного об'єкту над іншим
5	Істотна або сильна перевага	Досвід і думки дають сильну перевагу одного об'єкту над іншим
7	Значна перевага	Один об'єкт має настільки сильну перевагу, що воно стає практично значним
9	Дуже сильна перевага	Очевидність переваги одного об'єкту над іншим підтверджується найсильніше
2,4,6,8	Проміжні рішення між двома сусідніми думками	Застосовуються в компромісному випадку
Зворотні величини приведених вище чисел	Якщо об'єкту i при порівнянні з об'єктом j приписується одне з приведених вище чисел, то дії j при порівнянні з i приписується зворотне значення

 

З шкали виходить властивість гомогенності (однорідності) об'єктів. Ця властивість відповідає здатності людей порівнювати об'єкти, які не дуже сильно відрізняються один від одного. Гомогенність істотна для порівняння об'єктів одного порядку, оскільки людський розум схильний до допущення великих помилок при порівнянні незіставних елементів. Коли ця неспівставність велика, об'єкти розташовуються в окремі кластери порівнюваних розмірів, що висуває ідею про рівні і їх декомпозицію.

 

Приклад 1

 

Розглянемо метод парних порівнянь на прикладі придбання будинку.

Рис.3. Ілюстрація до методу парних порівнянь

 

Припустимий необхідно оцінити переваги ОПР/експерта на безлічі варіантів А, В, С щодо критерію - розміру дома. Краще всього це завдання звести до заповнення таблиці:

 

Матриця парних порівнянь

 

Розмір будинка	Варіант А	Варіант В	Варіант С
Варіант А	1	1/3	5
Варіант В	3	1	1/7
Варіант С	1/5	7	1

 

Розмірність таблиці визначається кількістю дуг, які входять в дану вершину. Елементи таблиці r_ij,( i, j = 1, 3) є кількісною оцінкою інтенсивності переваги i - го об'єкту, що знаходиться в i - му рядку, щодо j - гo об'єкту, що знаходиться в j - му стовпці, відповідно до вищерозглянутої шкали. При цьому порівнянні ОПР/експерту задавалося наступне питання: наскільки один варіант (наприклад А) перевершує за розміром інший варіант (наприклад С)? Відповіддю ОПР/експерта, як випливає з таблиці, була наступна думка: істотна або сильна перевага.

Таким же чином здійснюється оцінка переваг ОПР/експерта щодо інших критеріїв шляхом заповнення ще п'яти аналогічних матриць розмірністю 3x3. Після чого метод парних порівнянь розповсюджується на безліч самих критеріїв щодо Мети – придбання будинку. В цьому випадку ОПР/експерту задається наступне питання: наскільки важливіше один критерій (наприклад, розмір удома) для Реалізації мети в порівнянні з іншим (наприклад, фінансові умови)? Як випливає з ієрархії, розмірність цієї таблиці 6x6.

Зважаючи на властивість матриці, тобто.:

 

і, як наслідок, r_ii =1, кількість питань рівна n*(n-1)/2

Формалізацією поняття несуперечності для методу парних порівнянь є виконання наступної рівності:

r * _ij = r * _ik × r * _kj  (1)

де r*_ij - це елементи матриці одержані в результаті ідеально узгодженого експерименту. Співвідношення (1) відповідає правилу логічного висновку, яке в цьому випадку формулюється таким чином: якщо i-й об'єкт переважніший k -го об'єкту на r*_ik і к-й об'єкт переважніший j-го об'єкту на r*_kj, то i-й об'єкт переважніший j-го об'єкту на r*_ij, причомуr * _ij = r * _ik × r * _kj .

Теорема. Якщо матриця R* володіє властивості(1), то тоді існують такі числа J * _i > 0, що має місце рівність:

(2)

Числа  ототожнюються з вагами дуг (ця безліч W в графі G) або з вагами об'єктів першого рівня (це Z_i , i Î V 1).

Матриця R* має одиничний ранг, , власний вектор матриці, де n - відповідне їй власне число.

Дійсно

(3)

 

Практично добитися повної узгодженості (тобто несуперечності) думок ОПР/експерта далеко не завжди можливо. Тому в загальному випадку r_ij відхилятимуться від "ідеальних" , унаслідок чого співвідношення 1, 2, 3 не матимуть місце.

Для подальшого аналізу корисними є наступні два факти з теорії матриць:

· По-перше, якщо l ₁ , ..., l _n , є власними числами матриці R і якщо . Згідно цьому твердженню, якщо має місце (3) (тобто матриця є ідеально узгодженою), то всі власні числа її - нулі, за винятком одного, рівного n.

· По-друге, якщо елемент позитивної оберненосиметричної матриці R незначно змінити, то власні числа цієї матриці також незначно зміняться, тобто вони є безперервними функціями її елементів.

Об'єднуючи ці результати, знаходимо, що при малих змінах r_ij від r*_ij найбільше власне число l _max (практично одержуваної матриці R при використанні методу парних порівнянь) залишається близьким до n, а решта власних значень - близькими до нуля.

 

Звідси можна сформулювати наступне завдання: для знаходження вагів дуг або об'єктів першого рівня по одержаній в результаті методу парних порівнянь матриці R необхідно визначити власний вектор , відповідний максимальному власному числу, тобто вирішити рівняння :

(4)

Оскільки малі зміни у   викликають малу зміну l _max, відхилення останнього від n є мірою узгодженості. Вона може бути виражена за допомогою індексу узгодженості (ІУ):

 (5)

Якщо ІУ £ 0,1, то практично вважається, що міра узгодженості знаходиться на прийнятному рівні.

Індекс узгодженості матриці парних порівнянь, елементи якої згенерували випадковим чином, називається випадковим індексом (ВІ). Нижче представлена таблиця відповідності порядку і середнього значення ВІ, визначена на базі 100 випадкових вибірок.

 

 Таблиця середніх значень ВІ

 

Порядок матриці	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ВІ	0,00	0,00	0,58	0,9	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49

 

Відношення ІУ до середнього ВІ для матриці того ж порядку називається відношенням узгодженості (ВУ). Значення ВУ менше або рівніше 0,10 вважається прийнятним. Звичайно ІУ і ВУ указуються у відсотках. Згідно визначенню, ІУ можна трактувати як відхилення від ідеально проведеного експерименту (методу парних порівнянь), а ВУ показує, на скільки оцінюваний ступінь узгодженості сходиться із ступенем узгодженості самого неідеальний проведеного експерименту.

Таким чином, МАІ допускає неузгодженість (як невід'ємну частину методу), визнаючи, що людські думки знаходяться в постійному процесі зміни і еволюції (тому не слід наполягати на 100% узгодженості, оскільки думки можуть змінитися після того, як проблема вирішена). Але надійні рішення не можуть бути ухвалені без прийнятного рівня узгодженості.

 

Існують два методи рішення рівняння R × V = l _max × V - прямий і ітераційний.

Розглянемо прямий метод. Перевіримо алгоритм даного методу. R - ідеально узгоджена матриця, тобто

  

1. Визначимо середнє геометричне кожного рядка R:

2. Обчислимо суму середніх геометричних:

3. Розділимо середнє геометричне кожного рядка R на суму середніх геометричних рядків:

тобто набули нормованого значення власного вектора.

Для отримання l _max виконаємо наступні кроки:

1. Визначимо суму елементів для кожного стовпця матриці R:

2. Визначимо скалярний добуток векторів:

 

що відповідає максимальному власному числу для ідеально узгодженої матриці.

 

Ітераційний метод заснований на наступній теоремі:

Для позитивної квадратної матриці R власний вектор V, відповідний максимальному власному значенню l _max, з точністю до постійного співмножника C визначається по формулі:

де e = (1, 1, ..., 1)^T - одиничний вектор

k = 1, 2, 3… показник ступеня

C – константа

Т – знак транспонування

Обчислення власного вектора V проводиться до досягнення заданої точності:

e^T × | V ^{( l )} - V ^{( l -1)} | £ x

де l – номер ітерації, такий, що l = 1 відповідає k = 1; l = 2, k = 2 і т.д.

x - допустима погрішність

З достатньою для практики точністю приймається рівною 0,01 незалежно від порядку матриці.

Максимальне власне значення обчислюється за формулою:

l _max = e ^T × R × V

Принцип синтезу

Реалізація принципу синтезу складає зміст третього етапу. Шукані ваги об'єктів визначаються послідовно, починаючи з другого рівня ієрархії відповідно до вирішального правила

(9)

Рис.4. Фрагмент ієрархії

 

Ваги об'єктів, альтернатив, що належать рівню, можна вважати як результат вимірювання їх в шкалі відносин в діапазоні [0,1].

Узгодженість всієї ієрархії С визначається по наступному виразу:

(10)

де D = I / V_m; ІУ_i, ВІ_i , - відповідно індекс узгодженості і випадковий індекс таблиці парних порівнянь, розглянутої щодо i-го об'єкту. Якщо i Î V 1 та i > 1, то для " i Î V ₁ ІУ _i = ІУ₁ и ВІ _i = ВІ₁; ІУ₁ и ВІ₁ Î V ₁ та i > 1, то для " i Î V₁ ІУ_i = ІУ₁ і ВІ_i = ВІ₁; ІУ₁ і ВІ₁ - відповідні параметри таблиці парних порівнянь, яка була сформована для визначення вагів об'єктів першого рівня.

Прийнятним є значення менше або рівне 10%. Інакше якість думок слід поліпшити. Можливо, слід переглянути формулювання питань при проведенні парних порівнянь. Якщо це не допоможе поліпшити узгодженість, то, ймовірно, завдання слід точніше структурувати.

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: